Золотий перетин
Принцип визначення розмірів золотого перетину лежить в основі досконалості цілого світу і його частин у своїй структурі й функціях, його прояв можна бачити в природі, мистецтві та техніці. Вчення про золотий пропорції було закладено в результаті досліджень стародавніми вченими природи чисел.В основі його лежить теорія про пропорції і співвідношеннях поділок відрізків, яке було зроблено ще древнім філософом і математиком Піфагором. Він довів, що при поділі відрізка на дві частини: X (меншу) і Y (більшу), відношення більшого до меншого буде дорівнює відношенню їх суми (всього відрізка): X : Y = Y : X+Y.
Числа Фібоначчі
Знаменита книга Liber абака математика з Італії Леонардо Пізанського, який в подальшому став відомий, як Фібоначчі, побачила світ у 1202 р. В ній вчений вперше призводить закономірність чисел, в ряду яких кожне число є сумою 2-х попередніх цифр. Послідовність чисел Фібоначчі полягає в наступному:011 235 81321 345589 144233377 і т. д. Також учений навів ряд закономірностей:
Спіраль Архімеда і золотий прямокутник
Спіралі, дуже поширені в природі, були досліджені Архімедом, який навіть вивів формулу. Форма спіралі заснована на законах про золотий переріз. При її розкручуванні виходить довжина, до якої можна застосувати пропорції і числа Фібоначчі, збільшення кроку відбувається рівномірно. Паралель між числами Фібоначчі і золотим перетином можна побачити і побудувавши «золотий прямокутник», у якого сторони пропорційні, як 1618:1. Він будується, переходячи від більшого прямокутника до малих так, що довжини сторін будуть дорівнюють числам з ряду. Побудова його можна зробити і у зворотному порядку, починаючи з квадратика «1». При з'єднанні лініями кутів цього прямокутника в центрі їх перетину виходить спіраль Фібоначчі або логарифмічна.
Історія застосування золотих пропорцій
Багато стародавні пам'ятники архітектури Єгипту зведені з використанням золотих пропорцій: знамениті піраміди Хеопса і ін. Архітектори Давньої Греції широко использовалиих їх при зведенні архітектурних об'єктів, таких як храми, амфітеатри, стадіони. Наприклад, були застосовані такі пропорції при будівництві античного храму Парфенон, театру Діоніса (Афіни) та інших об'єктів, які стали шедеврами стародавнього зодчества, що демонструють гармонію, засновану на математичній закономірності. В більш пізні століття інтерес до золотого перетину вщух, і закономірності були забуті, однак знову поновився в епоху Ренесансу разом з книгою францисканського монаха Л. Пачолі ді Борго «Божественна пропорція» (1509 р.). В ній були приведені ілюстрації Леонардо да Вінчі, який закріпив нову назву «золотий перетин». Також були науково доведені 12 властивостей золотої пропорції, причому автор розповідав про те, як проявляється вона в природі, в мистецтві і називав її «принципом побудови світу і природи».Вітрувіанська людина Леонардо
Малюнок, яким Леонардо да Вінчі у 1492 р. проілюстрував книгу Вітрувія, зображує фігуру людини в 2-х позиціях з руками, розведеними в сторони. Фігура вписана в коло і квадрат. Цей малюнок прийнято вважати канонічними пропорціями людського тіла (чоловічого), описаними Леонардо на основі вивчення їх у трактатах римського архітектора Вітрувія. Центром тіла як рівновіддаленої від точкою кінця рук і ніг вважається пупок, довжина рук прирівнюється до зростання людини, максимальна ширина плечей = 1/8 зростання, відстань від верху грудей до волосся = 1/7 від верху грудей до верху голови =1/6 і т. д.
З тих пір малюнок використовується у вигляді символу, що відображає внутрішню симетрію тіла людини. Термін «Золотий перетин» Леонардо використовував для позначення пропорційних відносин у фігурі людини. Наприклад, відстань від пояса до ступень ніг співвідноситься до аналогічного відстані від пупка до маківки так само, як зростання до першої довжині (від пояса вниз). Ці обчислення робиться аналогічно співвідношенню відрізків при обчислення золотої пропорції і прагне до 1618. Всі ці гармонійні пропорції часто використовуються діячами мистецтва для створення красивих і вражаючих творів.
Дослідження золотого перерізу в 16-19 століттях
Використовуючи золотий перетин і числа Фібоначчі, дослідницьку роботу з питання про пропорції продовжують вже не одне століття. Паралельно з Леонардо да Вінчі німецький художник Альбрехт Дюрер також займався розробкою теорії правильних пропорцій тіла людини. Для цього їм навіть був створений спеціальний циркуль. У 16 ст. питання про зв'язок числа Фібоначчі і золотого перетину були присвячені роботи астронома В. Кеплера, який вперше застосував ці правила для ботаніки. Нове «відкриття» чекало золотий перетин в 19 ст. з опублікуванням «Естетичного дослідження» німецького вченого професора Цейзига. Він звів ці пропорції в абсолют і оголосив про те, що вони універсальні для всіх природних явищ. Їм були проведені дослідження величезної кількості людей, вірніше їх тілесних пропорцій (близько 2 тис.), за підсумками яких зроблені висновки про статистичних підтверджених закономірності у співвідношеннях різних частин тіла: довжини плечей, передпліч, кистей, пальців і т. д. Були досліджені також предмети мистецтва (вази, архітектурні споруди), музичні тони, розміри при написанні віршів — все це Цейзиг відобразив через довжини відрізків і цифри, він же ввів термін «математична естетика». Після отримання результатів з'ясувалося, що виходить ряд Фібоначчі.
Число Фібоначчі і золотий перетин в природі
У рослинному і тваринному світі існує тенденція до формоутворення у вигляді симетрії, яка спостерігається в напрямку зростання і руху. Розподіл на симетричні частини, в яких дотримуються золоті пропорції, — така закономірність властива багатьом рослинам і тваринам. Природа навколо нас може бути описана за допомогою чисел Фібоначчі, наприклад:
Використання золотого перетину в мистецтві
Дослідники, що займаються пошуком у мистецтві прикладів використання золотого перетину, детально досліджують різні архітектурні об'єкти і твори живопису. Відомі знамениті скульптурні роботи, творці яких дотримувалися золотих пропорцій, — статуї Зевса Олімпійського, Аполлона Бельведерського і Афіни Парфенос. Одне з творінь Леонардо да Вінчі — «Портрет Мони Лізи» — вже багато років є предметом досліджень науковців. Ними було виявлено, що композиція цілком складається з «золотих трикутників», об'єднаних разом у правильний п'ятикутник-зірку. Всі роботи да Вінчі є свідченням того, наскільки глибокі були його пізнання в будову та пропорції тіла людини, завдяки чому він і зміг вловити неймовірно загадкову посмішку Джоконди.
Золотий перетин в архітектурі
В якості прикладу вчені досліджували шедеври архітектури, створені за правилами «золотого перетину»: єгипетські піраміди, Пантеон, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Парі, храм Василя Блаженного та ін Парфенон — одне з найкрасивіших будівель у Стародавній Греції (5 ст. до н. е) — має 8 колон та 17 по різних сторонах, відношення його висоти до довжини сторін дорівнює 0618. Виступи на його фасадах зроблені по «золотому перетину» (фото нижче).
Застосування пропорцій в дизайні
У дизайні одягу всі модельєри роблять нові образи і моделі з урахуванням пропорцій людського тіла і правил золотого перетину, хоча від природи всі люди мають ідеальні пропорції. При плануванні ландшафтного дизайну та створення об'ємних паркових композицій за допомогою рослин (дерев і чагарників), фонтанів і малих архітектурних об'єктів також можуть застосовуватися закономірності «божественних пропорцій». Адже композиція парку повинна бути орієнтована на створення враження на відвідувача, який зможе вільно орієнтуватися в ньому, знаходити композиційний центр. Всі елементи парку знаходяться в таких співвідношеннях, щоб з допомогою геометричної будови, взаєморозташування, освітлення і світла, справити на людину враження гармонії і досконалості.Застосування золотого перерізу в кібернетиці і техніці
Закономірності золотого перерізу та чисел Фібоначчі проявляються також у переходах енергії, в процесах, що відбуваються з елементарними частинками, що утворюють хімічні сполуки, в космічних системах, в генній структурі ДНК. Аналогічні процеси відбуваються і в організмі людини, проявляючись в біоритмах його життя, в дії органів, наприклад, головного мозку або зору. Алгоритми і закономірності золотих пропорцій широко використовуються в сучасній кібернетики та інформатики. Одна з нескладних завдань, яку дають вирішувати починаючим програмістам, — написати формулу та визначити суму чисел Фібоначчі до певного числа, використовуючи мови програмування.Сучасні дослідження теорії про золотий пропорції
Починаючи з середини 20 століття, інтерес до проблем і впливу закономірностей золотих пропорцій на життя людини, різко зростає, причому з боку багатьох вчених різних професій: математиків, дослідників етносу, біологів, філософів, медичних працівників, економістів, музикантів та ін У США з 1970-х років починає випускатися журнал The Fibonacci Quarterly, де публікуються роботи на цю тему. У пресі з'являються роботи, в яких узагальнені правила золотого перетину і ряду Фібоначчі використовують у різних галузях знань. Наприклад, для кодування інформації, хімічних досліджень, біологічних і т. д.