В одному можна бути впевненим на всі сто відсотків, що на питання, чому дорівнює квадрат гіпотенузи, будь-яка доросла людина сміливо відповість: «Сумі квадратів катетів». Ця теорема міцно засіла у свідомості кожної освіченої людини, але достатньо лише попросити кого-небудь довести, і тут можуть виникнути складності. Тому давайте згадаємо і розглянемо різні способи доведення теореми Піфагора.

Короткий огляд біографії

Теорема Піфагора знайома практично кожному, але чомусь біографія людини, який справив на світло, не так популярна. Це можна виправити. Тому перш ніж вивчити різні способи доведення теореми Піфагора, потрібно коротко познайомитися з його особистістю.


Піфагор – філософ, математик, мислитель родом з Стародавньої Греції. Сьогодні дуже складно відрізнити його біографію від легенд, які склалися в пам'ять про цю велику людину. Але як випливає з праць його послідовників, Піфагор Самоський народився на острові Самос. Його батько був звичайний каменеріз, а от мати походила із знатного роду. Судячи з легендою, поява на світ Піфагора передбачила жінка по імені Піфія, на чию честь і назвали хлопчика. За її пророкуванням народжений хлопчик повинен був принести багато користі і добра людству. Що взагалі-то він і зробив.

Народження теореми

В юності Піфагор переїхав з острова Самос в Єгипет, щоб зустрітися там з відомими єгипетськими мудрецями. Після зустрічі з ними він був допущений до навчання, де і пізнав усі великі досягнення єгипетської філософії, математики і медицини.


Ймовірно, саме в Єгипті Піфагор надихнувся величністю і красою пірамід і створив свою велику теорію. Це може шокувати читачів, але сучасні історики вважають, що Піфагор не доводив свою теорію. А лише передав своє знання послідовникам, які пізніше і завершили всі необхідні математичні обчислення. Як би там не було, сьогодні відома не одна методика доведення даної теореми, а відразу декілька. Сьогодні залишається лише гадати, як саме древні греки виробляли свої обчислення, тому тут розглянемо різні способи доведення теореми Піфагора.

Теорема Піфагора

Перш ніж починати якісь обчислення, потрібно з'ясувати, яку теорію належить довести. Теорема Піфагора звучить так: «В трикутнику, у якого один з кутів дорівнює 90 про сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи». Всього існує 15 різних способів доведення теореми Піфагора. Це досить велика цифра, тому приділимо увагу найпопулярнішим з них.

Спосіб перший

Спочатку позначимо, що нам дано. Ці дані будуть поширюватися і на інші способи доведення теореми Піфагора, тому варто відразу запам'ятати все наявне позначення. Припустимо, дано прямокутний трикутник з катетами а, в і гіпотенузою, рівній с. Перший спосіб доведення грунтується на тому, що з прямокутного трикутника потрібно домалювати квадрат. Щоб це зробити, потрібно до катету завдовжки а домалювати відрізок рівний катету в, і навпаки. Так повинно вийти дві рівні сторони квадрата. Залишається тільки намалювати дві паралельні прямі, і квадрат готовий.
Всередині отриманої фігури потрібно накреслити ще один квадрат зі стороною дорівнює гіпотенузі вихідного трикутника. Для цього від вершин ас і св потрібно намалювати два паралельні відрізки рівних с. Таким чином, вийти три сторони квадрата, одна з яких і є гіпотенуза вихідного прямокутного трикутника. Залишається лише дочертить четвертий відрізок. На підставі отриманого малюнка можна зробити висновок, що площа зовнішнього квадрата дорівнює (а+в) 2 . Якщо заглянути всередину фігури, можна побачити, що крім внутрішнього квадрата в ній є чотири прямокутних трикутника. Площа кожного дорівнює 05 ав. Тому площа дорівнює: 4*05 ав+с 2 =2ав+з 2 Звідси (а+в) 2 =2ав+з 2 І, отже, з 2 =а 2 +в 2 Теорема доведена.

Спосіб два: подібні трикутники

Дана формула доведення теореми Піфагора була виведена на підставі твердження з розділу геометрії про подібних трикутниках. Воно свідчить, що катет прямокутного трикутника – середнє пропорційне для його гіпотенузи і відрізка гіпотенузи, що виходить з вершини кута 90 про . Вихідні дані залишаються ті ж, тому почнемо відразу з докази. Проведемо перпендикулярний стороні відрізок АВ СД. Грунтуючись на вищеописаному затвердження катети трикутника дорівнюють: АС=?АВ*ПЕКЛО, СВ=?АВ*ДВ. Щоб відповісти на питання, як довести теорему Піфагора, доказ потрібно прокласти зведенням в квадрат обох нерівностей. АС 2 =АВ*ПЕКЛО і СВ 2 =АВ*ДВ Тепер потрібно скласти отримані нерівності. АС 2 + СВ 2 =АВ*(АД*ДВ), де АД+ДВ=АВ Виходить, що: АС 2 + СВ 2 =АВ*АВ І, отже: АС 2 + СВ 2 =АВ 2 Доказ теореми Піфагора і різні способи її вирішення потребують різнобічному підході до даної задачі. Однак цей варіант є одним з найпростіших.

Ще одна методика розрахунків

Опис різних способів доведення теореми Піфагора можуть ні про що не сказати, до тих самих пір, поки самостійно не візьмешся до практики. Багато методики передбачають не тільки математичні розрахунки, але і побудова з вихідного трикутника нових фігур.
В даному випадку необхідно від катета ВС добудувати ще один прямокутний трикутник ВСД. Таким чином, тепер є два трикутника з загальним катетом ВС. Знаючи, що площі подібних фігур мають співвідношення як квадрати їх подібних лінійних розмірів, то: S авс * з 2 - S авд *у 2 =S авд *а 2 - S всд *а 2 S авс *(з 2 -у 2 )=а 2 *(S авд -S всд ) з 2 -у 2 =а 2 з 2 =а 2 +в 2 Оскільки з різних способів доведення теореми Піфагора для 8 класу цей варіант навряд чи підійде, можна скористатися такою методикою.

Найпростіший спосіб довести теорему Піфагора. Відгуки

Як вважають історики, цей спосіб був вперше використаний для доведення теореми ще в стародавній Греції. Він є самим простим, так як не вимагає абсолютно ніяких розрахунків. Якщо правильно накреслити малюнок, то доказ твердження, що а 2 +в 2 =з 2 буде видно наочно. Умови для даного способу буде трохи відрізнятися від попереднього. Щоб довести теорему, припустимо, що прямокутний трикутник АВС – рівнобедрений. Гіпотенузу АС приймаємо за сторону квадрата і дочерчиваем три його сторони. Крім цього необхідно провести дві діагональні прямі в цьому квадраті. Таким чином, щоб усередині нього вийшло чотири рівнобедрених трикутника. До катетам АВ і СВ так само потрібно дочертить по квадрату і провести по одній діагоналі прямої в кожному з них. Першу пряму креслимо з вершини А, другу – з С. Тепер потрібно уважно вдивитися в одержаний малюнок. Оскільки на гіпотенузі АС лежить чотири трикутника, рівні вихідного, а на катетах по два, це говорить про правдивість даної теореми. До речі, завдяки цій методиці доведення теореми Піфагора і з'явилася на світ знаменита фраза: «Піфагорові штани на всі сторони рівні».

Доказ Дж. Гарфілда

Джеймс Гарфілд – двадцятий президент Сполучених Штатів Америки. Крім того, що він залишив свій слід в історії як правитель США, він був ще й талановитим самоуком. На початку своєї кар'єри він був звичайним викладачем в народній школі, але незабаром став директором одного з вищих навчальних закладів. Прагнення до саморозвитку і дозволило йому запропонувати нову теорію доведення теореми Піфагора. Теорема і приклад її вирішення виглядає наступним чином. Спочатку потрібно накреслити на аркуші паперу два прямокутних трикутника таким чином, щоб катет одного з них був продовженням другого. Вершини цих трикутників потрібно з'єднати, щоб в кінцевому підсумку вийшла трапеція. Як відомо, площа трапеції дорівнює добутку полусумми її підстав на висоту. S=а+в/2 * (а+в) Якщо розглянути отриману трапецію, як фігуру, що складається з трьох трикутників, то її площу можна знайти так: S=ав/2 *2 + з 2 /2 Тепер необхідно зрівняти два вихідних вираження 2ав/2 + с/2=(а+в) 2 /2 з 2 =а 2 +в 2 Про теорему Піфагора і способи її докази можна написати не один том навчального посібника. Але чи є в ньому сенс, коли ці знання можна застосувати на практиці?

Практичне застосування теореми Піфагора

На жаль, в сучасних шкільних програмах передбачено використання даної теореми тільки в геометричних задачах. Випускники скоро покинуть шкільні стіни, так і не дізнавшись, а як вони можуть застосувати свої знання і вміння на практиці. Насправді ж використовувати теорему Піфагора в своєму повсякденному житті може кожен. Причому не тільки в професійній діяльності, але і в звичайних домашніх справах. Розглянемо кілька випадків, коли теорема Піфагора та способи її докази можуть виявитися вкрай необхідними.

Зв'язок теореми і астрономії

Здавалося б, як можуть бути пов'язані зірки і трикутники на папері. Насправді ж астрономія – це наукова сфера, в якій широко використовується теорема Піфагора. Наприклад, розглянемо рух світлового променя в космосі. Відомо, що світло рухається в обидві боки з однаковою швидкістю. Траєкторію АВ, якою рухається промінь світла назвемо l . А половину часу, який необхідно світла, щоб потрапити з точки А в точку Б, назвемо t . І швидкість променя – c . Виходить, що: c*t=l Якщо подивитися на цей самий промінь з іншої площини, наприклад, з космічного лайнера, який рухається зі швидкістю v, то при такому спостереженні тел їх швидкість зміниться. При цьому навіть нерухомі елементи стануть рухатися зі швидкістю v у зворотному напрямку. Припустимо, комічний лайнер пливе вправо. Тоді точки А та В, між якими розривається промінь, стануть рухатися вліво. Причому, коли промінь рухається від точки А в точку в, точка А встигає переміститися і, відповідно, світло вже прибуде в нову точку С. Щоб знайти половину відстані, на яке змістилася точка А, треба швидкість лайнера помножити на половину часу подорожі променя (t'). d= t'*v А щоб знайти, яку відстань за цей час зміг пройти промінь світла, потрібно позначити половину шляху нової букової s і отримати наступний вираз: s=c* t' Якщо уявити, що точки світла С і В, а також космічний лайнер – це вершини рівнобедреного трикутника, то відрізок від точки А до лайнера розділить його на два прямокутних трикутника. Тому завдяки теоремі Піфагора можна знайти відстань, яку зміг пройти промінь світла. s 2 =l 2 + d 2 Цей приклад, звичайно, не самий вдалий, так як тільки одиницям може пощастити випробувати його на практиці. Тому розглянемо більш приземлені варіанти застосування цієї теореми.

Радіус передачі мобільного сигналу

Сучасне життя вже неможливо уявити без існування смартфонів. Але чи багато було б від них пуття, якщо б вони не могли з'єднувати абонентів за допомогою мобільного зв'язку?! Якість мобільного зв'язку безпосередньо залежить від того, на якій висоті перебувати антена мобільного оператора. Для того щоб обчислити, якій відстані від мобільної вишки телефон може приймати сигнал, можна застосувати теорему Піфагора. Припустимо, потрібно знайти приблизну висоту стаціонарного вишки, щоб вона могла поширювати сигнал в радіусі 200 кілометрів. АВ (висота вишки) = х; НД (радіус передачі сигналу) = 200 км; ОС (радіус земної кулі) = 6380 км; Звідси ОВ=ОА+АВОВ=r+х Застосувавши теорему Піфагора, з'ясуємо, що мінімальна висота вишки повинна становити 23 кілометра.

Теорема Піфагора в побуті

Як не дивно, теорема Піфагора може виявитися корисною навіть у побутових справах, таких як визначення висоти шафи-купе, наприклад. На перший погляд, немає необхідності використовувати такі складні обчислення, адже можна просто зняти мірки з допомогою рулетки. Але багато хто дивуються, чому в процесі складання виникають певні проблеми, якщо всі мірки були зняті більш ніж точно. Справа в тому, що шафа-купе збирається в горизонтальному положенні і тільки потім піднімається і встановлюється до стіни. Тому боковина шафи в процесі підйому конструкції повинна вільно проходити і по висоті, і по діагоналі приміщення. Припустимо, є шафа-купе глибиною 800 мм. Відстань від підлоги до стелі – 2600 мм Досвідчений меблевик скаже, що висота шафи повинна бути на 126 мм менше, ніж висота приміщення. Але чому саме на 126 мм? Розглянемо на прикладі. При ідеальних габарити шафи перевіримо дію теореми Піфагора: АС=?АВ 2 +?НД 2 АС=?2474 2 +800 2 =2600 мм – все сходиться. Припустимо, висота шафи дорівнює не 2474 мм, а 2505 мм. Тоді: АС=?2505 2 +?800 2 =2629 мм. Отже, цей шафа не підійде для установки в даному приміщенні. Так як при піднятті його у вертикальне положення можна завдати шкоди його корпусу. Мабуть, розглянувши різні способи доведення теореми Піфагора різними вченими, можна зробити висновок, що вона більш ніж правдива. Тепер можна використовувати отриману інформацію у своєму повсякденному житті і бути повністю впевненим, що всі розрахунки будуть не тільки корисні, але і вірні.