Одна з найбільш цікавих тем геометрії з шкільного курсу – це «Чотирикутники» (8 клас). Які види таких фігур існують, якими особливими властивостями вони володіють? У чому унікальність чотирикутників з кутами за дев'яносто градусів? Давайте розберемося у всьому цьому.

Яка геометрична фігура називається чотирикутником

Багатокутники, які складаються з чотирьох сторін і, відповідно, з чотирьох вершин (кутів), називаються в евклідової геометрії чотирикутниками. Цікава історія назви цього виду фігур. У російському мові іменник «чотирикутник» утворене від словосполучення «чотири кути» (точно так само, як «трикутник» - три кута, «п'ятикутник» - п'ять кутів тощо).


Однак на латині (через посередництво якої прийшли багато геометричні терміни більшість мов світу) він називається quadrilateral. Це слово утворене з числівника quadri (чотири) та іменника latus (сторона). Так що можна зробити висновок, що у стародавніх цей багатокутник іменувався не інакше як "четирехсторонник". До речі, таку назву (з упором на наявність у фігур цього виду чотирьох сторін, а не кутів) збереглося у деяких сучасних мовах. Наприклад, в англійській – quadrilateral і у французькій – quadrilatere. При цьому в більшості слов'янських мов розглянутий вид фігур ідентифікують все так само за кількістю кутів, а не сторін. Наприклад, у словацькому (stvoruholnik), болгарською («четириъгълник»), в білоруському («чатирохкутнік»), в українському («чотирикутник»), чеською (ctyruhelnik), але в польському чотирикутник називають по кількості сторін – czworoboczny.

Які види чотирикутників вивчаються у шкільній програмі

У сучасній геометрії виділяються 4 види многокутників з чотирма сторонами. Однак через занадто складних властивостей деяких з них на уроках геометрії школярів знайомлять тільки з двома видами.

Паралелограм (parallelogram). Противолежащие сторони чотирикутника такого попарно паралельні між собою і, відповідно, дорівнюють також попарно.

Трапеція (trapezium або trapezoid). Цей чотирикутник складається з двох протилежних сторін, паралельних між собою. Однак інша пара сторін не має такої особливості.

Не вивчаються в шкільному курсі геометрії види чотирикутників

Крім перерахованих вище, існують ще два види чотирикутників, з якими не знайомлять школярів на уроках геометрії, через їх особливої складності.

Дельтоид (kite) - фігура, в якій кожна з двох пар суміжних сторін дорівнює по довжині між собою. Свою назву такий чотирикутник отримав з-за того, що за зовнішнім виглядом він досить сильно нагадує букву грецького алфавіту - «дельта».

Антипараллелограмм (antiparallelogram) – ця фігура так само складна, як і її назва. У ній дві протилежні сторони рівні, але при цьому вони не паралельні між собою. Крім того, довгі протилежні сторони цього чотирикутника перетинаються між собою, як і продовження двох інших, більш коротких сторін.

Види паралелограма

Розібравшись з основними видами чотирикутників, варто звернути увагу на його підвиди. Так, всі паралелограми, в свою чергу, теж діляться на чотири групи.

Класичний паралелограм.

Ромб (ромб) – чотирикутна фігура з рівними сторонами. Її діагоналі перетинаються під прямим кутом, ділячи ромб на чотири рівних прямокутних трикутника.

Прямокутник (rectangle). Ця назва говорить сама за себе. Так як це чотирикутник з прямими кутами (кожен з них дорівнює дев'яноста градусів). Протилежні сторони його не тільки паралельні між собою, а й рівні.

Квадрат (square). Як і прямокутник-це чотирикутник з прямими кутами, але у нього всі сторони рівні між собою. Цим дана фігура близька до ромба. Так що можна стверджувати, що квадрат - це щось середнє між ромбом та прямокутником.

Особливі властивості прямокутника

Розглядаючи фігури, в яких кожен з кутів між сторонами, дорівнює дев'яноста градусів, варто більш уважно зупинитися на прямокутнику. Отже, якими він володіє особливими ознаками, що відрізняють його від інших паралелограмів? Щоб стверджувати, що цей паралелограм – прямокутник, його діагоналі повинні бути рівні між собою, а кожен з кутів - прямими. Крім того, квадрат його діагоналей повинен відповідати сумі квадратів двох суміжних сторін цієї фігури. Іншими словами, класичний прямокутник складається з двох прямокутних трикутників, а в них, як відомо, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. У ролі гіпотенузи виступає діагональ даного чотирикутника. Останній з перерахованих ознак цієї фігури є також її особливою властивістю. Крім цього, є й інші. Наприклад, те, що всі сторони досліджуваного чотирикутника з прямими кутами - це одночасно і його висоти. Крім того, якщо навколо будь-якого прямокутника накреслити коло, його діаметр дорівнює діагоналі вписаною фігури. Серед інших властивостей чотирикутника цього, то, що він є плоским і в неевклідової геометрії не існує. Це пов'язано з тим, що в такій системі відсутні чотирикутні фігури, сума кутів яких дорівнює триста шістдесят градусів.

Квадрат і його особливості

Розібравшись з ознаками і властивостями прямокутника, варто звернути увагу на другий відомий науці чотирикутник з прямими кутами (це квадрат). Будучи за фактом тим же прямокутником, але з рівними сторонами, ця фігура володіє всіма його властивостями. Але на відміну від нього, квадрат присутня в неевклідової геометрії. Крім цього, у даної фігури, є й інші власні відмінні риси. Наприклад, те, що діагоналі квадрата не просто рівні між собою, але і перетинаються під прямим кутом. Таким чином, як і ромб, квадрат складається з чотирьох прямокутних трикутників, на які її ділять діагоналі. Крім цього, дана фігура є симетричним серед всіх чотирикутників.

Чому дорівнює сума кутів чотирикутника

Розглядаючи особливості чотирикутників евклідової геометрії, варто звернути увагу на їх кути. Так, у кожній з вищеперелічених фігур, незалежно від того, є у неї прямі кути чи ні, загальна сума їх завжди однакова – триста шістдесят градусів. Це унікальна відмітна риса цього виду фігур.

Периметр чотирикутників

Розібравшись з тим, чому дорівнює сума кутів чотирикутника і іншими особливими властивостями фігур цього виду, варто дізнатися, якими формулами краще всього користуватися, щоб обчислити їх периметр і площу. Щоб визначити периметр будь-якого чотирикутника, потрібно лише скласти між собою довжину всіх його сторін. Наприклад, у фігурі KLMN її периметр можна обчислити за формулою: Р = KL + LM + MN + KN. Якщо підставити сюди числа, вийде: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (см). У разі коли розглянута фігура – це ромб або квадрат, для знаходження периметра можна спростити формулу, просто помножившпи довжину однієї з його сторін на чотири: Р = KL х 4. Наприклад: 6 х 4=24 (см).

Формули площі чотирикутників

Розібравшись з тим, як знайти периметр фігури будь-якого з чотирма кутами і сторонами, варто розглянути найбільш популярні і прості способи знаходження її площі.

Класичний спосіб обчислення її – це використовувати формулу S=1/2 КМ х LN SIN х LON. Виходить, що площа будь-якого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута, розташованого між ними.

Якщо фігура, чию площа потрібно знайти - це прямокутник або квадрат діагоналі яких завжди рівні між собою), можна спростити формулу, звівши в квадрат довжину однієї діагоналі і помноживши її на синус кута між ними і розділивши все навпіл. Наприклад: S=1/2 КМ 2 х SIN LON.

Також при знаходженні площі прямокутника може допомогти інформація про периметрі розглянутої фігури і довжині одній з її сторін. У такому випадку найбільш доцільно буде скористатися формулою S = KN х (Р – 2 KN)/2.

У випадку з квадратом його властивості дозволяють використовувати кілька додаткових формул для пошуку площі. Наприклад, знаючи периметр фігури, можна використовувати такий варіант: S = Р 2 /16. А якщо відомий радіус вписаного в чотирикутник кола, площа квадрата знаходиться вельми схожим способом: S = 4r 2 . Якщо відомий радіус описаної окружності, то підійде інша формула: S = 2R 2 . Також площа квадрата дорівнює 08 довжини лінії, проведеної з кута фігури до середини протилежного боку.

Крім усіх перелічених вище, є також окрема формула для знаходження площі, розрахована спеціально на паралелограм. Її можна застосовувати, якщо відома довжина двох висот фігури і розмір кута між ними. Тоді висоти потрібно перемножити між собою і синусом кута між ними. Варто зазначити, що використовувати цю формулу можна і до всіх фігур, які відносяться до параллелограммам (тобто до прямокутника, ромба і квадрата).

Інші властивості чотирикутників: вписані та описані кола

Розглянувши особливості і властивості чотирикутника як фігури евклідової геометрії, варто звернути увагу на можливість описувати навколо або вписувати всередині нього кола:

Якщо суми протилежних кутів фігури складають за сто вісімдесят градусів і попарно рівні між собою, то навколо такого чотирикутника можна вільно описати окружність.

Відповідно до теореми Птолемея, якщо зовні багатокутника з чотирма сторонами описаний коло, то добуток його діагоналей дорівнює сумі добутків протилежних сторін даної фігури. Таким чином, формула буде виглядати так: КМ х LN = KL х MN + LM х KN.

Якщо побудувати чотирикутник, в якому суми протилежних сторін рівні між собою, то в нього можна вписати коло.

Розібравшись з тим, що таке чотирикутник, що за його види існують, які з них мають тільки прямі кути між сторонами і якими властивостями вони володіють, варто запам'ятати весь цей матеріал. Особливо формули знаходження периметра і площі розглянутих багатокутників. Адже фігури такої форми - одні з найпоширеніших, і ці знання можуть знадобитися для обчислень в реальному житті.