Досить часто в математичній науці виникає ряд труднощів і питань, причому багато відповідей не завжди виявляються. Не винятком стала така тема, як потужність множин. По суті, це не що інше як чисельне вираження кількості об'єктів. У загальному сенсі безліч є аксіомою, у нього немає визначення. В основі лежать будь-які об'єкти, а точніше їх набір, який може носити порожній, кінцевий чи нескінченний характер. Крім цього, він містить цілі числа або натуральні, матриці, послідовності, відрізки і прямі.
Про існуючих змінних
Нульовий або порожній набір, що не має власного значення, вважається елементом потужності, так як це підмножина. Збір всіх підмножин непустого множини S є безліччю множин. Таким чином, набір потужності заданої множини вважається багатьом, мислимим, але єдиним. Це множина називається безліччю ступенів S і позначається P (S). Якщо S містить N елементів, то P (S) містить 2 ^ n підмножин, так як підмножина P (S) є або ?, або підмножиною, що містить r елементів з S, r = 123 Складене з усього нескінченної множини M називається степеневим кількістю і символічно позначається P (M).
Елементи теорії множин
Ця область знань була розроблена Джорджем Кантором (1845-1918 роки життя). Сьогодні вона використовується майже в усіх галузях математики і служить її фундаментальною частиною. В теорії множин елементи представлені у формі списку і задані типами (порожній набір, одноэлементный, кінцеві і нескінченні множини, рівні та еквівалентні, універсальні), об'єднання, перетин, різниця і доповнення чисел. У повсякденному житті часто йдеться про колекції таких об'єктів, як купа ключів, зграя птахів, пачка карток і т. д. математики 5 класу і не тільки, зустрічаються натуральні, цілі, прості і складені числа.
Можна розглянути наступні множини:
натуральні числа; букви алфавіту; первинні коефіцієнти; трикутники з різними значеннями сторін. Видно, що ці наведені приклади являють собою чітко визначені множини об'єктів. Розглянемо ще кілька прикладів:
п'ять найбільш відомих вчених світу; сім красивих дівчат в суспільстві; три кращих хірурга. Ці приклади потужності множини не є чітко визначеними колекціями об'єктів, тому, що критерій "найбільш відомих", "найкрасивіших", "кращих" варіюється від людини до людини.
Набори
Це значення являє собою чітко певну кількість різних об'єктів. Припустивши, що:
набір слів є синонімом, агрегатом, класом і містить елементи; об'єкти, члени є рівними за значенням термінами; набори зазвичай позначаються прописними літерами A, B, C ; елементи набору представлені маленькими літерами a, b, c. Якщо «a» - елемент множини A, то кажуть, що «a» належить A. Позначимо фразу «належить» грецьким символом «?» (epsilon). Таким чином, виходить, що a ? A. Якщо 'b' - елемент, який не належить A, це представляється як b ? A. Деякі важливі набори, використовувані в математиці 5 класу, представляють, використовуючи три методи:
заявки; реєстрів або табличні; правило створення побудови. При детальному розгляді форма заяви заснована на наступному. У цьому випадку задано чіткий опис елементів множини. Всі вони укладені у фігурні дужки. Наприклад:
множина непарних чисел, менших 7 - записується як {менше 7}; набір чисел більше 30 і менше 55; кількість учнів класу, вага яких більше, ніж вчителі. У формі реєстру (табличній) елементи набору перераховані в парі дужок {} і розділені комами. Наприклад:
Нехай N позначає безліч перших п'яти натуральних чисел. Отже, N = -> форма реєстру Набір всіх голосних англійського алфавіту. Отже, V = {a, e, i, o, u, y} -> форма реєстру Множина всіх непарних чисел менше 9. Отже, X = {135 7} -> форма реєстру Набір всіх букв у слові «Математика». Отже, Z = {M, A, T, H, E, I, C, S} -> Форма реєстру W - це набір останніх чотирьох місяців року. Отже, W = {вересень, жовтень, листопад, грудень} -> реєстр. Варто зазначити, що порядок, в якому перераховані елементи, не має значення, але вони не повинні повторюватися. Встановлена форма побудови, в заданому разі правило, формула або оператор записуються в пару дужок, щоб набір був коректно визначений. У формі set builder всі елементи повинні володіти однією властивістю, щоб стати членом розглянутого значення. У цій формі подання набору елемент множини описується за допомогою символу «x» або будь-якої іншої змінної, за якою слід двокрапкою («:» або «|» використовується для позначення). Наприклад, нехай P - безліч рахункових чисел, більше 12. P у формі set-builder написано, як - {рахункове число і більше 12}. Це буде читатися певним чином. Тобто, «P – множина елементів x, таке, що x є рахунковим числом і більше 12». Вирішене приклад з використанням трьох методів представлення набору: кількість цілих чисел, що лежать між 2 і 3. Нижче наведені приклади різних типів наборів:
Порожній або нульовий набір, який не містить елемента і позначається символом ? і зчитується як phi. У формі списку ? має написання {}. Порожнім є кінцеве безліч, так як число елементів 0. Наприклад, набір цілих значень менше 0. Очевидно, що їх не повинно бути <0. Следовательно, это пустое множество. Набір, що містить лише одну змінну, називається одноелементні безліччю. Не є ні простим, ні складеним. Кінцеве безліч
Безліч, що містить визначене число елементів, називається кінцевим або нескінченним безліччю. Пусте відноситься до першого. Наприклад, набір усіх кольорів у веселці. Нескінченна кількість – це набір. Елементи в ньому не можуть бути перераховані. Тобто, містить такі змінні, називається нескінченним безліччю. Приклади:
потужність множини всіх точок площини; набір всіх простих чисел. Але варто розуміти, що всі потужності об'єднання безлічі не можуть бути виражені у формі списку. Наприклад, речові числа, так як їх елементи не відповідають якої-небудь конкретної схемою. Кардинальний номер набору – це число різних елементів в заданому кількості A. Воно позначається n (A). Наприклад:
A {x: x ? N, x <5}. A = {1, 2, 3, 4}. Следовательно, n (A) = 4. B = набір букв у слові ALGEBRA. Еквівалентні набори для порівняння множин
Дві потужності множини A і B є такими, якщо їх кардинальне число однаково. Символом для позначення еквівалентного набору є «». Наприклад: A B Рівні набори: дві потужності множини A і B, якщо вони містять одні і ті ж елементи. Кожен коефіцієнт з A є змінною з B, і кожен з B є вказаним значенням A. Отже, A = B. Різні типи об'єднання множин потужності та їх визначення пояснюються за допомогою зазначених прикладів.
Сутність кінцівки і нескінченності
Які відмінності між потужністю кінцевого і нескінченного безлічі? Для першого значення характерно наступне назва, якщо воно або порожній, або має кінцеве число елементів. В кінцевому безлічі змінна може бути зазначена, якщо вона має обмежений рахунок. Наприклад, з допомогою натурального числа 123. І процес лістингу закінчується на деякій N. Число різних елементів, відлічуваних в кінцевому безлічі S, позначається через n (S). А також називається порядком або кардинальним. Символічно позначається за стандартним принципом. Таким чином, якщо множина S є російським алфавітом, то воно містить в собі 33 елемента. Також важливо запам'ятати, що елемент не зустрічається більше одного разу в наборі.
Нескінченна кількість в безлічі
Безліч називається нескінченним, якщо елементи не можуть бути перераховані. Якщо воно має необмежений (тобто незліченна) натуральне число 123 4 для будь-якого n. Безліч, яке не є кінцевим, називається нескінченним. Тепер можна обговорити приклади розглянутих числових значень. Варіанти кінцевого значення:
Нехай Q = {натуральні числа менше 25}. Тоді Q - кінцеве безліч і n (P) = 24. Нехай R = {цілі числа між 5 і 45}. Тоді R - кінцеве безліч і n (R) = 38. Нехай S = {числа, модуль яких дорівнює 9}. Тоді S = {-9 9} є кінцевим безліччю та n (S) = 2. Набір всіх людей. Кількість всіх птахів. Приклади нескінченної множини:
кількість існуючих точок на площині; число всіх пунктів в сегменті лінії; безліч позитивних цілих чисел, кратних 3 є нескінченним; всі цілі і натуральні числа. Таким чином, з наведених вище міркувань зрозуміло, як розрізняти кінцеві і нескінченні множини.
Потужність множини континуум
Якщо провести порівняння і безлічі інших існуючих значень, то до безлічі приєднано додаток. Якщо ? – універсальне, а A – підмножина ?, то додаток до A є кількістю всіх елементів ?, які не є елементами A. Символічно позначається додаток A щодо ? A'. Приміром, 245 6 є єдиними елементами ?, які не належать A. Отже, A'= {245 6} Безліч з потужністю континуум має наступні особливості:
доповненням універсального кількості є пусте розглянуте значення; ця змінна нульового безлічі є універсальним; кількість та його додаток є не перетиналися. Наприклад:
Нехай кількість натуральних чисел є універсальним безліччю та А – парне. То, тоді A '{x: x – безліч непарне з такими ж цифрами}. Нехай ? = безліч літер в алфавіті. A = набір приголосних. Тоді A '= кількість голосних. Доповненням до універсального безлічі є пусте кількість. Можна позначити через ?. Тоді ? '= Множина тих елементів, які не входять у ?. Пишеться і позначається пусте безліч ?. Тому ? = ?. Таким чином, додаток до універсального безлічі є порожнім. В математиці «континуум» іноді використовується для позначення реальної лінії. І в більш загальному плані, для опису таких об'єктів:
континуум (в теорії множин) - речова лінія або відповідне кардинальне число; лінійний - будь-яка впорядкована множина, яка розділяє певні властивості реальної прямої; континуум (топології) - непорожня компактне зв'язне метричний простір (іноді хаусдорфово); гіпотеза про те, що ніякі нескінченні безлічі більше цілих чисел, але менші, ніж дійсні числа; потужність континууму - кардинальне число, яке представляє розмір множини дійсних чисел. По суті справи, континуум (вимірювання), теорії або моделі, які пояснюють поступові переходи з одного стану в інший без будь-яких різких змін.
Проблеми об'єднання та перетину
Відомо, що перетин двох або більше множин – це кількість, що містить всі елементи, які є спільними в цих значеннях. Завдання Word на множинах вирішуються, щоб отримати основні ідеї про те, як використовувати властивості об'єднання та перетину множин. Вирішені основні проблеми слів на множинах виглядають так:
Нехай A і B – два кінцевих множини. Вони являють собою такі, що n (A) = 20 n (B) = 28 і n (A ? B) = 36 знаходиться n (A ? B). Зв'язок в наборах з використанням діаграми Венна:
Об'єднання двох множин може бути представлено заштрихованої областю, що представляє A ? B A ? B, коли A і B – непересічні множини. Перетин двох множин може бути представлено діаграму Венна. З затіненій областю, що представляє A ? B Різниця двох множин може бути представлена діаграмами Венна. З заштрихованої областю, що представляє A - B. Зв'язок між трьома наборами, використовують діаграму Венна. Якщо ? представляє універсальне кількість, то A, B, C – три підмножини. Тут усі три набору є перекриваються. Узагальнення інформації про безліч
Потужність множини визначається як загальна кількість окремих елементів у наборі. А останнім вказане значення описується як кількість усіх підмножин. При вивченні подібних питань потрібні методи, способи і варіанти вирішення. Отже, у потужності безлічі прикладами можуть служити наступні: Нехай A = {0123}| | = 4 де | A | є потужність множини A. Тепер можна знайти свій набір потужності. Це теж досить просто. Як вже сказано, набір потужності встановлений з усіх підмножин заданої кількості. Тому потрібно в основному визначити всі змінні, елементи та інші значення A, які {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {01}, {02}, {03}, {12}, {13}, {23}, {012}, {013}, {123}, {023}, {0123}. Тепер потужність з'ясовує P = {{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {01}, {02}, {03}, {12}, {13}, {23}, {012}, {013}, {123}, {023}, {0123}}, який має 16 елементів. Таким чином, потужність множини A = 16. Очевидно, що це важкий і громіздкий метод вирішення цієї проблеми. Однак є проста формула, по якій, безпосередньо, можна знати кількість елементів у множині потужності заданої кількості. | P | = 2 ^ N, де N - число елементів у певному A. Ця формула може бути отримана застосуванням простої комбінаторики. Таким чином, питання дорівнює 2 ^ 11 оскільки число елементів у множині A дорівнює 11.
Отже, безліччю є будь-яке чисельно виражена кількість, яка може бути всіляким об'єктом. Приміром, машини, люди, числа. В математичному значенні це поняття ширше і більш узагальнене. Якщо на початкових етапах розбираються числа і варіанти їх вирішення, то в середніх і вищих стадіях умови і завдання ускладнені. По суті, потужність об'єднання безлічі визначена приналежністю об'єкта до якої-небудь групи. Тобто один елемент належить до класу, але має одну або кілька змінних.
