Львів
C
» » Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини

Теорія ймовірності – особливий розділ математики, який вивчають лише студенти вищих навчальних закладів. Ви любите розрахунки і формули? Вас не лякають перспективи знайомства з нормальним розподілом, ентропією ансамблю, математичним очікуванням і дисперсією дискретної випадкової величини? Тоді цей предмет вам буде дуже цікавий. Давайте познайомимося з декількома найважливішими базовими поняттями цього розділу науки.

Згадаймо основи

Навіть якщо ви пам'ятаєте найпростіші поняття теорії ймовірності, не нехтуйте першими абзацами статті. Справа в тому, що без чіткого розуміння основ ви не зможете працювати з формулами, розглянутими далі.


Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини
Отже, відбувається деяке випадкове подія, якийсь експеримент. В результаті ваших дій ми можемо отримати кілька результатів – одні з них зустрічаються частіше, інші – рідше. Ймовірність події – це відношення кількості реально отриманих результатів одного типу до загального числа можливих. Тільки знаючи класичне визначення даного поняття, ви зможете приступити до вивчення математичного очікування і дисперсії безперервних випадкових величин.

Середнє арифметичне

Ще в школі на уроках математики ви починали працювати з середнім арифметичним. Це поняття широко використовується в теорії ймовірності, і тому його не можна обійти стороною. Головним для нас на даний момент є те, що ми зіткнемося з ним у формулах математичного очікування і дисперсії випадкової величини.
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини
Ми маємо послідовність чисел і хочемо знайти середнє арифметичне. Все, що від нас вимагається – підсумувати все наявне і розділити на кількість елементів у послідовності. Нехай ми маємо числа від 1 до 9. Сума елементів буде дорівнює 45 і це значення ми розділимо на 9. Відповідь: – 5.


Дисперсія

Кажучи науковою мовою, дисперсія – це середній квадрат відхилень отриманих значень ознаки від середнього арифметичного. Позначається одна великою латинською літерою D. Що потрібно, щоб її розрахувати? Для кожного елемента послідовності порахуємо різниця між наявними числом і середнім арифметичним і зведемо в квадрат. Значень вийде рівно стільки, скільки може бути результатів у розглянутого нами події. Далі ми підсумовуємо все отримане і ділимо на кількість елементів у послідовності. Якщо у нас можливі п'ять випадків, то ділимо на п'ять.
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини
У дисперсії є і властивості, які потрібно запам'ятати, щоб застосовувати при вирішенні завдань. Наприклад, при збільшенні випадкової величини X раз, дисперсія збільшується у Х в квадраті разів (тобто X*X). Вона ніколи не буває менше нуля і не залежить від зсуву значень на рівне значення в більшу або меншу сторону. Крім того, для незалежних випробувань дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій. Тепер нам обов'язково потрібно розглянути приклади дисперсії дискретної випадкової величини математичного очікування. Припустимо, що ми провели експеримент 21 і отримали 7 різних результатів. Кожний з них ми спостерігали, відповідно, 122344 і 5 разів. Чому дорівнюватиме дисперсія? Спочатку порахуємо середнє арифметичне: сума елементів, зрозуміло, дорівнює 21. Ділимо її на 7 отримуючи 3. Тепер з кожного числа вихідної послідовності віднімемо 3 кожне значення зведемо в квадрат, а результати складемо разом. Вийде 12. Тепер нам залишається розділити число на кількість елементів, і, здавалося б, усе. Але є заковика! Давайте її обговоримо.

Залежність від кількості експериментів

Виявляється, при розрахунку дисперсії в знаменнику може стояти одне з двох чисел: N, або N-1. Тут N – це число проведених експериментів або кількість елементів у послідовності (що, по суті, одне і те ж). Від чого це залежить?
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини
Якщо кількість випробувань вимірюється сотнями, то ми повинні ставити в знаменник N. Якщо одиницями, то N-1. Кордон вчені вирішили провести досить символічно: на сьогоднішній день вона проходить по цифрі 30. Якщо експериментів ми провели менше 30 то ділити суму будемо на N-1 а якщо більше – то на N.

Завдання

Давайте повернемося до нашого прикладу розв'язання задачі на дисперсію і математичне сподівання. Ми отримали проміжне число 12 яке потрібно було розділити на N або N-1. Оскільки експериментів ми провели 21 що менше 30 оберемо другий варіант. Отже, відповідь: дисперсія дорівнює 12 /2 = 2.

Математичне очікування

Перейдемо до другого поняття, що ми обов'язково повинні розглянути даній статті. Математичне сподівання – це результат додавання всіх можливих результатів, помножених на відповідні ймовірності. Важливо розуміти, що отримане значення як результат розрахунку дисперсії, виходить лише один раз для цілої задачі, скільки випадків у неї не розглядалося.
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини
Формула математичного очікування досить проста: беремо результат, множимо на його імовірність, додаємо те ж саме для другого, третього результату і т. д. Все, пов'язане з цим поняттям, розраховується нескладно. Наприклад, сума матожиданий дорівнює матожиданию суми. Для твору актуально те ж саме. Такі прості операції дозволяє з собою виконувати далеко не кожна величина в теорії ймовірності. Давайте візьмемо завдання і порахуємо значення відразу двох вивчених нами понять. Крім того, ми відволікалися на теорію – настав час попрактикуватися.

Ще один приклад

Ми провели 50 випробувань і отримали 10 видів випадків – цифри від 0 до 9 які з'являються в різному процентному відношенні. Це, відповідно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Нагадаємо, що для отримання ймовірностей необхідно розділити значення у відсотках на 100. Таким чином, отримаємо 002; 01 і т. д. Представимо для дисперсії випадкової величини математичного очікування приклад розв'язання задачі. Середнє арифметичне розрахуємо за формулою, яку пам'ятаємо з молодшої школи: 50/10 = 5. Тепер переведемо ймовірності кількість випадків «штуках», щоб було зручніше рахувати. Отримаємо 152 719 385 і 9. З кожного отриманого значення віднімемо середнє арифметичне, після чого кожен з отриманих результатів зведемо в квадрат. Подивіться, як це зробити на прикладі першого елемента: 1 – 5 = (-4). Далі: (-4) * (-4) = 16. Для інших значень зробіть ці операції самостійно. Якщо ви все зробили правильно, то після додавання всіх проміжних результатів ви отримаєте 90.
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини
Продовжимо розрахунок дисперсії і математичного очікування, розділивши на 90 N. Чому ми вибираємо N, а не N-1? Правильно, тому що кількість проведених експериментів перевищує 30. Отже: 90/9 = 10. Дисперсію ми отримали. Якщо у вас вийшло інше число, не впадайте у відчай. Швидше за все, ви допустили банальну помилку при розрахунках. Перевірте написане, і, напевно, все встане на свої місця. Нарешті, згадаємо формулу математичного очікування. Не будемо приводити всіх розрахунків, напишемо лише відповідь, з яким ви зможете звіритися, закінчивши всі необхідні процедури. Матожидание буде одно 548. Нагадаємо лише, як здійснювати операції, на прикладі перших елементів: 0*002 + 1*01 і так далі. Як бачите, ми просто множимо значення результату на його імовірність.

Відхилення

Ще одне поняття, тісно пов'язане з дисперсією та математичним очікуванням – середнє квадратичне відхилення. Позначається воно або латинськими літерами sd, або грецької малої «сігмою». Дане поняття показує, наскільки в середньому відхиляються значення від центрального ознаки. Щоб знайти її значення, потрібно розрахувати квадратний корінь з дисперсії.
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини
Якщо побудувати графік нормального розподілу і захочете побачити безпосередньо на ньому величину середнього квадратичного відхилення, це можна зробити в кілька етапів. Візьміть половину зображення ліворуч або праворуч від моди (центрального значення), проведіть перпендикуляр до горизонтальної осі так, щоб площі одержані фігур були рівні. Величина відрізка між серединою розподілу і вийшла проекцією на горизонтальну вісь і буде представляти собою середнє квадратичне відхилення.

Програмне забезпечення

Як видно з описів формул і представлених прикладів, розрахунки дисперсії і математичного очікування – не найпростіша процедура з арифметичної точки зору. Щоб не витрачати час, має сенс скористатися програмою, яка використовується у вищих навчальних закладах – вона називається «R». В ній є функції, що дозволяють розраховувати значення для багатьох понять з статистики і теорії ймовірності. Наприклад, ви ставите вектор значень. Робиться це наступним чином: vector <-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

На закінчення

Дисперсія і математичне очікування – це базові поняття теорії ймовірності, без яких складно надалі що-небудь розрахувати. В основному курсі лекцій у вузах вони розглядаються вже в перші місяці вивчення предмета. Саме через нерозуміння цих найпростіших понять і невміння їх розрахувати багато студентів відразу починають відставати за програмою і пізніше отримують погані оцінки за результатами сесії, що позбавляє їх стипендії. Потренуйтеся хоча б один тиждень по півгодини в день, вирішуючи завдання, схожі з представленими в даній статті. Тоді на будь-контрольної з теорії ймовірності ви впораєтеся з прикладами без сторонніх підказок і шпаргалок.