Витоки
У Стародавній Греції люди порівнювали властивості чисел у відповідності з їх іменами. Делителям чисел була відведена особлива роль в нумерології. У зв'язку з цим, ідеальними (досконалими) числами були ті, що дорівнювали сумі своїх дільників. Але, стародавні греки до складу дільників не включали саме число. Щоб краще зрозуміти, що таке досконалі числа, покажемо це на прикладах.Виходячи з цього визначення, найменше ідеальне число – це 6. Після нього буде 28. Потім 496. Піфагор вважав, що є особливі числа. Такої ж думки дотримувався і Евклід. Для них ці числа були настільки незвичайні і специфічні, що вони асоціювали їх з містичними. Таким чисел властиво бути досконалими. Ось, що таке досконалі числа для Піфагора і Евкліда. До них ставилися 6 і 28.
Ключ
Математики завжди прагнуть при вирішенні завдання з кількома варіантами рішення знайти загальний ключ для знаходження відповіді. Так, вони шукали формулу, що визначає ідеальне число. Але виходила лише гіпотеза, яку потрібно було ще довести. Уявіть собі, вже визначивши, що таке досконалі числа, математики витратили більше тисячі років, щоб визначити п'яте з них! Через 1500 років воно стало відомо.Дуже вагомий внесок у розрахунках ідеальних чисел внесли вчені Ферма і Мерсен (XVII ст.). Вони запропонували формулу для їх обчислення. Завдяки французьким математикам і працям багатьох інших вчених на початок 2018 року кількість скоєних чисел досягло 50.
Прогрес
Безумовно, якщо на відкриття досконалого числа, яке по рахунку було вже п'ятим, пішло півтора тисячоліття, то сьогодні завдяки комп'ютерам вони обчислюються набагато швидше. Наприклад, відкриття 39-го ідеального числа довелося на 2001 рік. Воно має 4 мільйона знаків. У лютому 2008 року відкрили 44-е досконале число. У 2010 році – 47-е ідеальне, і до 2018 року, як було сказано вище, відкрито 50-е число зі статусом досконалості. Є ще одна цікава особливість. Вивчаючи, що таке досконалі числа, математики зробили відкриття – вони всі парні.Трохи історії
Достеменно невідомо, коли вперше були помічені числа, відповідні ідеалу. Однак припускають, що ще у стародавньому Єгипті і Вавилоні вони зображувалися на пальцевому рахунку. І неважко здогадатися, яке досконале число вони зображували. Безумовно, це було 6. До самого п'ятого століття нашої ери зберігався рахунок за допомогою пальців. Для показу числа 6 на руці загинали безіменний палець і випрямляли інші. У Стародавньому Єгипті мірою довжини служив лікоть. Це було рівносильно довжині двадцяти восьми пальців. А, наприклад, у Стародавньому Римі був цікавий звичай – відводити шосте місце на бенкетах почесним і знатним гостям.Послідовники Піфагора
Послідовники Піфагора теж захоплювалися ідеальними числами. Яке з чисел є досконалим після 28 дуже цікавило Евкліда (IV ст. до н. е.). Він дав ключ до пошуку всіх ідеальних парних чисел. Інтерес представляє дев'ята книга Евклідових «Почав». Серед його теорем є та, яка пояснює, що досконалим називається число, яке володіє чудовою властивістю: значення р рівнозначно виразу 1+2+4++2n, що можна записати як 2n+1-1. Це просте число. Але вже 2np буде досконалим. Щоб переконатися в справедливості цього твердження, потрібно розглянути всі власні дільники числа 2np і підрахуйте їх суму. Це відкриття імовірно належить учням Піфагора.Правило Евкліда
Крім того, Евклід довів: вид парного досконалого числа представлений математично як 2n-1(2n-1). Якщо n – просте і 2n-1 буде простим.
Подальші пошуки математиків
Числа, які вважаються простими і відносяться до ряду 2n-1 носять назву – числа Мерсенна. Це назву дано на честь французького математика, який жив у XVII столітті. Саме він відкрив восьме досконале число в 1644 році. Через 250 років російська вчений математик Первушин В. М. з Пермської губернії знайшов дев'яте ідеальне число. З 1952 року в подібні математичні дослідження підключили ЕОМ (електронно-обчислювальні машини). Швидкість розрахунків значно збільшилася. Приміром, стало відомо, що на відміну від першого ідеального числа 6 що є однозначним, двадцять четверте має в своєму арсеналі більше ніж 12000 знаків!Історія про шахову дошку
Є одна дуже цікава історія про шахову дошку, царя і зерна. Одного разу цар, будучи захопленим від гри в шахи, запропонував творця гри вибрати собі нагороду. Тоді мудрець вибрав собі скромну, здавалося б, нагороду – покласти на клітини шахової дошки зерна. Здивував порядок розкладки: на першу клітку 1 зерно, на другу – 2 третя клітина повинна містити 4 і так заповнити всю дошку. Цікаво те, що в останній 64 клітці виявилося 1199038 364791120 тонн, що становить 18446744 073709551 615 зерен. Ця кількість приблизно в 1800 разів вище світового врожаю пшениці, зібраного за всю людську історію. Якщо вважати масу одного зернятка як 0065 г, тоді загальна маса на шаховій дошці буде 1200 трильйони тонн. Якби потрібно було побудувати комору для зберігання такої кількості зерна, то його розміри були б більше гори Еверест: 10 х 10 х 15 (км), а в обсягах це склало б близько 1500 км3!
Нумерологія
В нумерології існує таке поняття, як найбільш досконале число 108 приносить успіх. Його коріння сягають у ведичну культуру. Вважається, що якщо виконати певну дію рівно 108 разів, то в цьому заході буде досягнута певна щабель досконалості. Таку думку пов'язано з пристроєм людської пам'яті: вона розділена на короткочасну і постійну (внутрішню). Так ось, саме у внутрішню пам'ять поміщаються ті поняття, які людина виконав 108 разів. Можливо, тому вервиця для молитви в класичному виконанні містять саме 108 намистин. Так, після прочитання молитви по повному колу чоток вона стає частиною постійної пам'яті людини.
Містика і факти
Щоб зрозуміти, чи є число досконалим, необхідно робити певні розрахунки. Іншого шляху немає. І такі числа зустрічаються рідко. Наприклад, піфагорієць Ямблих писав про ідеальних числах як про явище, що зустрічається від міріади до міріади міріад, і потім від міріади міріад до міріад міріад міріад і т. д. Однак в XIX столітті були проведені перевірочні розрахунки, які показали, що вчинені числа нам зустрічаються ще рідше. Так, від 1020 до 1036 немає ніякого досконалого числа, а якщо слідувати Ямблиху, то їх має бути чотири. Швидше за все, саме складність знаходження таких чисел послужила приводом до наділення їх містичними властивостями. Хоча, спираючись на біблійну історію, її дослідники зробили висновок, що світ створений дійсно прекрасним і досконалим, бо число днів творіння – це 6. А ось людина неідеальний, так як створений і живе в сьомому дні. Проте його завдання – це прагнути до досконалості. Цікавими фактами є такі:
Цікаві розрахунки
Отже, досконалим називається число, яке дорівнює сумі дільників: 1 + 2 + 3 + + n Підсумовуються всі дільники, які менше самого числа. Кожне ідеальне число, крім 6 – це часткова сума ряду, що складається з непарних чисел третього ступеня: 13 + 33 + 53 + n3. Ще одна дивна властивість цих чисел полягає в наступному: сума зворотних значень дільників, в тому числі рівного самому числу, завжди буде 2. Наприклад, візьмемо 28 тоді 1/1+1/2+ 1/4+1/7+1/14+1/28 = 2. Як було сказано вище, всі числа, які можна знайти за допомогою формули Евкліда, будуть парні. До цього часу нам не відомі непарні ідеальні числа. Безумовно, останнім часом зроблено великий прорив у науці математики і в питанні досконалих чисел зокрема. Однак проблема вивчення цих математичних понять залишається відкритою. Якщо навіть і припустити існування непарного ідеального числа, то воно повинно бути більше ніж 10300 і в мінімумі мати 75 простих дільників, враховуючи кратність (9 з них повинні бути різними). Також зовсім незрозуміло, звичайно число скоєних чисел або все-таки обмежена? Усі парні досконалі числа рівносильні сумі послідовних натуральних чисел. Іншими словами, вони трикутні. Числа, які можна записати у вигляді 2p – 1 називають числами Мерсенна. У кожного такого числа є відповідне досконале число. Те ж саме можна сказати навпаки: кожному ідеального числу відповідає число Мерсенна. Ще одним важливим відкриттям став зв'язок між двоичностью і досконалістю. Якщо уважно подивитися, то ми побачимо зв'язок з геометричною прогресією. Поряд з досконалими неодмінно варто зазначити дружні числа. Це два числа, яким властиво правило: кожне дорівнює сумі дільників другого. Меншими з них є 220 і 284. Піфагорійцям вони були знайомі. Їм присвоїли статус символу дружби. Наступну пару відкрили в 1636 році. Це 17296 і 18416. Ця дружня пара стала нам відома завдяки французькому юристу і математику П'єру Фермі.