Львів
C
» » Тонка лінза: формула і виведення формули. Рішення задач за формулою тонкої лінзи

Тонка лінза: формула і виведення формули. Рішення задач за формулою тонкої лінзи

Зараз мова піде про геометричній оптиці. В цьому розділі багато часу приділяється такого об'єкту, як лінза. Адже вона може бути різною. При цьому формула тонкої лінзи одна на всі випадки. Тільки треба знати, як її правильно застосувати.
Тонка лінза: формула і виведення формули. Рішення задач за формулою тонкої лінзи

Види лінз

Нею завжди є прозоре для світлових променів тіло, яке має особливу форму. Зовнішній вигляд об'єкта диктують дві сферичні поверхні. Одну з них допускається замінити на плоску. Причому у лінзи може виявитися товщі середина або краю. В першому випадку вона буде називатися опуклою, у другому — увігнутою. Причому в залежності від того, як поєднуються увігнуті, випуклі та плоскі поверхні, лінзи теж можуть бути різними. А саме: двояковипуклими і двояковогнутими, плосковипуклими і плосковогнутими, опукло-увігнутими і вогнуто-опуклими.


У звичайних умовах ці об'єкти використовуються в повітрі. Виготовляють їх з речовини, оптична густина якого більша, ніж у повітря. Тому опукла лінза буде збирає, а ввігнута — розсіювальної.
Тонка лінза: формула і виведення формули. Рішення задач за формулою тонкої лінзи

Загальні характеристики

До того, як говорити про формулою тонкої лінзи , потрібно визначитися з основними поняттями. Їх обов'язково потрібно знати. Бо до них постійно будуть звертатися різні завдання. Головна оптична вісь — це пряма. Вона проведена через центри обох сферичних поверхонь і визначає місце, де знаходиться центр лінзи. Існують ще додаткові оптичні осі. Вони проводяться через точку, яка є центром лінзи, але не містять центри сферичних поверхонь. У формулою тонкої лінзи є величина, що визначає її фокусна відстань. Так, фокусом є точка на головній оптичній осі. В ній перетинаються промені, що йдуть паралельно зазначеної осі. Причому фокусів у кожній тонкої лінзи завжди два. Вони розташовані по обидві сторони від її поверхонь. Обидва фокуса у збирає дійсні. У розсіювальної — уявні. Відстань від лінзи до точки фокусу — це фокусна відстань (буква F ) . Причому його значення може бути позитивним (у разі збирає) або негативним (для розсіювальної). З фокусною відстанню пов'язана ще одна характеристика — оптична сила. Її прийнято позначати D. Її значення завжди - величина, зворотна фокусу, тобто D = 1/ F. Вимірюється оптична сила в діоптріях (скорочено, дптр).


Тонка лінза: формула і виведення формули. Рішення задач за формулою тонкої лінзи

Які ще позначення є у формулою тонкої лінзи

Крім вже зазначеного фокусної відстані, потрібно знати кілька відстаней і розмірів. Для всіх видів лінз вони однакові і представлені в таблиці.

Позначення



Назва



d



відстань до предмета



h



висота досліджуваного предмета



f



відстань до зображення



H



висота отриманого зображення

Всі зазначені відстані та висоти прийнято вимірювати в метрах. У фізиці з формулою тонкої лінзи пов'язано ще поняття збільшення. Воно визначається як відношення розмірів зображення до висоти предмета, тобто H/h . Його можна позначити буквою Р.

Що потрібно для побудови зображення в тонкій лінзі

Це необхідно знати, щоб отримати формулу тонкої лінзи, що збирає або розсіювальної. Креслення починається з того, що обидві лінзи мають своє схематичне зображення. Обидві вони виглядають як відрізок. Тільки у збирає на його кінцях стрілки, спрямовані назовні, а розсіювальної - всередину цього відрізка.
Тепер до цього відрізку необхідно провести перпендикуляр до його середини. Так буде зображена головна оптична вісь. На ній з обох сторін від лінзи на однаковій відстані покладається відзначити фокуси. Предмет, зображення якого потрібно побудувати, малюється у вигляді стрілки. Вона показує, де знаходиться верх предмета. У загальному випадку предмет розташовується паралельно лінзі.
Тонка лінза: формула і виведення формули. Рішення задач за формулою тонкої лінзи

Як побудувати зображення в тонкій лінзі

Для того щоб побудувати зображення предмета, достатньо знайти точки решт зображення, а потім їх з'єднати. Кожна з цих двох точок може вийти від перетину двох променів. Найбільш простими в побудові є два з них.
  • Йде з зазначеної точки паралельно головній оптичній осі. Після зіткнення з лінзою він йде через головний фокус. Якщо мова йде про збираючої лінзи, то цей фокус знаходиться за лінзою і промінь йде через нього. Коли розглядається розсіє, то промінь потрібно провести так, щоб його продовження проходило через фокус перед лінзою.
  • Йде безпосередньо через оптичний центр лінзи. Він не змінює за нею свого напряму.
  • Бувають ситуації, коли предмет поставлений перпендикулярно до головної оптичної осі і закінчується на ній. Тоді достатньо побудувати зображення точки, яка відповідає краю стрілки, не лежить на осі. А потім провести з неї перпендикуляр до осі. Це і буде зображення предмета. Перетин побудованих точок дає зображення. У тонкої збиральної лінзи виходить дійсне зображення. Тобто воно виходить безпосередньо на перетині променів. Винятком є ситуація, коли предмет поміщений між лінзою і фокусом (як в лупі), тоді зображення виявляється уявним. У розсіює ж воно завжди виходить уявним. Адже воно виходить на перетині не самих променів, а їх продовжень. Дійсне зображення прийнято креслити суцільною лінією. А ось уявне - пунктиром. Пов'язано це з тим, що перше насправді там присутня, а друге тільки бачиться.

    Висновок формули тонкої лінзи

    Це зручно зробити на основі креслення, ілюструє побудову дійсного зображення в збираючої лінзи. Позначення відрізків зазначено на кресленні.
    Тонка лінза: формула і виведення формули. Рішення задач за формулою тонкої лінзи
    Розділ оптики, що не даремно називається геометричною. Потрібні знання саме з цього розділу математики. Для початку необхідно розглянути трикутники АОВ і А 1 ІВ 1 . Вони подібні, оскільки в них є по два рівних кута (прямі та вертикальні). З їх подібності випливає, що модулі відрізків А 1 У 1 і АВ відносяться як модулі відрізків ОВ 1 і ІВ.
    Подібними (на підставі того ж принципу по двом кутам) виявляються ще два трикутника: COF і A 1 FB 1 . У них рівні відносини вже таких модулів відрізків: А 1 У 1 з ЗІ і FB 1 з OF. Виходячи з побудови рівними будуть відрізки АВ і СО. Тому ліві частини зазначених рівностей відносин однакові. Тому рівні і праві. Тобто ОВ 1 /ІВ одно FB 1 / OF. У зазначеному рівність відрізки, позначені точками, можна замінити на відповідні фізичні поняття. Так ІВ 1 — це відстань від лінзи до зображення. ІВ є відстанню від предмета до лінзи. OF — фокусна відстань. А відрізок FB 1 дорівнює різниці відстані до зображення і фокуса. Тому його можна переписати по-іншому: f /d = ( f – F ) /F або Ff = df – dF. Для виведення формули тонкої лінзи останнє рівність необхідно розділити на dfF. Тоді виходить: 1/d + 1/f = 1/F. Це є формула тонкої збиральної лінзи. У фокусну відстань розсіювальної негативне. Це призводить до зміни рівності. Правда, воно незначне. Просто у формулою тонкої розсіювальної лінзи варто мінус перед відношенням 1/ F. Тобто: 1/d + 1/f = - 1/F.

    Задача про знаходження збільшення лінзи

    Умова. Фокусна відстань збиральної лінзи дорівнює 026 м. Потрібно обчислити її збільшення, якщо предмет знаходиться на відстані 30 см. Рішення. Його варто почати з введення позначень і перекладу одиниць у Сі. Так, відомі d = 30 см = 03 м і F = 026 м. Тепер потрібно вибрати формули, основна з них та, яка вказана для збільшення, друга — для тонкої збиральної лінзи. Їх потрібно об'єднати. Для цього доведеться розглянути креслення побудови зображення в збираючої лінзи. З подібних трикутників видно, що Г = H/h = f/d. Тобто для того, щоб знайти збільшення, доведеться обчислити відношення відстані до зображення до відстані до предмета. Друге відомо. А от відстань до зображення покладається вивести з формули, зазначеної раніше. Виходить, що f = dF /( d - F ). Тепер ці дві формули необхідно об'єднати. Р = dF /( d ( d - F )) = F /( d - F ). У цей момент розв'язання задачі на формулу тонкої лінзи зводиться до елементарних розрахунками. Залишилося підставити відомі величини: Г = 026 /(03 - 026) = 026 /004 = 65. Відповідь: лінза дає збільшення в 65 разів.
    Тонка лінза: формула і виведення формули. Рішення задач за формулою тонкої лінзи

    Задача, в якій потрібно знайти фокус

    Умова. Лампа розташована в одному метрі від збиральної лінзи. Зображення її спіралі виходить на екрані, знаходиться від лінзи на 25 див. Обчисліть фокусна відстань зазначеної лінзи. Рішення. В дані покладається записати такі величини: d =1 м і f = 25 см = 025 м. Цих даних достатньо, щоб з формули тонкої лінзи обчислити фокусна відстань. Так 1/ F = 1/1 + 1/025 = 1 + 4 = 5. Але у задачі потрібно довідатися фокус, а не оптичну силу. Тому залишається тільки розділити 1 на 5 і вийде фокусна відстань: F = 1/5 = 0 2 м. Відповідь: фокусна відстань збиральної лінзи дорівнює 02 м.

    Задача про знаходження відстані до зображення

    Умова . Свічку поставили на відстані 15 см від збиральної лінзи. Її оптична сила дорівнює 10 дптр. Екран за лінзою поставлено так, що на ньому виходить чітке зображення свічки. Чому одно це відстань? Рішення. В коротку запис покладається записати такі дані: d = 15 см = 015 м, D = 10 дптр. Формулу, виведену вище, потрібно записати з невеликою зміною. А саме, в правій частині рівності поставити D замість 1/ F. Після кількох перетворень виходить така формула для відстані від лінзи до зображення: f = d /( dD - 1). Тепер необхідно підставити всі числа і порахувати. Виходить таке значення для f: 03 м. Відповідь: відстань від лінзи до екрана дорівнює 03 м.
    Тонка лінза: формула і виведення формули. Рішення задач за формулою тонкої лінзи

    Задача про відстані між предметом і його зображенням

    Умова. Предмет і його зображення відстоять один від одного на 11 див. Збираюча лінза дає збільшення в 3 рази. Знайти її фокусна відстань. Рішення. Відстань між предметом і його зображенням зручно позначити буквою L = 72 см = 072 м. Збільшення Р = 3. Тут можливі дві ситуації. Перша — предмет стоїть за фокусом, тобто зображення виходить дійсне. У другій — предмет між фокусом і лінзою. Тоді зображення з тієї ж сторони, що і предмет, причому уявне. Розглянемо першу ситуацію. Предмет і зображення знаходяться по різні сторони від збиральної лінзи. Тут можна записати таку формулу: L = d + f. Другим рівнянням покладається записати: Р = f / d. Необхідно вирішити систему цих рівнянь з двома невідомими. Для цього замінити L на 072 м, а Р на 3. З другого рівняння виходить, що f = 3 d. Тоді перше перетвориться так: 072 = 4 d. З нього легко порахувати d = 0 18 (м). Тепер легко визначити f = 054 (м). Залишилося скористатися формулою тонкої лінзи, щоб обчислити фокусна відстань. F = (018 * 054) /(018 + 054) = 0135 (м). Це відповідь для першого випадку. У другій ситуації — зображення уявне, і формула для L буде інший: L = f - d. Друге рівняння системи буде тим же. Аналогічно міркуючи, отримаємо, що d = 0 36 (м), а f = 108 (м). Подібний розрахунок фокусної відстані дасть такий результат: 054 (м). Відповідь: фокусна відстань лінзи одно 0135 м або 054 м.

    Замість висновку

    Хід променів в тонкій лінзі — це важливе практичне додаток геометричної оптики. Адже їх використовують у багатьох приладах від простої лупи до точних мікроскопів і телескопів. Тому знати про них необхідно. Виведена формула тонкої лінзи дозволяє вирішувати безліч завдань. Причому вона дозволяє робити висновки про те, яке зображення дають різні види лінз. При цьому достатньо знати її фокусну відстань і відстань до предмета.