Аксіоматичний метод є способом побудови наукових теорій, які вже встановлені. В основі лежать аргументи, факти, твердження, які не потребують доказів або спростування. По суті, це варіант знання представлений у вигляді дедуктивної структури, в яку спочатку входить логічне обґрунтування змісту з основоположений – аксіом. Цей метод не може бути відкриттям, а є тільки класифікаційною поняттям. Він більше підійде для викладання. В основі присутні вихідні положення, а інші відомості випливають як логічний наслідок. Де знаходиться аксіоматичний метод побудови теорії? Він лежить в структурі більшості сучасних та усталених наук.

Становлення та розвиток поняття аксіоматичного методу, визначення слова

Насамперед, це поняття виникло в Древній Греції завдяки Евклідом. Він став основоположником аксіоматичного методу в геометрії. Сьогодні він поширений у всіх науках, але більш всього в математиці. Цей спосіб формується на основі усталених тверджень, а наступні теорії виводяться шляхом логічної побудови. Це пояснюється наступним чином: існують слова і поняття, які визначаються іншими поняттями. В результаті дослідники прийшли до висновку, що існують елементарні висновки, обґрунтовані і є постійними – основними, тобто аксіомами. Наприклад, доводячи теорему, зазвичай спираються на факти, які вже усталені і не вимагають спростування. Однак до цього їх потрібно було обґрунтувати. В процесі виходить, що неаргументоване затвердження приймається за аксіому. Спираючись на набір постійних понять, інші доводять теореми. Вони складають основу планіметрії і є логічним будовою геометрії. Усталені аксіоми в цій науці визначаються як об'єкти будь-якої природи. Вони, в свою чергу, володіють властивостями, які вказані в постійних поняттях.

Подальші дослідження аксіом

Спосіб розглядався як ідеальний аж до дев'ятнадцятого століття. Логічні засоби пошуку основних понять ще в ті часи не вивчалися, але в системі Евкліда можна спостерігати структуру отримання змістовних наслідків аксіоматичного методу. Дослідження вченого показали ідею про те, як отримати повну систему геометричних знань на основі чисто дедуктивного шляху. Їм пропонувалося порівняно невелика кількість затверджених аксіом, які істинні наочно.

Заслуги давньогрецьких умів

Евклід довів безліч понять, причому деякі з них були обгрунтовані. Однак більшість приписує ці заслуги Піфагору, Демокріту і Гіппократу. Останній склав повний курс геометрії. Щоправда, пізніше в Олександрії вийшов збірник "Початок", автором якого був Евклід. Потім він був перейменований в "Елементарну геометрію". Через деякий час його почали критикувати на основі деяких причин:

всі величини будувалися тільки з допомогою лінійки та циркуля;

геометрія і арифметика були роз'єднані і доказивались з урахуванням обгрунтованих чисел і понять;

аксіоми, деякі з них, зокрема, п'ятий постулат, пропонували викреслити із загального списку.

В результаті в XIX столітті виникає неевклидовая геометрія, в якій відсутня об'єктивно дійсний постулат. Це дія дало поштовх для подальшого розвитку геометричної системи. Таким чином, до дедуктивного способів побудови прийшли математичні дослідники.

Розвиток математичного знання на основі аксіом

Коли почала розвиватися нова система геометрії, змінився і аксіоматичний метод. В математиці стали частіше звертатися до чисто дедуктивного побудови теорії. У результаті в сучасній числовий логіці виникла ціла система доказів, яка є головним розділом всієї науки. В математичній структурі стали розуміти необхідність обґрунтування. Так, вже до кінця сторіччя сформувалися чіткі завдання і побудова складних понять, які з складною теореми зводилися до простого логічного твердженням. Таким чином, неевклидовая геометрія стимулювала міцну основу для подальшого існування аксіоматичного методу, а також для розв'язання проблем загального характеру математичних конструкцій:

несуперечності;

повноти;

незалежності.

В процесі з'явився і успішно отримав розвиток спосіб інтерпретації. Цей метод описується так: для кожного вихідного поняття в теорії поставлений математичний об'єкт, сукупність яких називається полем. Висловлювання про зазначених елементах може бути хибною або істинною. В результаті затвердження отримують назви в залежності від висновків.

Особливості теорії інтерпретації

Як правило, поле і властивості також піддаються розгляду в математичній системі, і вона, в свою чергу, може стати аксіоматичною. Інтерпретація доводить твердження, в яких є відносна ясність. Додатковим варіантом виступає ряд фактів, за яких теорія стає суперечливою. По суті, умова в ряді випадків виконується. У результаті виходить, що, якщо у висловлюваннях одного з тверджень присутні два хибних або істинних поняття, то воно вважається негативним або позитивним. Таким методом було доведено несуперечливість геометрії Евкліда. При интерпретационном методі можна вирішити питання про незалежність систем аксіом. Якщо потрібно спростувати якусь теорію, то достатньо довести, що одне з понять не виводиться з іншого і помилково.
Однак поряд з успішними твердженнями, спосіб має і слабкі сторони. Несуперечність і незалежність систем аксіом вирішуються питання, які отримують результати, що носять відносний характер. Єдине важливе досягнення інтерпретації – виявлення ролі арифметики як структури, в якій питання про несуперечності зводиться до ряду інших наук.

Сучасний розвиток аксіоматичною математики

Аксіоматичний метод став розвиватися в роботі Гілберта. В його школі було уточнено поняття теорії і формальної системи. В результаті виникла загальна система, а математичні об'єкти стали точними. Крім того, з'явилася можливість вирішити питання обґрунтування. Таким чином, формальна система будується точним класом, в якому знаходяться підсистеми формул і теорем. Щоб побудувати цю структуру, потрібно тільки керуватися технічними зручностями, тому що вони не мають ніякого смислового навантаження. Вони можуть бути вписані знаками, символами. Тобто, по суті, сама система будується таким чином, щоб формальну теорію можна було застосовувати адекватно і в повній мірі. В результаті виливається конкретна математична мета або завдання в теорію на основі фактичного змісту чи дедуктивного умовиводу. Мова числовий науки переводять на формальну систему, в процесі будь конкретне й осмислене вираз визначається формулою.

Метод формалізації

При природному положенні речей подібний спосіб зможе вирішувати такі глобальні питання, як несуперечливість, а також будувати позитивну суть математичних теорій за виведеними формулами. Причому в основному все це буде вирішувати формальна система на основі доведених тверджень. Математичні теорії постійно ускладнювалися обґрунтуваннями, і Гілберт запропонував дослідити цю структуру за допомогою финитних методів. Але це програма провалилася. Результати Геделя вже в двадцятому столітті призвели до наступних висновків:

природна несуперечність неможлива за рахунок того, що формалізована арифметика або інша подібна наука з цієї системи буде неповною;

з'явилися нерозв'язні формули;

затвердження недовідні.

Істинні судження і розумне финитное доведення вважаються формализуемими. З урахуванням цього аксіоматичний метод має певні і чіткі межі і можливості в рамках цієї теорії.

Результати розвитку аксіом у працях математиків

Незважаючи на те що деякі судження були спростовані і не отримали належного розвитку, спосіб постійних понять відіграє значну роль у формуванні основ математики. Крім цього, інтерпретація та аксіоматичний метод у науці виявили фундаментальні результати несуперечності, незалежності тверджень вибору і гіпотез під множинної теорії. У вирішенні питання несуперечності головне застосувати не тільки усталені поняття. Їх потрібно також доповнити ідеями, концепціями і засобами финитного доведення. В даному випадку розглядаються різні погляди, способи, теорії, які повинні враховувати логічний зміст і обгрунтування. Несуперечність формальної системи вказує на подібне доведення арифметики, яка спирається на індукцію, рахунок, трансфинитное число. У науковій області аксиоматизация є найважливішим інструментом, що має незаперечні концепції і твердження, що беруться за основу.

Сутність вихідних тверджень та їх роль в теоріях

Оцінка аксіоматичного методу вказує на те, що в його сутності лежить певна структура. Цю систему будують з виявлення основної концепції і фундаментальних тверджень, які є неопределяемими. Те ж відбувається і з теоремами, які вважаються вихідними і принимающимися без доказів. У природничих науках за подібні твердження виступають правила, допущення, закони. Потім відбувається процес фіксації встановлених баз для міркувань. Як правило, відразу вказується, що з одного положення виводиться інше, а в процесі виходять інші, які, по суті, збігаються з дедуктивним методом.

Особливості системи сучасності

У складі аксіоматичної системи знаходяться:

логічні висновки;

терміни та визначення;

частково неправильні твердження і поняття.

В сучасній науці цей метод втратив абстрактність. У Евклідової геометричної аксиоматизации в основі лежали інтуїтивні й істинні положення. І інтерпретувалася теорія єдиним, природним способом. Сьогодні аксіома – це положення, яке саме по собі зрозуміло, а угода, причому будь-який, може виступати як початкове, не вимагає обґрунтування поняття. В результаті вихідні значення можуть бути далекими від наочності. Цей метод вимагає творчого підходу, знання взаємозв'язків і вихідної теорії.

Основні принципи виведення висновків

Дедуктивно аксіоматичний метод – це наукове пізнання, що будується за певною схемою, в основі якої лежать правильно усвідомлені гіпотези, які виводять твердження про емпіричних фактах. Подібне умовивід будується на основі логічних структур, шляхом жорсткого виведення. Аксіоми – спочатку беззаперечні твердження, які не потребують доказів. При дедукції до вихідним поняттям застосовуються певні вимоги: несуперечливості, повноти, незалежності. Як показує практика, перша умова ґрунтується на формально-логічному знанні. Тобто в теорії не повинні бути присутніми значення істинності і хибності, бо вона вже не буде мати значення і цінності. Якщо така умова не дотримується, то вона вважається несовместной і в ній втрачається будь-який сенс, бо втрачається смислове навантаження між істиною і брехнею. Дедуктивно аксіоматичний метод є способом побудови і обгрунтування наукового знання.

Практичне застосування методу

Аксіоматичний метод побудови наукового знання має практичне застосування. По суті, цей спосіб впливає і надає глобальне значення на математику, хоча це знання вже досягло своєї вершини. Приклади аксіоматичного методу наступні:

аффинние площини мають три твердження та визначення;

теорія еквівалентності володіє трьома доказами;

бінарні відносини поділяються на систему визначень, понять і додаткових вправ.

Якщо потрібно сформулювати вихідне значення, то необхідно знати природу множин і елементів. В сутності, аксіоматичний метод ліг в основу різних областей науки.