Ідеальний газ і його рівняння
Щоб зрозуміти висновок формули Майєра, варто ближче познайомитися з моделлю ідеального газу. Згідно їй, термодинамічна система являє собою сукупність часток, які не володіють розмірами (є матеріальними точками). Їх кінетична енергія є єдиною складовою внутрішньої енергії системи (потенційна енергія взаємодії дорівнює нулю), і швидкості частинок підпорядковуються класичного розподілу Максвелла-Больцмана.
Внутрішня енергія та ізохорний процес
Згідно з визначенням, внутрішня енергія U довільної системи дорівнює сумі потенційної і кінетичної енергій її елементів. Вище зазначалося, що в ідеальній моделі газові молекули і атоми одна з одною не взаємодіють, це означає, що внутрішня енергія визначається виключно кінетичної складової.З кінетичної теорії газів слід рівність, що пов'язує середню кінетичну енергію частинки з абсолютною температурою в системі: m*v 2 /2 = z/2*k B *T. Де m - маса однієї частинки, k B - Константа Больцмана, v - швидкість середня квадратична, z - число ступенів свободи. Якщо обидві частини рівності помножити на кількість N частинок в системі, то ми отримаємо вираз для внутрішньої енергії U: U = z/2*N*k B *T = z/2*n*R *T. При записі цього виразу ми скористалися наступними рівностями: n = N/N A ; R = k B *N A . Тепер розглянемо питання визначення внутрішньої енергії газу з точки зору термодинаміки. Звернемося до изохорному процесу. У результаті нього все підводиться тепло йде на нагрів системи, оскільки обсяг залишається постійний, і робота газу дорівнює нулю, тобто: dU = Q. У свою чергу, зміна величини U можна записати так: dU = C V *dT. Де C V - теплоємність при постійному об'ємі. Ця величина показує, скільки енергії у джоулях необхідно затратити, щоб нагріти систему на 1 Кельвін. Порівнюючи цей вираз з формулою для U, яка отримана з кінетичної теорії, приходимо до рівності: C V = z/2*n*R. Замість теплоємності C V часто користуються молярної изохорной теплоємність, тобто тією ж величиною, тільки для 1 моля газу: C V = z/2*R.
Формула Майєра для теплоємностей
Q = dU + P*dV. Тепер введемо поняття про изобарной теплоємності C P . Під нею розуміють кількість теплоти, що слід системі повідомити, щоб вона нагрілася на 1 Кельвін, а її тиск при цьому не змінилося. Це визначення дозволяє переписати рівність вище у вигляді: C P *dT = dU + P*dV. Якщо згадати рівняння для 1 моля ідеального газу і вираз для зміни внутрішньої енергії, то це рівність запишеться так: C P *dT = C V *dT + R*dT => C P = C V + R. Цей вираз називається формулою Майєра для ідеального газу. Воно показує, що ізобарна теплоємність завжди більше изохорной на величину газової постійної для 1 моля газу. Значення ж газової сталої R також набуває конкретний фізичний зміст - це робота, яку здійснює один моль газу під час його изобарного розширення при нагріванні на один Кельвін.
Завдання на визначення теплоємності повітря
Необхідно обчислити молярні теплоємності C P і C V для повітря, вважаючи його ідеальним газом. Вирішити цю задачу нескладно, якщо згадати, що изохорная молярна теплоємність дорівнює: C V = z/2*R. Тоді згідно з формулою Майєра молярна величина C P буде дорівнює: C P = C V + R = (2+z)/2*R.