Що таке багатокутник?
Для того щоб фігура була гратки, необхідні певні умови. По-перше, повинно бути багато сторін і кутів. Крім того, це повинна бути закрита форма. Правильний багатокутник являє собою фігуру з усіма рівними сторонами і кутами. Відповідно, неправильного вони можуть бути трохи деформованими.
Види правильних багатокутників
Яку мінімальну кількість сторін може мати правильний багатокутник? У одній лінії не може бути багато сторін. Дві сторони також не можуть зустрітися і сформувати закриту форму. А три сторони можуть – так вийде трикутник. І оскільки ми говоримо про правильних багатокутниках, де всі сторони і кути рівні, ми маємо на увазі рівносторонній трикутник. Якщо додати ще одну сторону, вийде квадрат. Може прямокутник, де сторони не рівні, бути правильним гратки? Ні, ця фігура буде називатися прямокутником. Якщо додати п'яту сторону, то вийде п'ятикутник. Відповідно, є і шестикутники, семиугольники, восьмикутники і так до нескінченності.
Елементарна геометрія
Багатокутники бувають різних видів: відкриті, закриті і самопересекающиеся. В елементарній геометрії багатокутник є плоскою фігурою, яка обмежена кінцевої ланцюжком з прямолінійних відрізків у формі замкнутої ламаної або контуру. Ці відрізки є його ребрами або сторонами, а точки, де два ребра зустрічаються, – вершинами і кутами. Внутрішня частина багатокутника іноді називається його тілом.
Багатогранники в природі та житті людини
У той час як п'ятикутними візерунками рясніють багато живі форми, мінеральний світ віддає подвійну, потрійну, чотириразову і шестикратну симетрію. Шестикутник являє собою щільну форму, яка забезпечує максимальну структурну ефективність. Він дуже поширений в області молекул і кристалів, в яких п'ятикутні форми майже не зустрічаються. Стероїди, холестерин, бензол, вітаміни С і D, аспірин, цукор, графіт – це все прояви шестиразовій симетрії. Де в природі зустрічаються правильні многогранники? Найвідоміша гексагональна архітектура створюється бджолами, осами та шершнями.
Чим зумовлена популярність шестикутників?
Сніжинки, органічні молекули, кристали кварцу і стовпчасті базальти являють собою шестикутники. Причиною тому є притаманна їм симетрія. Найбільш яскравим прикладом є стільники, шестикутна структура яких зводить до мінімуму просторовий недолік, так як вся поверхня витрачається досить раціонально. Навіщо ділитися на ідентичні комірки? Бджоли створюють в природі правильні многогранники для того, щоб використовувати їх для своїх потреб, в тому числі для зберігання меду і відкладання яєць. Чому природа віддає перевагу шестикутники? Відповідь на це питання може дати елементарна математика.
Чому шестикутники? Це проста геометрія
Якщо ви хочете зібрати разом однакові за формою і розміром комірки, щоб вони заповнили всю площину, то будуть працювати тільки три регулярні фігури (з усіма сторонами і з однаковими кутами): рівносторонні трикутники, квадрати і шестикутники. З них гексагональні осередку вимагають найменшої загальної довжини стіни порівняно з трикутниками або квадратами однієї і тієї ж області.Тому вибір бджолами шестикутників має сенс. Ще в XVIII столітті вчений Чарльз Дарвін заявив, що гексагональні соти «абсолютно ідеальні в економії праці і воску». Він вважав, що природний відбір наділяв бджіл інстинктами для створення цих воскових камер, які мали перевагу, передбачає менші витрати енергії і часу, ніж при створенні інших форм.
Приклади многогранників в природі
Складові очі деяких комах упаковані в гексагональ, де кожна грань – це лінза, поєднана з довгою тонкою кліткою сітківки. Структури, які утворюються кластерами біологічних клітин, часто мають форми, керовані за тими ж правилами, що і бульбашки в мильному розчині. Мікроскопічна структура межі очі – один з найкращих прикладів. Кожен фасет містить кластер з чотирьох світлочутливих клітин, які мають ту ж форму, що й кластер з чотирьох звичайних бульбашок. Що визначає ці правила мильних плівок і форми бульбашок? Природа ще більше стурбована економією, ніж бджоли. Бульбашки мильні плівки зроблені з води (з додаванням мила), і поверхневий натяг тягне поверхню рідини таким чином, щоб надати їй якомога меншу площу. Ось чому краплі є сферичними (більше або менше), коли вони падають: сфера має меншу площу поверхні, ніж будь-яка інша форма з тим же об'ємом. На восковому листі краплі води втягуються в маленькі намистини з тієї ж причини. Це поверхневий натяг пояснює моделі бульбашкових плотів і пінопластів. Піна буде шукати структуру, яка має найнижче загальний поверхневий натяг, що забезпечить найменшу площу стінки. Хоча геометрія мильних плівок продиктована взаємодією механічних сил, вона не говорить нам, яка буде форма піни. Типова піна містить багатогранні осередки різних форм і розмірів. Якщо придивитися уважніше, то правильні многогранники в природі – не такі вже правильні. Їх краю рідко бувають ідеально прямими.
Правильні бульбашки
Припустимо, що ви можете зробити «ідеальну» піну, в якій всі бульбашки мають однаковий розмір. Яка ж досконала форма комірки, яка робить загальну площу стінки бульбашки настільки малою, наскільки це можливо. Це обговорювалося багато років, і довгий час вважалося, що ідеальна форма осередку являє собою 14-гранний багатогранник з квадратними і шестикутними сторонами. В 1993 році була виявлена більш економічна, хоча і менш впорядкована структура, що складається з повторюваної групи з восьми різних форм комірок. Ця більш складна модель використовувалася як натхнення для піноподібного дизайну плавального стадіону під час Олімпійських ігор 2008 року в Пекіні. Правила формування клітин в піні також контролюють деякі закономірності, що спостерігаються у живих клітинах. Не тільки складовою очей мух показує ту ж гексагональну упаковку фасетів, що і плоский міхур. Світлочутливі клітини всередині кожної з окремих лінз теж з'єднуються в групи, які виглядають так само, як мильні бульбашки.
Світ многогранників в природі
Клітини багатьох різних типів організмів, від рослин до щурів, містять мембрани з такими мікроскопічними структурами. Ніхто не знає, для чого вони потрібні, але вони настільки широко поширені, що справедливо припустити, що у них є якась корисна роль. Можливо, вони ізолюють один біохімічний процес від іншого, уникаючи перехресних втручань. Або може бути це просто ефективний спосіб створення великої робочої площини, оскільки багато біохімічні процеси протікають на поверхні мембран, де можуть бути вбудовані ферменти та інші активні молекули. Яка б не була функція многогранників в природі, не варто обтяжувати себе створенням складних генетичних інструкцій, адже законів фізики зроблять це за вас. Деякі метелики мають крилаті лусочки, які містять упорядкований лабіринт з міцного матеріалу, званого хітином. Вплив світлових хвиль, отскакивающих від звичайних хребтів та інших структур на поверхні крила, призводить до того, що деякі довжини хвиль (тобто деякі кольори) зникають, а інші посилюють один одного. Таким чином, багатокутна структура пропонує відмінний засіб для виробництва тваринного кольору.
