У цій статті описується хвильова функція та її фізичний зміст. Також розглядається застосування цього поняття в рамках рівняння Шредінгера.

Наука на порозі відкриття квантової фізики

В кінці дев'ятнадцятого століття молодих людей, які хотіли пов'язати своє життя з наукою, відмовляли ставати фізиками. Існувала думка, що всі явища вже відкриті і великих проривів у цій області вже не може бути. Зараз, незважаючи на гадану повноту знань людства, подібним чином говорити ніхто не зважиться. Тому що так буває часто: явище або ефект передбачені теоретично, але людям не вистачає технічної та технологічної мощі, щоб довести або спростувати їх. Наприклад, Ейнштейн передбачив гравітаційні хвилі більше ста років тому, але довести їх існування стало можливим лише рік тому. Це стосується і світу субатомних частинок (а саме до них застосовується таке поняття, як хвильова функція): поки вчені не зрозуміли, що будова атома складне, у них не було необхідності вивчати поведінку таких маленьких об'єктів.

Спектри і фотографія

Поштовхом до розвитку квантової фізики стало розвиток техніки фотографії. До початку двадцятого століття відображення зображень було справою громіздким, довгим і дорогим: фотоапарат важив десятки кілограмів, а моделям доводилося стояти по півгодини в одній позі. До того ж найменша помилка при поводженні з крихкими скляними пластинами, покритими світлочутливої емульсією, призводила до незворотної втрати інформації. Але поступово апарати ставали все легше, витримка - все менше, а отримання відбитків – все досконалішими. І нарешті, стало можливо отримати спектр різних речовин. Питання і невідповідності, які виникали в перших теоріях про природу спектрів, і породили цілу нову науку. Основою для математичного опису поведінки мікросвіту стали хвильова функція частинки і її рівняння Шредінгера.

Корпускулярно-хвильовий дуалізм

Після визначення будови атома, виникло питання: чому електрон не падає на ядро? Адже, відповідно до рівнянь Максвелла, будь-яка рухається заряджена частинка випромінює, отже, втрачає енергію. Якщо б це було так для електронів у ядрі, відома нам всесвіт проіснувала б недовго. Нагадаємо, нашою метою є хвильова функція і її статистичний зміст. На виручку прийшла геніальна здогадка вчених: елементарні частинки одночасно і хвилі, і частки (корпускули). Їх властивостями є і маса з імпульсом, і довжина хвилі з частотою. Крім того, завдяки наявності двох раніше несумісних властивостей елементарні частинки придбали нові характеристики. Однією з них є важко представимий спін. У світі більш дрібних частинок, кварків, цих властивостей настільки багато, що їм дають абсолютно неймовірні назви: аромат, колір. Якщо читач зустріне їх у книзі за квантової механіки, хай пам'ятає: вони зовсім не те, чим здаються на перший погляд. Однак як же описати поведінку такої системи, де всі елементи мають дивним набором властивостей? Відповідь - в наступному розділі.

Рівняння Шредінгера

Знайти стан, в якому знаходиться елементарна частинка (а в узагальненому вигляді і квантова система), дозволяє рівняння Ервіна Шредінгера : i ?[(d/dt) ОЁ]= H ?. Позначення в цьому співвідношенні наступні:

?=h/2?, де h – постійна Планка.

H – Гамільтоніан, оператор повної енергії системи.

? – хвильова функція.

Змінюючи координати, в яких вирішується ця функція, у відповідності з типом частинки і поля, в якому вона знаходиться, можна отримати закон поведінки розглянутої системи.

Поняття квантової фізики

Нехай читач не вірить у уявною простотою використаних термінів. Такі слова і вирази, як «оператор», «повна енергія», «елементарна комірка», - це фізичні терміни. Їх значення варто уточнювати окремо, причому краще використовувати підручники. Далі ми дамо опис та вид хвильової функції, але ця стаття носить оглядовий характер. Для більш глибокого розуміння цього поняття необхідно вивчити математичний апарат на певному рівні.

Хвильова функція

Її математичний вираз має вигляд |?(t)> = ? ?(x, t)|x> dx. Хвильова функція електрона або будь-якої іншої елементарної частинки завжди описується грецькою буквою ?, тому іноді її ще називають псі-функцією. Для початку треба зрозуміти, що функція залежить від всіх координат і часу. Тобто ?(x, t) – це фактично ?(x 1 , x 2 x n , t). Важливе зауваження, так як від координат залежить рішення рівняння Шредінгера. Далі необхідно пояснити, що під |x> мається на увазі базисний вектор обраної системи координат. Тобто в залежності від того, що саме треба отримати, імпульс або ймовірність |x> буде мати вигляд | x 1 , x 2 , , x n >. Очевидно, що n буде також залежати від мінімального базису векторного обраної системи. Тобто в звичайному тривимірному просторі n=3. Для недосвідченого читача пояснимо, що всі ці значки близько показника x – це не просто примха, а конкретне математичне дію. Зрозуміти його без складних математичних викладок не вдасться, тому ми щиро сподіваємося, що цікавляться самі з'ясують його сенс.
І нарешті, необхідно пояснити, що ?(x, t)= .

Фізична сутність хвильової функції

Незважаючи на базове значення цієї величини, вона сама не має в основі явища чи поняття. Фізичний зміст хвильової функції полягає в квадраті її повного модуля. Формула виглядає так: |? (x 1 , x 2 , , x n , t)| 2 = ?, де ? має значення щільності ймовірності. У разі дискретних спектрів (а не неперервних) ця величина набуває значення просто ймовірності.

Наслідок фізичного змісту хвильової функції

Такий фізичний зміст має далекосяжні наслідки для всього квантового світу. Як стає зрозуміло із значення величини ?, всі стани елементарних частинок набувають імовірнісний відтінок. Найнаочніший приклад – це просторовий розподіл електронних хмар на орбіталях навколо атомного ядра. Візьмемо два види гібридизації електронів в атомах з найбільш простими формами хмар: s і p. Хмари першого типу мають форму кулі. Але якщо читач пам'ятає з підручників з фізики, ці електронні хмари завжди зображуються як якесь розпливчасте скупчення точок, а не як гладка сфера. Це означає, що на певній відстані від ядра знаходиться зона з найбільшою ймовірністю зустріти s-електрон. Проте трохи ближче і трохи далі ця ймовірність не нульова, просто вона менше. При цьому для p-електронів форма електронного хмари зображується у вигляді дещо розпливчастим гантелі. Тобто існує досить складна поверхня, на якій імовірність знайти електрон найвища. Але і поблизу від цієї «гантелі» як далі, так і ближче до ядра така ймовірність не дорівнює нулю.

Нормування хвильової функції

З останнього випливає необхідність унормувати хвильову функцію. Під нормуванням розуміється така «підгонка» деяких параметрів, при якій вірно певне співвідношення. Якщо розглядати просторові координати, то ймовірність знайти цю частку (електрон, наприклад) в існуючій Всесвіті повинна бути дорівнює 1. Формула виглядає так: ? V ?* ? dV=1. Таким чином, виконується закон збереження енергії: якщо ми шукаємо конкретний електрон, він повинен бути цілком в заданому просторі. Інакше розв'язувати рівняння Шредінгера просто не має сенсу. І неважливо, знаходиться ця частка всередині зірки або в гігантському космічному войде, вона повинна десь бути. Трохи вище ми згадували, що змінними, від яких залежить функція, можуть бути і непространственние координати. В такому випадку нормування проводиться за всіма параметрами, від яких функція залежить.

Миттєве пересування: прийом чи реальність?

У квантовій механіці відокремити математику від фізичного сенсу неймовірно складно. Наприклад, квант був введений Планком для зручності математичного виразу одного з рівнянь. Тепер принцип дискретності багатьох величин і понять (енергії, моменту імпульсу, поля) лежить в основі сучасного підходу до вивчення мікросвіту. У ? теж є такий парадокс. Згідно з одним із розв'язків рівняння Шредінгера, можливо, що при вимірюванні квантовий стан системи змінюється миттєво. Це явище зазвичай позначається як редукція або колапс хвильової функції. Якщо таке можливо в реальності, квантові системи здатні переміщатися з нескінченною швидкістю. Але обмеження швидкостей для речових об'єктів нашого Всесвіту незаперечно: ніщо не може рухатися швидше світла. Явище це зафіксовано жодного разу не було, але й спростувати його теоретично поки не вдалося. З часом, можливо, цей парадокс вирішиться: або у людства з'явиться інструмент, який зафіксує таке явище, або знайдеться математичне хитрування, яке доведе неспроможність цього припущення. Є і третій варіант: люди створять такий феномен, але при цьому Сонячна система звалиться в штучну чорну діру.

Хвильова функція многочастичной системи (атома водню)

Як ми стверджували протягом всієї статті, псі-функція описує одну елементарну частинку. Але при найближчому розгляді атом водню схожий на систему з двох частинок (одного негативного електрона і одного позитивного протона). Хвильові функції атома водню можуть бути описані як двухчастичние або оператором типу матриці густини. Ці матриці не зовсім точно є продовженням псі-функції. Вони скоріше показують відповідність ймовірностей знайти частинку в одному і іншому стані. При цьому важливо пам'ятати, що задача вирішена тільки для двох тел одночасно. Матриці щільності застосовні до пар частинок, але неможливі для більш складних систем, наприклад при взаємодії трьох і більше тел. У цьому факті простежується неймовірна подібність між найбільш «грубого» механікою і дуже «тонким» квантовою фізикою. Тому не варто думати, що раз існує квантова механіка, в звичайної фізики нових ідей не може виникнути. Цікаве ховається за будь-яким поворотом математичних маніпуляцій.