Одним з розділів математики, з якими школярі справляються з найбільшими труднощами, є тригонометрії. Не дивно: для того, щоб вільно оволодіти цією областю знань, вимагається наявність просторового мислення, вміння знаходити синуси, косинуси, тангенси, котангенси за формулами, спрощувати вирази, вміти застосовувати в обчисленнях число пі. Крім цього, потрібно вміти застосовувати тригонометрію при доказі теорем, а це вимагає розвиненої математичної пам'яті, або вміння виводити непрості логічні ланцюжки.

Витоки тригонометрії

Ознайомлення з даною наукою слід почати з визначення синуса, косинуса і тангенса кута, однак насамперед необхідно розібратися, чим взагалі займається тригонометрії. Історично головним об'єктом дослідження даного розділу математичної науки були прямокутні трикутники. Наявність кута в 90 градусів дає можливість здійснювати різні операції, що дозволяють по двом сторонам і одному кутку або по двом кутам і одній стороні визначати значення усіх параметрів розглянутої фігури. У минулому люди помітили цю закономірність і стали активно нею користуватися при будівництві будівель, навігації, астрономії і навіть в мистецтві.

Початковий етап

Спочатку люди міркували про взаємовідносини кутів і сторін виключно на прикладі прямокутних трикутників. Потім були відкриті особливі формули, які дозволили розширити межі вживання в повсякденному житті даного розділу математики. Вивчення тригонометрії в школі сьогодні починається з прямокутних трикутників, після чого отримані знання використовуються учнями у фізиці та вирішенні абстрактних тригонометричних рівнянь, робота з якими починається в старших класах.

Сферична тригонометрія

Пізніше, коли наука вийшла на такий рівень розвитку, формули з синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали використовуватися в сферичної геометрії, де діють інші правила, а сума кутів в трикутнику завжди більше 180 градусів. Даний розділ не вивчається в школі, проте знати про його існування необхідно як мінімум тому, що земна поверхня, так і поверхню будь-якої іншої планети, є опуклою, а значить, будь-яка розмітка поверхні в тривимірному просторі «дугоподібної». Візьміть глобус і нитку. Прикладіть нитку до двох будь-яких точок на глобусі, щоб вона виявилася натягнутою. Зверніть увагу – вона знайшла форму дуги. З такими формами і має справу сферична геометрія, що застосовується в геодезії, астрономії та інших теоретичних і прикладних областях.

Прямокутний трикутник

Трохи дізнавшись про способи застосування тригонометрії, повернемося до базової тригонометрії, щоб надалі розібратися, що таке синус, косинус, тангенс, які розрахунки можна з їх допомогою виконувати і які формули при цьому використовувати. Першим насамперед необхідно усвідомити поняття, що відносяться до прямокутному трикутнику. По-перше, гіпотенуза – це сторона, що лежить навпроти кута в 90 градусів. Вона є найдовшою. Ми пам'ятаємо, що за теоремою Піфагора її чисельне значення дорівнює кореню з суми квадратів двох інших сторін.
Наприклад, якщо дві сторони дорівнюють 3 і 4 сантиметрам відповідно, довжина гіпотенузи складе 5 сантиметрів. До речі, про це знали ще древні єгиптяни близько чотирьох з половиною тисяч років тому. Дві сторони, які утворюють прямий кут, носять назву катетів. Крім того, треба пам'ятати, що сума кутів в трикутнику в прямокутній системі координат дорівнює 180 градусам.

Визначення

Нарешті, твердо розуміючи геометричну базу, можна звернутися до визначення синуса, косинуса і тангенса кута. Синусом кута називається відношення противолежащего катета (тобто сторони, розташованої навпроти потрібного кута) до гіпотенузі. Косинусом кута називається відношення прилеглого катета до гіпотенузі. Запам'ятайте, що ні синус, ні косинус не може бути більше одиниці! Чому? Тому що гіпотенуза – це за замовчуванням найдовша сторона прямокутного трикутника. Яким би довгим не був катет, він буде коротшим гіпотенузи, а значить, їх відношення завжди буде менше одиниці. Таким чином, якщо у вас у відповіді до задачі вийшов синуса або косинуса зі значенням, більшим, ніж 1 шукайте помилки в розрахунках або міркуваннях. Цей відповідь однозначно невірний. Нарешті, тангенсом кута називається відношення противолежащей сторони до прилеглій. Той же самий результат дасть поділ синуса на косинус. Подивіться: у відповідності з формулою ми ділимо довжину сторони на гіпотенузу, після чого ділимо на довжину другої сторони і множимо на гіпотенузу. Таким чином, ми отримуємо те ж саме співвідношення, що і у визначенні тангенса. Котангенс, відповідно, являє собою відношення прилеглій до кута сторони до противолежащей. Той же результат ми отримаємо, поділивши одиницю на тангенс. Отже, ми розглянули визначення, що таке синус, косинус, тангенс і котангенс, і можемо зайнятися формулами.

Найпростіші формули

У тригонометрії не обійтися без формул – як знайти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А адже саме це потрібно при вирішенні завдань. Перша формула, яку необхідно знати, починаючи вивчати тригонометрію, говорить про те, що сума квадратів синуса і косинуса кута дорівнює одиниці. Дана формула є прямим наслідком теореми Піфагора, однак дозволяє заощадити час, якщо потрібно дізнатися величину кута, а не сторони.
Багато учні не можуть запам'ятати другу формулу, також дуже популярну при вирішенні шкільних завдань: сума одиниці і тангенса кута квадрата дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса кута. Придивіться: адже це те ж саме твердження, що і в першою формулою, тільки обидві сторони тотожності були поділені на квадрат косинуса. Виходить, проста математична операція робить тригонометрическую формулу зовсім невпізнанною. Пам'ятайте: знаючи, що таке синус, косинус, тангенс і котангенс, правила перетворення і кілька базових формул ви в будь-який момент зможете самі вивести необхідні більш складні формули на аркуші паперу.

Формули подвійного кута і додавання аргументів

Ще дві формули, які потрібно вивчити, пов'язані зі значеннями синуса і косинуса при сумі та різниці кутів. Вони представлені на малюнку нижче. Зверніть увагу, що в першому випадку обидва рази перемножується синус і косинус, а в другому складається попарне добуток синуса і косинуса. Також існують формули, пов'язані з аргументами у вигляді подвійного кута. Вони повністю виводяться з попередніх – в якості тренування спробуйте отримати їх самостійно, прийнявши кут альфа рівним куту бета. Нарешті, зверніть увагу, що формули подвійного кута можна перетворити так, щоб знизити ступінь синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теореми

Двома основними теоремами в базовій тригонометрії є теорема теорема синусів і косинусів. З допомогою цих теорем ви легко зможете зрозуміти, як знайти синус, косинус і тангенс, а значить, і площа фігури, і величину кожної сторони і т. д. Теорема синусів стверджує, що в результаті ділення довжини кожної з сторін трикутника на величину противолежащего кута ми отримаємо однакове число. Більш того, це число буде дорівнює двом радіусам описаної окружності, тобто кола, що містить всі точки даного трикутника. Теорема косинусів узагальнює теорему Піфагора, проектуючи її на будь-які трикутники. Виявляється, із суми квадратів двох сторін відняти їх твір, помножене на подвійний косинус суміжного їм кута - отримане значення виявиться дорівнює квадрату третьої сторони. Таким чином, теорема Піфагора виявляється окремим випадком теореми косинусів.

Помилки через неуважність

Навіть знаючи, що таке синус, косинус і тангенс, легко зробити помилку через неуважність уваги або помилки в найпростіших розрахунках. Щоб уникнути таких помилок, ознайомимося з найбільш популярними з них. По-перше, не слід перетворювати звичайні дроби в десяткові до отримання остаточного результату – можна і залишити відповідь у вигляді звичайного дробу, якщо умови не обумовлено протилежне. Таке перетворення не можна назвати помилкою, однак слід пам'ятати, що на кожному етапі завдання можуть з'явитися нові корені, які за задумом автора повинні скоротитися. У цьому випадку ви даремно витратите час на зайві математичні операції. Особливо це актуально для таких значень, як корінь з трьох або двох, адже вони зустрічаються в задачах на кожному кроці. Те ж стосується заокруглень «некрасивих» чисел. Далі, зверніть увагу, що до будь-якого трикутника застосовна теорема косинусів, але не теорема Піфагора! Якщо ви помилково забудете відняти подвоєне твір сторін, помножене на косинус кута між ними, ви не тільки отримаєте абсолютно невірний результат, але і продемонструєте повне нерозуміння предмету. Це гірше, ніж помилка через неуважність. По-третє, не плутайте значення для кутів в 30 і 60 градусів для синусів, косинусів, тангенсів, котангенсов. Запам'ятайте ці значення, адже синус 30 градусів дорівнює косинусу 60 і навпаки. Їх легко переплутати, внаслідок чого ви неминуче отримаєте помилковий результат.

Застосування

Багато учні не поспішають приступати до вивчення тригонометрії, оскільки не розуміють її прикладного сенсу. Що таке синус, косинус, тангенс для інженера або астронома? Це поняття, завдяки яким можна обчислити відстань до далеких зірок, передбачити падіння метеорита, відправити дослідницький зонд на іншу планету. Без них не можна побудувати будівлю, спроектувати автомобіль, розрахувати навантаження на поверхню або траєкторію руху предмета. І це лише найбільш очевидні приклади! Адже тригонометрії в тому чи іншому вигляді використовується всюди, починаючи від музики і закінчуючи медициною.

На закінчення

Отже, ви знаєте, що таке синус, косинус, тангенс. Ви можете використовувати їх в розрахунках і успішно вирішувати шкільні завдання. Вся суть тригонометрії зводиться до того, що по відомим параметрам трикутника потрібно обчислити невідомі. Всього цих шість параметрів: довжини трьох сторін і величини трьох кутів. Всі розходження в завданнях полягає в тому, що даються неоднакові вхідні дані. Як знайти синус, косинус, тангенс виходячи з відомих довжин катетів або гіпотенузи, ви тепер знаєте. Оскільки ці терміни позначають не що інше, як відношення, а відношення – це дріб, головною метою тригонометричної завдання стає знаходження коренів звичайного рівняння або системи рівнянь. І тут вам допоможе звичайна шкільна математика.