Сьогодні в даній роботі буде детально розглянуто питання побудови таблиць істинності логічних виразів. З даною проблемою часто зустрічаються школярі, які здають єдиний державний екзамен з інформатики. Насправді так звана булева алгебра не складна, якщо знати необхідні закони, операції та правила побудови таблиць істинності. Цими питаннями ми сьогодні й займемося.
Булева алгебра
Алгебра логіки ґрунтується на простих логічних виразах, які зв'язуються між собою операціями, створюючи при цьому складні вирази. Слід зазначити, що булева алгебра містить дві бінарні операції: множення і додавання (кон'юнкція та диз'юнкція відповідно); одну унарную – інверсія. Всі прості вирази (елементи складного логічного виразу) приймають одне з двох значень: «1» або «0», «істина» або «брехня», «+» або «-» відповідно.
Алгебра логіки ґрунтується на декількох досить простих аксіомах:
асоціативності; комутативності; поглинання; дистрибутивності; додатковості. Якщо знати ці закони і черговість виконання функцій, побудова таблиць істинності логічних виразів не викличе ніяких труднощів. Нагадаємо, що операції повинні виконуватися в строгій послідовності: заперечення, множення, додавання, наслідок, еквівалентність, тільки потім переходять до виконання операцій штрих Шиффера або стрілка Пірса. До речі кажучи, для двох останніх функцій немає правила черговості, виконуйте їх в тому порядку, в якому вони знаходяться.
Правила складання таблиці
Побудова таблиць істинності логічних виразів допомагає вирішити багато логічні завдання і знайти рішення складних громіздких прикладів. Варто відзначити, що є деякі правила їх складання.
Для того щоб правильно скласти логічну таблицю, необхідно для початку визначитися з кількістю рядків. Як це зробити? Порахуйте кількість змінних, що входять до складу складного вираження, і скористайтеся простою формулою: А=2 в степені n. А – це кількість рядків складається таблиці істинності, n – кількість змінних, які входять у складне логічне вираження. Приклад: складне вираз містить три змінних (А, В і С), значить, двійку необхідно звести в третю ступінь. В складається таблиці істинності у нас буде вісім рядків. Додайте одну рядок для заголовки стовпців. Далі ми звертаємося до нашого висловом і визначаємо порядок виконуваних дій. Краще для себе порядок позначити олівцем (один, два і так далі). Наступним етапом ми підраховуємо кількість операцій. Отримане число – це кількість стовпців у таблиці. Обов'язково додайте ще таку кількість стовпців, скільки змінних міститься у вашому вираженні, для заповнення можливих комбінацій змінних. Далі необхідно заповнити шапку нашої таблиці. Нижче ви бачите приклад цього.
А
У
З
Операція 1
Операція 2
Операція 3
Тепер переходьте до заповнення можливих комбінацій. Для двох змінних вони будуть наступні: 000110 11. Для трьох змінних: 000001010 011100101 110111. Після виконання всіх перерахованих вище пунктів можна переходити до обчисленню та заповнення решти клітинок отриманої таблиці.
Приклад
Зараз ми розглянемо приклад побудови таблиці істинності логічного виразу: інверсія А+В*А.
Підрахунок змінних: 2. Кількість рядків: 4+1=5. Порядок виконання дій: перша інверсія, друга кон'юнкція, третя диз'юнкція. Кількість колонок: 3+2=5. Приступаємо до оформлення та заповнення таблиці. А
У
1
2
3
-
-
+
-
+
-
+
+
-
+
+
-
-
-
-
+
+
-
+
+
Як правило, завдання звучить таким чином: «скільки комбінацій задовольняє умові F=0» або «в яких поєднаннях F=1». На перше питання відповідь – 1 на другий – 000111.
Уважно читайте завдання, яке вам дається. Ви можете правильно вирішити завдання, але помилитися в написанні відповіді. Ще раз звертаємо вашу увагу на порядок виконання дій:
заперечення; множення; додавання. Завдання
Побудова таблиці істинності може допомогти знайти відповідь на важку логічну задачу. Простежити процес складання виразу та таблиці істинності за умовою логічної задачі ви зможете в даному розділі статті. Дано чотири значення числа А: 1) 7 2) 6 3) 5 4) 4. Для якого з них вислів «інверсія (А менше 6)+(А менше 5)» є помилковим? Наш перший стовпчик буде заповнений значеннями 765 4 обов'язково в цій послідовності. У наступному стовпці ми повинні відповісти на питання: "А менше 6?" Третій стовпчик заповнюємо аналогічно, тільки тепер відповідаємо на питання: "А менше 5?" Визначаємося з послідовністю операцій. Згадуємо, що заперечення має пріоритет перед диз'юнкцією. Отже, наступний стовпчик ми заповнюємо значеннями, які відповідають умові(А менше 6). Четвертий буде відповідати на головне питання нашої задачі. Нижче ви бачите приклад заповнення таблиці.
А
1. А менше 6
2. А менше 5
3. інверсія 1
4. 3+2
7
-
-
+
+
6
-
-
+
+
5
+
-
-
-
4
+
+
-
+
Зверніть увагу на те, що у нас є номери відповідей, помилковим вираз буде при значенні А=5 це третій варіант відповіді.
