Початок кар'єри
Міодраг Божович народився 22 червня 1968 року в Югославії. Там він приєднався до академії місцевого футбольного клубу «Будучность», де і провів свої молоді роки. В 1986 році, коли йому виповнилося вісімнадцять років, Божович уклав професійний контракт з клубом, за який виступав значний відрізок своєї кар'єри. Шість років Міодраг захищав кольори «Будучності», перш ніж у 1992 році перебратися в один з найсильніших клубів Югославії - «Црвена Звезда». Однак саме «Будучность» стала для гравця справжнім домом – Міодраг Божович відіграв за клуб 107 матчів, забивши в них шість голів.Кар'єра гравця
У команді «Црвена Зірка» Міодраг Божович, фотографії якого стали з'являтися на обкладинках місцевих спортивних журналів, провів всього два роки. У 1994 році 26-річний гравець вирішив спробувати екзотики і перебрався в індонезійська клуб «Пелита Джай», де відіграв ще два роки. У 1996 році Міодраг вирішив, що хоче виступати в Європі, але все ж в теплій країні, тому він переїхав на Кіпр, де цілий рік захищав кольори «АПОПа». У 1997 році він перейшов в голландський «Валвейк», але прижитися там не зумів. У результаті вже В наступному році Божович переїхав в японську «Ависпу», але і там провів лише один сезон, практично не виходячи на поле. У 1999 році 31-річний захисник повернувся в Голландію, де підписав короткостроковий контракт з «Розендалом», а влітку того ж року оголосив, що завершує кар'єру. Так в минуле пішов гравець Міодраг Божович – фото в молодості цього футболіста з працею можна знайти, так як він більш відомий як тренер.Кар'єра тренера
Відразу ж після завершення кар'єри футболіста Божович вирішив, що хоче стати тренером. Тому вже в 2000 році він увійшов до тренерського штабу югославського клубу «Белград», звідки через рік перебрався до Японії, де став працювати в «Консадоле» помічником тренера. У 2002 році він повернувся в Югославію, увійшовши в тренерський штаб «Борац», а потім перебрався в «Хайдук». З 2004 року Божович асистував у клубі «АЕП» на Кіпрі, поки в 2005 році не отримав можливість самостійно тренувати професійні команди. Тоді-то він і очолив «Борац», з якими вже працював раніше. Там він пропрацював лише рік, після чого повернувся в свій рідний клуб «Будучность», який на той момент вже виступав у Чемпіонаті Чорногорії. Там тренер провів дуже успішний рік, а потім перебрався в інший чорногорський клуб «Грбаль». У тому ж році Божович ще раз очолив «Борац», а в 2008 році почалося його подорож у Росію.Спершу він трохи менше року очолював «Амкар», потім півтора року стояв біля керма «Москви», після чого перебрався в інший столичний клуб – «Динамо». Там він пропрацював рік, після чого повернувся в «Амкар». У червні 2012 року Божович очолив «Ростов», з яким у нього видалася найгірша серія в кар'єрі. Восени 2014 року Міодраг був призначений головним тренером «Локомотива» - це був останній російський клуб, який він тренував. До травня 2015 року Божович повернувся на батьківщину, де очолив команду «Црвена Зірка», і на сьогоднішній день показує з нею неймовірні результати. З 64 матчів він програв тільки 8 і 9 зіграв внічию – інші 47 закінчилися перемогами.