Механіка являє собою один з основних розділів фізики, в якому розглядаються закони руху й рівноваги тел. При кількісному описі руху обертання важливою величиною є момент інерції. У даній статті вивчимо цю величину. Крім того, відповімо на питання про те, у чому вимірюється момент інерції твердого тіла.

Поняття про момент інерції для матеріальної точки

Як фізичну величину, що його визначають у вигляді добутку маси на квадрат радіуса обертання. Припустимо, що існує деяка матеріальна точка, яка має масу m. Вона обертається навколо осі, при цьому радіус кола дорівнює r. При заданих умовах інерції, момент обчислюється у відповідності з наступною формулою: I = m*r 2 . Цієї формулою можна користуватися навіть у випадках вивчення тел зі складною формою. Головною умовою справедливості рівності є наявність величезної різниці між відстанню до осі обертання r і геометричними розмірами самого тіла. Наприклад, при розрахунку величини I для нашої планети, яка обертається навколо Сонця по коловій траєкторії, можна вважати Землю матеріальною точкою, оскільки відстань до зірки на кілька порядків перевищує радіус планети.

Величина I для тіла довільної форми

У разі, якщо геометричні розміри обертового тіла незначно відрізняються від радіуса r, тоді слід брати до уваги форму тіла. З урахуванням названого чинника розраховують момент інерції з використанням наступної формули:

I = ? m (r 2 *dm). По суті, це рівність є сумою моментів инерций всіх матеріальних точок, які утворюють тіло. При проведенні практичних обчислень, записаною формулою користуються в дещо іншому вигляді, який представлений нижче: I = ? V (?*r 2 *dV). Як видно, інтегрування по масі m замінюється на інтегрування за об'ємом V. Тут грецькою буквою ? позначена щільність. Якщо тіло є однорідним, то ? буде сталою величиною, яку можна винести за знак інтеграла. Якщо ж маса неоднорідне розподілена по тілу, то густина буде функцією параметра r. Записану формулу зручно використовувати при визначенні I різних тіл, тому що розрахунок виконується за допомогою уявного поділу тіла на елементарні об'єми dV. Результати застосування записаного вище рівності для геометричних тіл ідеальної форми, наприклад, для сфери, циліндра або стержня, зібрані у відповідні таблиці. У чому вимірюється момент інерції? Нижче на малюнку наводяться величини I для деяких тел. Як бачимо, всі формули лінійно залежать від маси тіл і від квадрата геометричного параметра.

У чому вимірюється момент інерції тіла?

Отримавши необхідні теоретичні відомості для величини I, кожен легко зможе відповісти на поставлене питання. Дійсно, якщо поглянути на формулу для I матеріальної точки, то, відповідаючи на питання про те, у чому вимірюється осьовий момент інерції, слід відповісти, що в кілограмах на квадратний метр. Скорочено ця одиниця записується кг*м 2 . Очевидно, що ту ж саму одиницю ми отримаємо, якщо скористаємося інтегральним вираженням через обсяг і щільність.

Зазначимо, що кг*м 2 також можна записати, як м 2 *кг. Така форма запису теж допускається, однак, в практичній фізики її не використовують. Оскільки і кілограм, метр і є системними одиницями вимірювання маси та довжини, відповідно, кг*м 2 є також одиницею СІ для моменту інерції. Не слід досліджувану одиницю плутати з іншого, яка позначається, як кг/м 2 . Хоча її використовують рідко, і вона не є одиницею СІ, тим не менш вона дозволяє розрахувати відповідний тиск, якщо її помножити на прискорення вільного падіння.

Приклад завдання

Розібравшись, у чому вимірюється момент інерції, і як його обчислювати, розв'яжемо наступну задачу: необхідно визначити момент інерції Землі, вважаючи її матеріальною точкою. Для успішного вирішення цієї задачі слід знати всього два параметри: масу планети і середній радіус її сонячної орбіти. Обидва значення можна подивитися у відповідних довідниках. Маса M і радіус орбіти R Землі дорівнюють: M = 5972*10 24 кг; R = 1496*10 9 м. Скориставшись виразом для обчислення моменту інерції матеріальної точки, приходимо до наступного результату: I = M*R 2 = 5972*10 24 *(1496*10 9 ) 2 = 134*10 47 кг*м 2 . Ми отримали велетенське значення. Якщо порівняти його з моментом інерції Землі щодо її власної осі, то виявиться, що він буде в мільярд разів менше розрахованої величини. Таким чином, наближення матеріальної точки цілком доречно для розглянутої задачі.