Львів
C
» » Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення

Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення

Істинне знання у всі часи базувалося на встановленні закономірності і доведенні її правдивості в певних обставинах. За такий тривалий термін існування логічних міркувань були дано формулювання правил, а Аристотель навіть склав список «правильних міркувань». Історично прийнято ділити всі умовиводи на два типи – від конкретного до множинного (індукція) і навпаки (дедукція). Слід зазначити, що типи доказів від приватного до загального і від загального до приватного існують лише у взаємозв'язку і не можуть бути взаємозамінні.


Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення

Індукція в математиці

Термін "індукція" (induction) має латинські корені і дослівно перекладається як «наведення». При уважному вивченні можна виділити структуру слова, а саме латинську приставку – in- (позначає спрямовану дію всередину або знаходження всередині) і -duction – введення. Варто зазначити, що існує два види – повна і неповна індукція. Повну форму характеризують висновки, зроблені на основі вивчення всіх предметів деякого класу.
Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення
Неповну – висновки, що застосовуються до всіх предметів класу, але зроблені на підставі вивчення лише окремих одиниць.
Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення
Повна математична індукція – умовивід, що базується на загальному висновку про все класі яких-небудь предметів, функціонально пов'язаних відносинами натурального ряду чисел на основі знання цієї функціональної зв'язку. При цьому процес доказу проходить у три етапи:
  • на першому доводиться правильність положення математичної індукції. Приклад: f = 1 це базис індукції;
  • наступний етап будується на припущенні про правомірність положення для всіх натуральних чисел. Тобто, f=h, це припущення індукції;
  • на третьому етапі доводиться справедливість положення для числа f=h+1 на підставі вірності положення попереднього пункту – це індукційний перехід, або крок математичної індукції. Прикладом може слугувати так званий "принцип доміно": якщо падає перша кісточка в ряду (базис), то впадуть всі кісточки в ряду (перехід).
  • І жартома, і всерйоз

    Для простоти сприйняття приклади рішення методом математичної індукції викривають у форму задач-жартів. Такою є задача «Ввічлива чергу»:


  • Правила поведінки забороняють чоловікові займати чергу перед жінкою (в такій ситуації її пропускають вперед). Виходячи з цього твердження, якщо крайній в черзі - чоловік, то і все решта – чоловіки.
  • Яскравим прикладом методу математичної індукції є завдання «Безрозмірний рейс»:
  • Потрібно довести, що у маршрутку поміщається будь-яка чисельність людей. Правдиве твердження, що одна людина може розміститися всередині транспорту без труднощів (базис). Але як би не була заповнена маршрутка, 1 пасажир у неї завжди поміститься (крок індукції).
  • Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення

    Знайомі колу

    Приклади рішення методом математичної індукції задач і рівнянь зустрічаються досить часто. Як ілюстрацію такого підходу, можна розглянути наступну задачу. Умова : на площині розміщено h кіл. Потрібно довести, що при будь-якому розташуванні фігур утворена ними карта може бути правильно розфарбована двома фарбами. Рішення : при h=1 істинність твердження очевидна, тому доказ буде будуватися для кількості кіл h+1. Приймемо допущення, що твердження достовірно для будь-якої карти, а на площині задано h+1 кіл. Видаливши із загальної кількості одну з кіл, можна отримати правильно розфарбовану двома фарбами (чорної і білої) карту.
    При видалений кола змінюється колір кожної області на протилежний (у зазначеному випадку всередині кола). Виходить карта, правильно розфарбована двома кольорами, що і було потрібно довести.
    Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення

    Приклади з натуральними числами

    Нижче наочно показано застосування методу математичної індукції. Приклади рішення: Довести, що при будь-якому h правильним буде рівність: 1 2 +2 2 +3 2 ++h 2 =h(h+1)(2h+1)/6. Рішення: 1. Нехай h=1 значить: R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1 З цього випливає, що при h=1 твердження правильно. 2. При допущенні, що h=d, виходить рівняння: R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1 3. При допущенні, що h=d+1 виходить: R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6 R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 ++d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d(d+1)(2d+1)+6(d+1) 2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6= (d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6. Таким чином, справедливість рівності при h=d+1 доведена, тому твердження вірно для будь-якого натурального числа, що і показано в прикладі розв'язання математичної індукції. Завдання Умова : потрібен доказ того, що при будь-якому значенні вираз h 7 h -1 ділимо на 6 без залишку. Рішення : 1. Припустимо, h=1 у цьому випадку: R 1 =7 1 -1=6 (тобто ділиться на 6 без залишку) Отже, при h=1 твердження є справедливим; 2. Нехай h=d і 7 d -1 ділиться на 6 без залишку; 3. Доказом справедливості твердження для h=d+1 є формула: R d +1 =7 d +1 -1=7•7 d -7+6=7(7 d -1)+6 В даному випадку перший доданок ділиться на 6 з допущення першого пункту, а другий доданок дорівнює 6. Твердження про те, що 7 h -1 ділимо на 6 без залишку при будь-якому натуральному h – справедливо.
    Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення

    Помилковість суджень

    Часто в доказах використовують неправильні міркування, в силу неточності використовуваних логічних побудов. В основному це відбувається при порушенні структури та логіки докази. Прикладом неправильного міркування може служити така ілюстрація.
    Завдання Умова : потрібен доказ того, що будь-яка купа каміння – не є купкою. Рішення : 1. Припустимо, h=1 у цьому разі в купці 1 камінь і твердження вірно (базис); 2. Нехай при h=d вірно, що купа каміння – не є купкою (припущення); 3. Нехай h=d+1 з чого випливає, що при додаванні ще одного каменю безліч не буде купкою. Напрошується висновок, що припущення справедливе при всіх натуральних h. Помилка полягає в тому, що немає визначення, яке кількість каменів утворює купку. Така ситуація називається поспішним узагальненням методу математичної індукції. Приклад це ясно показує.

    Індукція і закони логіки

    Історично склалося так, що приклади індукції і дедукції завжди "крокують рука об руку". Такі наукові дисципліни, як логіка, філософія описують їх у вигляді протилежностей. З точки зору закону логіки в індуктивних визначень проглядається опора на факти, а правдивість посилок не визначає правильність отриманого затвердження. Найчастіше виходять міркування з певною часткою ймовірності і правдоподібності, які, природно, повинні бути перевірені і підтверджені додатковими дослідженнями. Прикладом індукції в логіці може бути твердження: В Естонії – засуха, в Латвії – засуха, в Литві – посуха. Естонія, Латвія і Литва – прибалтійські держави. У всіх прибалтійських державах посуха. З прикладу можна укласти, що нову інформацію або істину не можна отримати за допомогою методу індукції. Все, на що можна розраховувати – це деяка можлива правдивість висновків. Причому, істинність посилок не гарантує таких же висновків. Однак даний факт не означає, що індукція животіє на задвірках дедукції: безліч положень і наукових законів обґрунтовуються за допомогою методу індукції. Прикладом може служити та ж математика, біологія та інші науки. Пов'язано це здебільшого з методом повної індукції, але в деяких випадках застосовується і часткова. Поважний вік індукції дозволив їй проникнути практично в усі сфери діяльності людини – це і наука, і економіка, і життєві умовиводи.
    Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення

    Індукція в науковому середовищі

    Метод індукції вимагає делікатного відношення, оскільки занадто багато чого залежить від кількості вивчених частковостей цілого: чим більше число вивчено, тим достовірніше результат. Виходячи з цієї особливості, наукові закони, отримані методом індукції, досить довго перевіряються на рівні імовірнісних припущень для виокремлення та вивчення всіх можливих структурних елементів, зв'язків і впливів. В науці індукційне висновок ґрунтується на суттєвих ознаках, з винятком випадкових положень. Цей факт важливий у зв'язку зі специфікою наукового пізнання. Це добре видно на прикладах індукції в науці. Розрізняють два види індукції в науковому світі (у зв'язку зі способом вивчення):
  • індукція-відбір (або селекція);
  • індукція – виняток (елімінація).
  • Перший вид відрізняється методичним (скрупульозним) відбором зразків класу (підкласів) з різних його галузей. Приклад індукції цього виду наступний: срібло (або солі срібла) очищає воду. Висновок ґрунтується на багаторічних спостереженнях (своєрідний відбір підтверджень і спростувань – селекція). Другий вид індукції будується на висновках, встановлюють причинні зв'язки і виключають обставини, що не відповідають властивостям, а саме загальність, дотримання тимчасової послідовності, необхідність і однозначність.
    Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення

    Індукція і дедукція з позиції філософії

    Якщо поглянути на історичну ретроспективу, то термін "індукція" вперше був згаданий Сократом. Аристотель описував приклади індукції в філософії в більш наближеному термінологічному словнику, але питання неповної індукції залишається відкритим. Після гонінь на аристотелівських силогізм індуктивний метод став визнаватися плідним і єдино можливим в природознавстві. Батьком індукції як самостійного особливого методу вважають Бекона, однак йому не вдалося відокремити, як того вимагали сучасники, індукцію від дедуктивного методу. Подальшою розробкою індукції займався Дж. Мілль, який розглядав індукційну теорію з позиції чотирьох основних методів: згоди, відмінності, залишків та відповідних змін. Не дивно, що на сьогоднішній день перераховані методи при їх детальному розгляді є дедуктивними. Усвідомлення неспроможності теорій Бекона і Мілля привело вчених до дослідження ймовірнісної основи індукції. Однак і тут не обійшлося без крайнощів: були зроблені спроби звести індукцію до теорії ймовірності з усіма витікаючими наслідками. Вотум довіри індукція отримує при практичному застосуванні у певних предметних областях і завдяки метричної точності індуктивної основи. Прикладом індукції і дедукції у філософії можна вважати Закон всесвітнього тяжіння. На дату відкриття закону Ньютону вдалося перевірити його з точністю до 4 відсотки. А при перевірці через понад двісті років правильність була підтверджена з точністю до 00001 відсотка, хоча перевірка велася все тими ж індуктивними узагальненнями. Сучасна філософія більше уваги приділяє дедукції, що продиктовано логічним бажанням вивести з вже відомого нові знання (або істини), не звертаючись до досвіду, інтуїції, а оперуючи «чистими» міркуваннями. При зверненні до істинних посилок в дедуктивному методі у всіх випадках на виході отримується істинне твердження. Ця дуже важлива характеристика не повинна затьмарювати цінність індуктивного методу. Оскільки індукція, спираючись на досягнення досвіду, стає і засобом його обробки (включаючи узагальнення і систематизацію).
    Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення

    Застосування індукції в економіці

    Індукція і дедукція давно використовуються як методи дослідження економіки та прогнозування її розвитку. Спектр використання методу індукції, досить широкий: вивчення виконання прогнозних показників (прибуток, амортизація тощо) та загальна оцінка стану підприємства; формування ефективної політики просування підприємства на основі фактів і їх взаємозв'язків. Той же метод індукції застосований в «карти Шухарта», де при припущенні про поділ процесів на керовані і некеровані стверджується, що рамки керованого процесу малорухливі. Слід зазначити, що наукові закони обґрунтовуються та підтверджуються за допомогою методу індукції, а оскільки економіка є наукою, часто користується математичним аналізом, теорією ризиків та статистичними даними, то зовсім не дивно присутність індукції в списку основних методів. Прикладом індукції та дедукції в економіці може служити наступна ситуація. Збільшення ціни на продукти харчування (споживчого кошика) і товари першої необхідності підштовхують споживача до думки про виникає дорожнечі в державі (індукція). Разом з тим, з факту дорожнечі за допомогою математичних методів можна вивести показники зростання цін на окремі товари або категорії товарів (дедукція). Найчастіше звертається до методу індукції керуючий персонал, керівники, економісти. Для того щоб можна було з достатньою правдивістю прогнозувати розвиток підприємства, поведінку ринку, наслідки конкуренції, необхідний індукційно-дедуктивний підхід до аналізу та обробки інформації. Наочний приклад індукції в економіці, що відноситься до помилкових суджень:
  • прибуток компанії скоротився на 30%;
    конкуруюча компанія розширила лінійку продукції;
    більше нічого не змінилося;
  • виробнича політика конкуруючої компанії стала причиною скорочення прибутку на 30%;
  • отже, потрібно запровадити таку ж виробничу політику.
  • Приклад є яскравою ілюстрацією того, як невміле використання методу індукції сприяє розорення підприємства.
    Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення

    Дедукція і індукція в психології

    Оскільки існує метод, то, за логікою речей, має місце і належним чином організоване мислення (для використання методу). Психологія як наука, що вивчає психічні процеси, їх формування, розвитку, взаємозв'язку, взаємодії, приділяє увагу «дедуктивним» мислення, як однієї з форм прояву дедукції та індукції. На жаль, на сторінках з психології в мережі Інтернет практично відсутня обґрунтування цілісності дедуктивно-індуктивного методу. Хоча професійні психологи частіше стикаються з проявами індукції, а точніше – помилковими висновками. Прикладом індукції в психології, як ілюстрації помилкових суджень, може служити вислів: моя мати – обманює, отже, всі жінки – ошуканки. Ще більше можна почерпнути «помилкових» прикладів індукції з життя:
  • учень ні на що не здатний, якщо отримав двійку з математики;
  • він – дурень;
  • він – розумний;
  • я можу все;
  • - і багато інші оціночні судження, виведені на абсолютно випадкових і, часом, малозначних посиланнях. Слід зазначити: коли помилковість суджень людини доходить до абсурду, з'являється фронт роботи для психотерапевта. Один з прикладів індукції на прийомі у спеціаліста: «Пацієнт абсолютно впевнений в тому, що червоний колір несе для нього тільки небезпека в будь-яких проявах. Як наслідок, людина виключив зі свого життя цю колірну гаму - наскільки це можливо. У домашній обстановці можливостей для комфортного проживання багато. Можна відмовитися від усіх предметів червоного кольору або замінити їх на аналоги, виконані в іншій кольоровій гамі. Але в громадських місцях, на роботі, в магазині – неможливо. Потрапляючи в ситуацію стресу, пацієнт щоразу відчуває «прилив» абсолютно різних емоційних станів, що може представляти небезпеку для оточуючих». Цей приклад індукції, причому неусвідомленої, називається «фіксовані ідеї». У разі якщо таке відбувається з психічно здоровою людиною, можна говорити про брак організованості розумової діяльності. Способом позбавлення від нав'язливих станів може стати елементарне розвиток дедуктивного мислення. В інших випадках з такими пацієнтами працюють психіатри. Наведені приклади індукції свідчать про те, що «незнання закону не звільняє від наслідків (помилкових суджень)».
    Приклади індукції. Метод математичної індукції: приклади вирішення
    Психологи, працюючи над темою дедуктивного мислення, склали список рекомендацій, покликаний допомогти людям освоїти даний метод. Першим пунктом значиться рішення завдань. Як можна було переконатися, та форма індукції, яка вживається в математиці, може вважатися «класичної», і використання цього методу сприяє «дисциплінованості» розуму. Наступною умовою розвитку дедуктивного мислення є розширення кругозору (хто ясно мислить, той ясно викладає). Дана рекомендація направляє «стражденних» в скарбницы наук та інформації (бібліотеки, сайти, освітні ініціативи, подорожі тощо). Точність є наступною рекомендацією. Адже з прикладів використання методів індукції добре видно, що саме вона є багато в чому запорукою істинності тверджень. Не обійшли стороною і гнучкість розуму, маючи на увазі можливість використання різних шляхів і підходів у вирішенні поставленого завдання, а також врахування варіативності розвитку подій. І, звичайно ж, спостережливість, яка є головним джерелом накопичення емпіричного досвіду. Окремо слід згадати про так званої «психологічної індукції». Цей термін, хоча й нечасто, можна зустріти на просторах інтернету. Всі джерела не дають хоча б коротку формулювання визначення цього терміна, але посилаються на «приклади з життя», при цьому видаючи за новий вид індукції то суггестию, то деякі форми психічних захворювань, то крайні стани психіки людини. З усього перерахованого зрозуміло, що спроба вивести «новий термін», спираючись на помилкові (часто не відповідають дійсності) посилки, прирікає експериментатора на отримання помилкового (або поспішного) затвердження. Слід зазначити, що відсилання до експериментів 1960 року (без зазначення місця проведення, прізвищ експериментаторів, вибірки випробуваних і найголовніше – мети експерименту) виглядає, м'яко кажучи, непереконливо, а твердження про те, що мозок сприймає інформацію, минаючи всі органи сприйняття (фраза «відчуває вплив» в даному випадку більш органічно вписалася б), змушує замислитися над забобонність і некритичність автора висловлювання.

    Замість висновку

    Цариця наук – математика, не дарма використовує всі можливі резерви методу індукції та дедукції. Розглянуті приклади дозволяють зробити висновок про те, що поверхневе і невміле (бездумне, як ще кажуть) застосування навіть найбільш точних і надійних методів завжди призводить до хибних результатів. У масовій свідомості метод дедукції асоціюється зі знаменитим Шерлоком Холмсом, який у своїх логічних побудовах частіше використовує приклади індукції, в потрібних ситуаціях користуючись дедукцією. У статті були розглянуті приклади застосування цих методів у різних науках і сферах життєдіяльності людини.