Розуміти, що таке симетрія в математиці, необхідно, щоб в подальшому освоїти базові та сучасні теми з алгебри, геометрії. Важливо це і для розуміння креслення, архітектури, правил побудови малюнка. Незважаючи на тісний зв'язок з найточнішою наукою – математикою, симетрія важлива і для артистів, художників, митців, і для тих, хто займається науковою діяльністю, причому в будь-якій області.

Загальна інформація

Не тільки математика, а й природничі науки багато в чому засновані на понятті симетрії. Більше того, воно зустрічається в повсякденному житті, є одним з базових для природи нашого Всесвіту. Розбираючись, що таке симетрія в математиці, необхідно згадати, що існує кілька типів цього явища. Прийнято говорити про таких варіантах:

Двосторонній, тобто такий, коли дзеркальна симетрія. Це явище в науковому середовищі прийнято іменувати «билатеральним».

Ен-ном порядку. Для цього поняття ключове явище – це кут повороту, обчислюваний поділом 360 градусів на деяку задану величину. Крім того, заздалегідь визначається вісь, навколо якої ці повороти здійснюються.

Падиальная, коли явище симетрії спостерігають, якщо повороти совершатся довільно на деякий випадковий за величиною кут. Вісь також обирається незалежним чином. Для опису такого явища застосовують групи SO(2).

Сферична. У цьому випадку мова йде про трьох вимірах, у яких об'єкт обертають, вибираючи довільні кути. Виділяють конкретний випадок ізотропія, коли явище стає локальним, властивим середовищі або простору.

Обертальна, що поєднала в собі дві описані раніше групи.

Лоренц-инвариативная, коли мають місце довільні обертання. Для цього типу симетрії ключовим поняттям стає «час-простір Мінковського».

Супер, визначається як заміна бозонів фермионами.

Вища, виявляється в ході групового аналізу.

Трансляционная, коли є зрушення простору, для яких вчені виявляють напрямок, відстань. На основі отриманих даних проводять порівняльний аналіз, що дозволяє виявити симетрію.

Калібрувальна, що спостерігається в разі незалежності калібрувальної теорії при відповідних перетвореннях. Тут особливу увагу звертають на теорію поля, в тому числі фокусуються на ідеях Янга-Міллса.

Кайно, що належить до класу електронних конфігурацій. Про те, що являє собою така симетрія, математика (6 клас) уявлення не має, адже це наука вищого порядку. Явище обумовлено вторинної періодичністю. Було відкрито у ході наукової роботи Е. Бірона. Термінологія введена С. Щукарьовим.

Дзеркальна

Під час навчання в школі учнів практично завжди просять зробити роботу «Симетрія навколо нас» (проект з математики). Як правило, її рекомендують до виконання в шостому класі звичайної школи із загальною програмою викладання предметів. Щоб впоратися з проектом, необхідно спершу ознайомитися з поняттям симетрії, зокрема, виявити, що являє собою дзеркальний тип як один з базових і найбільш зрозумілих для дітей. Для виявлення явища симетрії розглядають конкретну геометричну фігуру, а також обирають площину. Коли говорять про симетричності розглянутого об'єкта? Спершу на ньому вибирають деяку точку, а потім знаходять для неї відображення. Між ними двома проводять відрізок і вираховують, під яким кутом до обраної раніше площині він проходить.
Розбираючись, що таке симетрія в математиці, пам'ятайте, що обрана для виявлення цього явища площина буде називатися саме площиною симетрії і ніяк інакше. Проведений відрізок повинен перетинатися з нею під прямим кутом. Відстань від точки до площини та від неї до другої точки відрізка має бути рівним.

Нюанси

Про що ще цікавого можна дізнатися, розбираючи таке явище, як симетрія? Математика (6 клас) розповідає, що дві фігури, які вважаються симетричними, зовсім не обов'язково ідентичні один одному. Поняття рівності існує у вузькому і широкому розумінні. Так от, симетричні об'єкти у вузькому – не одне і те ж. Який приклад із життя можна навести? Элеметарний! Що скажете щодо наших рукавичок, рукавиць? Ми всі звикли їх носити і знаємо, що втрачати не можна, адже другу таку в пару вже не підібрати, а значить, купувати доведеться обидві заново. А все чому? Тому що парні вироби, хоча і симетричні, але розраховані на ліву та праву руку. Це – типовий приклад дзеркальної симетрії. Що стосується рівності, то такі об'єкти визнають «дзеркально рівними».

А що з центром?

Розглядати центральну симетрію починають з визначення властивостей тіла, стосовно якого необхідно оцінити явище. Щоб назвати його симетричним, спершу вибирають деяку точку, розташовану по центру. Далі вибирають точку (умовно назвемо її А) і шукають для неї парну (умовно позначимо Е). При визначенні симетричності точки А і Е з'єднують між собою прямою лінією, захоплюючою центральну точку тіла. Далі вимірюють отриману пряму. Якщо відрізок від точки А до центра об'єкта дорівнює відрізку, отделяющему центр від точки Е, можна говорити про те, що знайдений центр симетрії. Центральна симетрія в математиці – одне з ключових понять, що дозволяють далі розвивати теорії геометрії.

А якщо обертаємо?

Розбираючи, що таке симетрія в математиці, не можна випустити з уваги поняття обертального підтипу цього явища. Для того щоб розібратися з термінами, беруть тіло, що має центральну точку, а також визначають ціле число. В ході експерименту заданий тіло обертають на кут, що дорівнює результату ділення 360 градусів на вибраний цілий показник. Для цього необхідно знати, що таке вісь симетрії (2 клас, математика, шкільна програма). Ця вісь – пряма, що з'єднує дві вибрані точки. Про симетрії обертання можна говорити, якщо при вибраному вугіллі повороту тіло буде перебувати в тому ж положенні, як і до проведення маніпуляцій. У тому випадку, коли натуральним числом було обрано 2 і виявлено явище симетрії, кажуть, що визначена осьова симетрія в математиці. Така характерна для ряду фігур. Типовий приклад: трикутник.

Про приклади детальніше

Практика багаторічного викладання математики та геометрії в середній школі показує, що простіше всього з явищем симетрії розібратися, пояснюючи його на конкретних прикладах. Для початку розглянемо сферу. Для такого тіла одночасно властиві явища симетричності:

центральної;

дзеркальної;

обертальної.

В якості головної вибирають точку, розташовану точно по центру фігури. Щоб підібрати площину, визначають великий круг і немов би «нарізають» його на пласти. Про що говорить математика? Поворот і центральна симетрія у разі кулі – поняття взаємопов'язані, при цьому діаметр фігури буде служити віссю для розглянутого явища. Ще один наочний приклад – круглий конус. Для цієї фігури характерна осьова симетрія. В математиці і архітектурі це явище знайшло широке теоретичне і практичне застосування. Зверніть увага: в якості осі для явища виступає вісь конуса. Наочно демонструє досліджуване явище пряма призма. Цій фігурі властива дзеркальна симетрія. Площиною вибирають «зріз», паралельний підстав фігури, віддалений від них на рівні проміжки. Створюючи геометричний, начертательний, архітектурний проект (математики симетрія важлива не менше, ніж точним і начертательним наук), пам'ятайте про застосування на практиці та користь при плануванні несучих елементів явища дзеркальності.

А якщо більш цікаві фігури?

Про що нам може розповісти математика (6 клас)? Центральна симетрія є не тільки у такому простому і зрозумілому об'єкті, як куля. Вона властива і більш цікавим і складним фігур. Наприклад, такий паралелограм. Для такого об'єкта центральною точкою стає та, в якій перетинаються його діагоналі. А ось якщо розглядати равнобедренную трапецію, то це буде фігура з осьовою симетрією. Виявити її можна в тому випадку, якщо правильно вибрати вісь. Тіло симетрично відносно лінії, перпендикулярній основи і перетинає його рівно посередині. Симетрія в математиці та архітектури обов'язково враховує ромб. Ця фігура примітна тим, що одночасно поєднує в собі два типи симетричності:

осьовий;

центральний.

В якості осі необхідно вибрати діагональ об'єкта. У тому місці, де діагоналі ромба перетинаються, розташований його центр симетрії.

Про красу і симетрії

Формуючи проект математики, симетрія для якого була б ключовою темою, зазвичай в першу чергу згадують мудрі слова великого вченого Вейля: «Симетрія – це ідея, яку довгі століття намагається зрозуміти звичайна людина, адже саме вона створює досконалу красу через унікальний порядок». Як відомо, інші предмети здаються більшості прекрасними, в той час як інші відштовхують, навіть якщо у них немає очевидних вад. Чому так відбувається? Відповідь на це питання показує взаємозв'язок архітектури і математики в симетрії, адже саме це явище і стає основою оцінки предмета як естетично привабливого. Одна з найкрасивіших жінок на нашій планеті – це супермодель Кисті Тарликтон. Вона впевнена, що до успіху прийшла в першу чергу завдяки унікальному явищу: її губи симетричні. Як відомо, природа і тяжіє до симетрії, і не може її досягти. Це не загальне правило, але погляньте на оточуючих людей: в людських обличчях практично не знайти абсолютної симетрії, хоча очевидно прагнення до неї. Чим більш симетрично особа співрозмовника, тим він здається красивіше.

Як симетрія стала ідеєю про прекрасному

Дивно, що на симетричності засноване сприйняття людиною краси навколишнього його простору і об'єктів в ньому. Довгі століття люди прагнуть зрозуміти, що ж здається прекрасним, а що відштовхує нелицеприятностью. Симетричність, пропорції – ось те, що допомагає візуально сприймати деякий об'єкт і оцінювати її позитивно. Всі елементи, частини повинні бути збалансовані і перебувати в розумних пропорціях один з одним. Вже давно з'ясували, що асиметричні предмети подобаються людям набагато менше. Усе це пов'язують з поняттям «гармонія». Над тим, чому це так важливо для людини, з давніх пір ламали голови мудреці, артисти, художники. Варто придивитися до геометричних фігур, і явище симетрії стане очевидним і доступним для розуміння. Найбільш типові симетричні явища в навколишньому просторі:

гірські породи;

квіти і листя рослин;

парні зовнішні органи, властиві живим організмам.

Описані явища мають джерелом саму природу. А ось що можна побачити симетричного, придивившись до виробів людських рук? Помітно, що люди тяжіють до створення саме такого, якщо прагнуть зробити щось гарне або функціональний (або і таке, і таке одночасно):

візерунки та орнаменти, найпопулярніші з давніх часів;

будівельні елементи;

елементи конструкцій техніки;

рукоділля.

Про термінології

«Симетрія» – слово, яке прийшло у нашу мову від стародавніх греків, вперше звернули на це явище пильну увагу і спробували вивчити його. Термін означає наявність певної системи, а також гармонійне поєднання частин об'єкта. Переводячи слово «симетрія», можна підібрати як синонімів:

пропорційність;

однаковість;

співмірність.

З давніх пір симетрія є важливим поняттям для розвитку людства в різних сферах та галузях. Народи з давніх-давен мали загальні уявлення про це явище, переважно розглядаючи його в широкому сенсі. Симетрія позначала гармонійність та врівноваженість. В наш час термінологію викладають у звичайній школі. Наприклад, що таке вісь симетрії (2 клас, математика) дітям розповідає вчителька на звичайному занятті. Як ідея це явище часто стає початковим посилом наукових гіпотез і теорій. Особливо популярно це було в колишні століття, коли по всьому світу панувала ідея математичної гармонії, властивою самій системі світобудови. Знавці тих епох були переконані, що симетричність є прояв божественної гармонії. А ось в Стародавній Греції філософи запевняли, що симетрична вся Всесвіт, і все це базувалося на постулаті: «Симетрія прекрасне».

Великі греки і симетрія

Симетричність розбурхувала уми найвідоміших вчених Давньої Греції. До наших днів дійшли свідчення того, що Платон закликав окремо захоплюватися правильними многогранниками. На його думку, такі фігури – це уособлення стихій нашого світу. Існувала наступна класифікація:

Стихія



Фігура



Вогонь



Тетраедр, оскільки вершина його прагне вгору.



Вода



Ікосаедр. Вибір обумовлений «катучестью» фігури.



Повітря



Октаедр.



Земля



Самий стійкий об'єкт, тобто куб.



Всесвіт



Додекаедр.

Багато в чому саме із-за цієї теорії прийнято іменувати правильні многогранники платоновими тілами. А ось термінологію ввели ще раніше, і тут не останню роль зіграв скульптор Поліклет.

Піфагор і симетрія

В період життя Піфагора і в подальшому, коли його вчення переживало свій розквіт, явище симетрії вдалося чітко оформити. Саме тоді симетричність піддалася науковому аналізу, що дало важливі для практичного застосування результати. Згідно з отриманими висновками:

Симетрія базується на поняттях пропорцій, одноманітності і рівності. При порушенні того чи іншого поняття фігура стає менш симетричної, поступово переходячи в повністю асиметричну.

Існує 10 протилежних пар. Згідно з ученням, симетрія становить собою явище, що зводить в єдине протилежності і тим самим формує всесвіт в цілому. Цей постулат довгі століття чинив сильний вплив на ряд наук як точних, так і філософських, а також природних.

Піфагор та його послідовники виділяли «абсолютно симетричні тіла», до яких зараховували задовольняють умовам:

кожна грань – багатокутник;

межі зустрічаються в кутах;

фігура повинна мати рівні сторони і кути.

Саме Піфагор першим сказав, що таких тіл існує лише п'ять. Це велике відкриття поклало початок геометрії і виключно важливо для сучасної архітектури. А ви хочете на власні очі побачити саме чудове явище симетрії? Зловіть взимку сніжинку. Дивно, але факт – це крихітний шматочок падає з неба льоду має не тільки вкрай складну кристалічну структуру, але ще й ідеально симетричний. Розгляньте її уважно: сніжинка дійсно прекрасна, а її складні лінії заворожують.