Математика схоже головоломкам. Особливо це стосується ділення і множення в стовпчик. У школі ці дії вивчаються від простого до складного. Тому неодмінно покладається добре засвоїти алгоритм виконання названих операцій на простих прикладах. Щоб потім не виникло труднощів з поділом десяткових дробів у стовпчик. Адже це самий складний варіант подібних завдань.

Поради тим, хто хоче добре знати математику

Цей предмет вимагає послідовного вивчення. Прогалини в знаннях тут неприпустимі. Такий принцип повинен засвоїти кожен учень уже в першому класі. Тому при пропуску декількох уроків підряд матеріал доведеться освоїти самостійно. Інакше пізніше виникнуть проблеми не тільки з математикою, але і іншими предметами, пов'язаними з нею.


Друга обов'язкова умова успішного вивчення математики — переходити до прикладів на ділення в стовпчик тільки після того, як освоєні додавання, віднімання та множення. Дитині буде важко ділити, якщо він не вивчив таблицю множення. До речі, її краще вчити по таблиці Піфагора. Там немає нічого зайвого, так і засвоюється множення в такому разі простіше.

Як множаться в стовпчик натуральні числа?

Якщо виникає утруднення у розв'язанні прикладів у стовпчик на ділення і множення, то починати усувати проблему покладається з множення. Оскільки поділ є зворотною операцією множення:

До того як перемножувати два числа, на них потрібно уважно подивитися. Вибрати те, в якому більше розрядів (довші), записати його першим. Під ним розмістити друге. Причому цифри відповідного розряду повинні опинитися під тим же розрядом. Тобто найправіша цифра першого числа повинна бути над самою правою другого.

Помножте крайню праву цифру нижнього числа на кожну цифру верхнього, починаючи праворуч. Запишіть відповідь під рискою так, щоб остання цифра була під тієї на яку множили.

Те ж повторіть з іншого цифой нижнього числа. Але результат від множення при цьому потрібно змістити на одну цифру вліво. При цьому його остання цифра виявиться під тією, на яку множили.

Продовжувати таке множення в стовпчик до тих пір, поки не закінчаться цифри у другому множнику. Тепер їх потрібно скласти. Це і буде шуканий відповідь.

Алгоритм множення стовпчик десяткових дробів

Спочатку покладається уявити, що дані не десяткові дроби, а натуральні. Тобто прибрати з них коми і далі діяти так, як описано в попередньому випадку. Відмінність починається, коли записується відповідь. У цей момент необхідно порахувати всі цифри, які стоять після коми в обох дробах. Саме стільки їх треба відлічити від кінця відповіді і там поставити кому. Зручно проілюструвати цей алгоритм на прикладі: 025 х 033:

Записати ці дробу потрібно так, щоб число 33 було під 25.

Тепер праву трійку потрібно помножити на 25. Вийде 75. Записати його належить так, щоб п'ятірка опинилася під трійкою, на яку виконувалося множення.

Потім множити 25 на першу 3. Знову буде 75 але написана вона так, щоб 5 опинилося під 7 попереднього числа.

Після складання цих двох чисел виходить 825. У десяткових дробах відокремлені комами 4 цифри. Тому у відповіді потрібно відокремити комою теж 4 цифри. Але їх всього три. Для цього перед 8 доведеться написати 0 поставити кому, перед нею ще одне 0.

Відповіддю на прикладі виявиться число 00825.

З чого почати навчання поділу?

До того як вирішувати приклади на ділення в стовпчик, покладається запам'ятати назви чисел, які стоять у на прикладі поділ. Перше з них (той, що ділиться) — ділене. Друге (на нього ділять) — дільник. Відповідь — приватне.
Після цього на простому побутовому прикладі пояснимо суть цієї математичної операції. Наприклад, якщо взяти 10 цукерок, то поділити їх порівну між мамою і татом легко. А як бути, якщо потрібно роздати їх батькам і братові? Після цього можна знайомитися з правилами ділення і освоювати їх на конкретних прикладах. Спочатку простих, а потім переходити до все більш складним.

Алгоритм ділення чисел у стовпчик

Спочатку уявімо порядок дій для натуральних чисел, які діляться на однозначне число. Вони будуть основою і для багатозначних дільників або десяткових дробів. Тільки тоді належить внести невеликі зміни, але про це пізніше:

До того як робити ділення в стовпчик, потрібно з'ясувати, де ділене і дільник.

Записати ділене. Праворуч від нього - дільник.

Прокреслити зліва і знизу близько останнього куточок.

Визначити неповне ділене, тобто число, яке буде мінімальним для поділу. Зазвичай воно складається з однієї цифри, максимум двох.

Підібрати число, яке буде першим записано у відповідь. Воно повинно бути таким, скільки разів дільник поміщається в делимом.

Записати результат від множення цього числа на дільник.

Написати його під неповним делимом. Виконати віднімання.

Знести до залишку першу цифру після тієї частини, яка вже поділена.

Знову підібрати число для відповіді.

Повторити множення і віднімання. Якщо залишок дорівнює нулю і ділене закінчилося, то приклад зроблений. В іншому випадку повторити дії: знести цифру, підібрати число, множення, віднімання.

Як вирішувати ділення в стовпчик, якщо в дільнику більше однієї цифри?

Сам алгоритм повністю збігається з тим, що був описаний вище. Відзнакою буде кількість цифр у неповному делимом. Їх тепер мінімум повинно бути дві, але якщо вони виявляються менше дільника, то працювати покладається з першими трьома цифрами.
Існує ще один нюанс в такому поділі. Справа в тому, що залишок і знесена до нього цифра іноді не діляться на дільник. Тоді покладається приписати ще одну цифру по порядку. Але при цьому у відповідь необхідно поставити нуль. Якщо здійснюється ділення трицифрових чисел у стовпчик, то може знадобитися знести більше двох цифр. Тоді вводиться правило: нулів у відповіді повинно бути на один менше, ніж кількість знесених цифр. Розглянути такий поділ можна на прикладі - 12082 : 863.

Неповним діленим в ньому виявляється число 1208. У нього число 863 поміщається тільки один раз. Тому у відповідь покладається поставити 1 а під 1208 записати 863.

Після вирахування виходить залишок 345.

До нього потрібно знести цифру 2.

У числі 3452 чотири рази вміщується 863.

Четвірку необхідно записати в відповідь. Причому при множенні на 4 виходить саме це число.

Залишок після вирахування дорівнює нулю. Тобто поділ закінчено.

Відповіддю на прикладі число 14.

Як бути, якщо ділене закінчується на нуль?

Або кілька нулів? У цьому випадку нульовий залишок виходить, а в делимом ще стоять нулі. Зневірятися не варто, все простіше, ніж може здатися. Досить просто приписати до відповіді всі нулі, які залишилися не розділеними. Наприклад, потрібно поділити 400 на 5. Неповне ділене 40. У нього 8 разів поміщається п'ятірка. Значить, у відповідь покладається записати 8. При відніманні залишку не залишається. Тобто поділ закінчено, але в делимом залишився нуль. Його доведеться приписати до відповідальності. Таким чином, при поділі 400 на 5 виходить 80.

Що робити, якщо потрібно розділити десятковий дріб?

Знову ж таки, це число схоже на натуральне, якщо б не кома, що відділяє цілу частину від дробової. Це наводить на думку про те, що ділення десяткових дробів у стовпчик подібно до того, яке було описано вище. Єдиною відмінністю буде пункт з комою. Її належить поставити у відповідь відразу, як тільки знесена перша цифра з дробової частини. По-іншому це можна сказати так: закінчилося ділення цілої частини — постав кому і продовжуй рішення далі. Під час розв'язання прикладів на ділення у стовпчик з десятковими дробами потрібно пам'ятати, що у частини після коми можна приписати будь-кількість нулів. Іноді це потрібно для того, щоб доділити числа до кінця.

Ділення двох десяткових дробів

Воно може здатися складним. Але тільки спочатку. Адже те, як виконати ділення в стовпчик дробів на натуральне число, вже зрозуміло. Значить, потрібно звести цей приклад до вже звичного вигляду. Зробити це легко. Потрібно помножити обидві дробів на 101001 000 або 10000 а може бути, на мільйон, якщо цього вимагає завдання. Множник належить вибирати виходячи з того, скільки нулів варто в десятковій частині дільника. Тобто в результаті вийде, що ділити доведеться дріб на натуральне число. Причому це буде в гіршому випадку. Адже може вийти так, що ділене від цієї операції стане цілим числом. Тоді рішення прикладу з поділом стовпчик дробів зведеться до найпростішого варіанту: операції з натуральними числами. В якості прикладу: 284 ділимо на 32:

Спочатку їх необхідно помножити на 10 оскільки у другому числі після коми стоїть тільки одна цифра. Множення дасть 284 і 32.

Їх належить розділити. Причому відразу все число 28432.

Першим підібраним числом для відповіді є 8. Від його множення виходить 256. Залишком буде 28.

Ділення цілої частини закінчилося, і у відповідь покладається поставити кому.

Знести до залишку 0.

Знову взяти по 8.

Залишок: 24. До нього приписати ще один 0.

Тепер брати потрібно 7.

Результат множення - 224 залишок - 16.

Знести ще один 0. Взяти по 5 і вийде якраз 160. Залишок — 0.

Поділ закінчено. Результат прикладу 284:32 дорівнює 8875.

Що робити, якщо дільник дорівнює 1010001 або 001?

Так само як і з множенням, ділення в стовпчик тут не знадобиться. Досить просто переносити кому в потрібну сторону на певну кількість цифр. Причому за цим принципом можна вирішувати приклади як з цілими числами, так і з десятковими дробами. Отже, якщо потрібно ділити на 10100 або 1000 то кома переноситься вліво на таку кількість цифр, скільки нулів в дільнику. Тобто, коли число ділиться на 100 кома повинна зміститися вліво на дві цифри. Якщо ділене — натуральне число, то мається на увазі, що кома стоїть в його кінці. Ця дія дає такий же результат, як якщо б число було необхідно помножити на 01001 або 0001. У цих прикладах кома теж переноситься вліво на кількість розрядів, рівну довжині дробової частини. При поділі на 01 (і т. д.) або множенні на 10 (і т. д.) кома повинна переміститися вправо на одну цифру (або дві, три, в залежності від кількості нулів або довжини дробової частини). Варто відзначити, що кількість цифр, даних в делимом, може бути недостатнім. Тоді зліва (у цілої частини) або праворуч (після коми) можна приписати відсутні нулі.

Поділ періодичних дробів

В цьому випадку не вдасться отримати точну відповідь ділення в стовпчик. Як вирішувати приклад, якщо зустрілася дріб з періодом? Тут треба переходити до звичайних дробям. А потім виконувати їх поділ за вивченим раніше правилами. Наприклад розділити потрібно 0(3) на 06. Перша дріб — періодична. Вона перетворюється в дріб 3/9 яка після скорочення дасть 1/3. Друга дріб — кінцева десяткова. Її записати звичайної ще простіше: 6/10 що дорівнює 3/5. Правило ділення звичайних дробів наказує замінювати ділення множенням і дільник — зворотним числом. Тобто приклад зводиться до множення на 1/3 5/3. Відповіддю буде 5/9.

Якщо в прикладі різні дробу

Тоді можливі кілька варіантів рішення. По-перше, звичайний дріб можна спробувати перевести в десяткову. Потім ділити вже дві десяткові за вказаною вище алгоритмом. По-друге, кожна кінцева десятковий дріб може бути записана у вигляді звичайної. Тільки це не завжди зручно. Найчастіше такі дроби виявляються величезними. Та й відповіді виходять громіздкими. Тому перший підхід вважається більш кращим.