Суть
Оскільки число годин починається заново після того, як воно досягає 12 це арифметика по модулю 12. Згідно наведеного нижче визначення 12 відповідає не лише 12 але і 0 тому можна також назвати час, зване«12:00». «0:00». Адже 12 збігається з 0 по модулю 12.Модульна арифметика може оброблятися математично, шляхом введення конгруэнтного відношення до цілим числом, яке сумісне з операціями над цілими числами: додавання, віднімання та множення. Для позитивного цілого числа n два числа a і b називаються конгруэнтными за модулем n, якщо їх різниця a - b кратна n (тобто, якщо існує таке ціле число k, що a - b = kn).
Відрахування
В теоретичній математиці модульна арифметика є однією з основ теорії чисел, що зачіпає майже всі аспекти її вивчення, а також широко використовується в теорії груп, кілець, вузлів і абстрактної алгебри. В області прикладної математики використовується комп'ютерної алгебри, криптографії, інформатики, хімії, образотворчому й музичному мистецтві.Практика
Дуже практичним застосуванням є обчислення контрольних сум в ідентифікаторах серійних номерів. Наприклад деякі загальноприйняті стандарти книг використовують арифметику з модулю 11 (якщо випущена до 1 січня 2007 р.) або за модулем 10 (якщо випущена до або після 1 січня 2007 р.). Аналогічним чином, наприклад, у Міжнародних номерів банківських рахунків (IBAN). Тут використовується арифметика по модулю 97 для виявлення помилок введення користувачем номерів банківських рахунків. У хімії остання цифра реєстраційного номера CAS (унікальний ідентифікаційний номер для кожного хімічного з'єднання) є контрольною цифрою. Вона розраховується шляхом взяття останньої цифри з перших двох частин реєстраційного номера CAS, помноженої на 1 попередню цифру 2 рази, попередня цифра 3 рази і т. д., складаючи все це і обчислюючи суму по модулю 10. Що таке криптографія? Справа в тому, що вона має дуже сильну зв'язок з обговорюваною темою. У криптографії закони модульної арифметики, безпосередньо, лежать в основі систем з відкритим ключем, таких як RSA і Діффі-Хелльман. Тут вона надає кінцеві поля, які лежать в основі еліптичних кривих. Використовується в різних алгоритмах симетричного ключа, включаючи Advanced Encryption Standard (AES), Міжнародний алгоритм шифрування даних і RC4.
Застосування
Цей спосіб застосовується в тих областях, де потрібно читати цифри. Його розробили математики, а користуються ним всі, особливо фахівці з інформатики. Це добре описано в книгах на кшталт "Модульна арифметика для чайників". Втім, ряд фахівців рекомендує не сприймати таку літературу всерйоз.В інформатиці модульна арифметика часто застосовується двійковими та інших операціях, що включають циклічні структури даних фіксованої ширини. Її дуже люблять використовувати аналітики. Операція по модулю реалізована в багатьох мовах програмування і калькуляторах. В даному випадку вона є одним з прикладів такого застосування. Порівняння за модулем, ділення з залишком та інші прийоми також застосовуються в програмуванні. В музиці арифметика по модулю 12 використовується при розгляді системи рівного темпераменту з дванадцяти тонів, у якій відбувається еквівалентність октави і энгармоники. Іншими словами, тональності у співвідношенні 1-2 або 2-1 еквівалентні. У музиці та інших гуманітарних дисциплінах арифметика відіграє досить важливу роль, але в підручниках інформатики про це зазвичай не пишуть.
Метод приведення дев'яток
Метод приведення дев'яток пропонує швидку перевірку десяткових арифметичних обчислень, виконаних вручну. Він заснований на модульної арифметики по модулю 9 і, зокрема, на вирішальному властивості 10101. існують і інші приклади. Арифметика по модулю 7 використовується в алгоритмах, які визначають день тижня для конкретної дати. Зокрема, конгруентність Целлера і алгоритм "Судного дня" інтенсивно використовують арифметику по модулю 7.Інші області застосування
Про модульної арифметики в криптографії вже було сказано. У цій сфері вона просто незамінна. В більш загальному сенсі, модульна арифметика також знаходить застосування в таких дисциплінах, як право, економіка (наприклад, теорія ігор) та інші галузі соціальних наук. Іншими словами, там, де пропорційний розподіл і розподіл ресурсів відіграє головну роль.
Конгруэнция
Деякі операції, такі як пошук дискретного логарифма або квадратичних конгруенції, здаються такими ж складними, як цілочисельна факторизація, і, таким чином, є відправною точкою для криптографічних алгоритмів шифрування. Ці проблеми можуть бути NP-проміжними.Приклади
Нижче наведено три досить швидкі функції C - дві для виконання модульного множення і одна для зведення в модулярные числа для цілих чисел без знаку, що не перевищують 63 біта, без переповнення перехідних операцій.Незабаром після виявлення цілих чисел (123 4 5 ) стає очевидним, що вони поділяються на дві групи:
Властивості числа
Бути «трійкою» - це просто ще одна властивість числа. Можливо, не так відразу корисно, як парне/непарне, але воно є. Ми можемо створити правила типу «тринадцять х три відень = тринадцять» і так далі. Але це зводить з розуму. Ми не можемо робити нові слова весь час. Операція по модулю (скорочено mod або «%» у багатьох мовах програмування) є залишком при діленні. Наприклад, «5 mod 3 = 2», що означає 2 - залишок, коли ви ділите 5 на 3. При перетворенні повсякденних термінів в математику «парне число» - це те, де воно дорівнює «0 mod 2», тобто залишок дорівнює 0 при діленні на 2. Непарне число дорівнює «1 mod 2» (залишок 1).
Парні і непарні числа
Що таке парний х х парний непарний х непарний? Ну, це 0 x 0 x 1 x 1 = 0. Насправді, ви можете бачити, множиться чи де-небудь парне число, де весь результат буде дорівнює нулю. Хитрість модульної математики в тому, що ми вже використовували її для зберігання часу - іноді її називають «арифметикою годин». Наприклад: 7:00 (ранку/вечора - не має значення). Де буде годинникова стрілка через 7 годин?Модуляції
(7 + 7) mod 12 = (14) mod 12 = 2 mod 12[2 - это остаток, когда 14 делится на 12. Уравнение 14 mod 12 = 2 mod 12 означает, что 14 часов и 2 часа выглядят одинаково на 12-часовых часах. Они являются конгруэнтными, обозначенными знаком тройного равенства: 14 в‰Ў 2 mod 12.Інший приклад: зараз 8:00. Де буде велика стрілка через 25 годин? Замість додавання 25 до 8 ви можете зрозуміти, що 25 годин - це просто «1 день + 1 годину». Відповідь проста. Отже, годинник закінчаться на 1 годину вперед - 9:00. (8 + 25) мод 12 ? (8) мод 12 + (25) мод 12 ? (8) мод 12 + (1) мод 12 ? 9 мод 12. Ви інтуїтивно конвертували 25 в 1 і додали це до 8. Використовуючи годинник в якості аналогії, ми можемо з'ясувати, чи працюють правила модульної арифметики, а вони працюють.
Додавання/Віднімання
Припустимо, два рази виглядають однаково на наших годинниках («2:00» та «14:00»). Якщо ми додамо однакові х годин до обом, що станеться? Ну, вони змінюються на ту ж суму на годиннику! 2:00 + 5 годин ? 14:00 + 5 годин - обидва покажуть 7:00. Навіщо? Ми можемо просто додати 5 до 2 залишках, які обидва мають, і вони просуваються однаково. Для всіх конгруентних чисел (2 та 14) додавання і віднімання мають однаковий результат. Важче зрозуміти, залишається множення таким же. Якщо 14 ? 2 (мод 12), ми можемо помножити обидва числа і отримати однаковий результат? Давайте подивимося, що станеться, коли ми помножимо на 3. Ну, 2:00 * 3 x 6:00. Але що таке 14:00 * 3? Пам'ятайте, 14 = 12 + 2. Отже, ми можемо сказати, 14 * 3 = (12 + 2) * 3 = (12 * 3) + (2 * 3) Першу частину (12 * 3) можна ігнорувати! Переповнення 12 годин, яке несе 14 просто повторюється кілька разів. Але кого це хвилює? У будь-якому випадку ми ігноруємо переповнення.