Що таке нулі функції? Відповість досить проста - це математичний термін, під яким розуміють область визначення заданої функції, на якому її нульове значення. Нулі функції також називають коренями рівняння. Найпростіше пояснити, що таке нулі функції, на кількох простих прикладах.

Приклади

Розглянемо нескладне рівняння у=х+3. Оскільки нуль функції - це значення аргументу, при якому у придбав нульове значення підставимо 0 в ліву частину рівняння: 0=х+3; х=-3. В даному випадку -3 і є шуканий нуль. Для цієї функції існує тільки один корінь рівняння, але так буває далеко не завжди. Розглянемо інший приклад: у=х 2 -9. Підставимо 0 в ліву частину рівняння, як і в попередньому прикладі: 0=х 2 -9; -9=х 2 . Очевидно, що в даному випадку нулів функції буде два: х=3 і х=-3. Якщо б у рівнянні був аргумент третього ступеня, нулів було б три. Можна зробити простий висновок, що кількість коренів многочлена відповідає максимальній мірі агрумента в рівнянні. Однак багато функцій, наприклад, у=х 3 на перший погляд суперечать цьому твердженню. Логіка та здоровий глузд підказують, що у цій функції тільки один нуль в точці х=0. Але насправді коріння три, просто всі вони збігаються. Якщо розв'язувати рівняння в комплексній формі, це стає очевидним. х=0 в даному випадку, корінь, кратність якого 3. У попередньому прикладі нулі не збігалися, тому мали кратність 1.

Алгоритм визначення

З поданих прикладів видно, як визначити нулі функції. Алгоритм завжди один і той же:

Записати функцію.

Підставити в або f(x)=0.

Вирішити отримане рівняння.

Складність останнього пункту залежить від ступеня аргументу рівняння. При рішенні рівнянь високих ступенів особливо важливо пам'ятати, що кількість коренів рівняння дорівнює максимальному ступені аргументу. Особливо це актуально для тригонометричних рівнянь, де ділення обох частин на синуса або косинуса призводить до втрати коренів.


Рівняння довільної ступеня найпростіше вирішувати методом Горнера, який був розроблений спеціально для знаходження нулів довільного многочлена. Значення нулів функцій може бути як негативним, так і позитивним, дійсним або лежачим в комплексній площині, одиничним чи множинним. Або ж коренів рівняння може і не бути. Наприклад, функція у=8 не набуде нульового значення ні при якому х, тому що вона не залежить від цієї змінної. Рівняння у=х 2 -16 має два кореня, і обидва лежать в комплексній площині: х 1 =4і, х 2 =-4і.

Типові помилки

Часта помилка, яку допускають школярі, ще толком не розібралися в тому, що таке нулі функції, - це заміна на нуль аргументу (х), а не значення (у) функції. Вони впевнено підставляють у рівняння х=0 і, виходячи з цього, знаходять у. Але це неправильний підхід. Інша помилка, як вже згадувалося, скорочення на синуса або косинуса в тригонометрическом рівнянні, з-за чого і втрачається один або кілька нулів функції. Це не означає, що в таких рівняннях не можна нічого скорочувати, просто при подальших підрахунках необхідно враховувати ці "втрачені" співмножники.

Графічне представлення

Зрозуміти, що таке нулі функції, можна з допомогою математичних програм, таких як Maple. У ній можна побудувати графік, вказавши бажану кількість точок і потрібний масштаб. Ті точки, в яких графік перетинає вісь ОХ, і є шукані нулі. Це один з найшвидших способів знаходження коренів многочлена, особливо якщо його порядок вище третього. Так що якщо є необхідність регулярно виконувати математичні розрахунки, знаходити корені многочленів довільних ступенів, будувати графіки, Maple або аналогічна програма буде просто незамінна для здійснення перевірки розрахунків.