Важливим поняттям в математиці є функція. З її допомогою можна наочно представити багато процесів, відбуваються в природі, відобразити з використанням формул, таблиць і зображень на графіку взаємозв'язок між певними величинами. Прикладом може служити залежність тиску шару рідини на тіло від глибини занурення, прискорення - від дії на об'єкт певної сили, збільшення температури - від переданої енергії і багато інші процеси. Дослідження функції передбачає побудову графіка, з'ясування її властивостей, області визначення та значень, проміжків зростання та спадання. Важливим моментом у цьому процесі є знаходження точок екстремуму. Про те, як правильно це робити, і піде розмова далі.

Про самому понятті на конкретному прикладі

У медицині побудова графіка функції може розповісти про хід розвитку хвороби в організмі пацієнта, наочно відображає його стан. Припустимо, по осі ОХ відкладається час у добі, а по осі ОУ - температура тіла людини. На малюнку добре видно, як цей показник різко піднімається, а потім падає. Неважко помітити також особливі точки, що відображають моменти, коли функція, раніше зростаючи, починає спадати, і навпаки. Це точки екстремуму, тобто критичні значення (максимальні і мінімальні) в даному у разі температури хворого, після яких настають зміни в його стані.

Кут нахилу

Легко можна визначити за малюнком, як змінюється похідна функції. Якщо прямі лінії графіка з плином часу йдуть вгору, то вона позитивна. І чим вони крутіше, тим більше значення приймає похідна, так як зростає кут нахилу. У періоди зменшення ця величина приймає негативні значення, в точках екстремуму звертаючись в нуль, а графік похідної в останньому випадку малюється паралельно осі ОХ.


Будь-який інший процес слід розглядати аналогічним чином. Але найкраще про це поняття може розповісти переміщення різних тіл, наочно показане на графіках.

Рух

Припустимо, що деякий об'єкт рухається по прямій, рівномірно набираючи швидкість. У цей період зміна координати тіла графічно являє собою деяку криву, яку математик назвав би гілкою параболи. При цьому функція постійно зростає, так як показники координати з кожною секундою змінюються все швидше. Графік швидкості демонструє поведінку похідної, значення якої також збільшується. А значить, рух не має критичних точок. Так би і тривало нескінченно довго. Але якщо тіло раптом вирішить загальмувати, зупинитися і почати рухатися в іншому напрямку? У даному випадку показники координати почнуть зменшуватися. А функція перейде критичне значення і із зростаючою перетвориться на убуваючу. На цьому прикладі знову можна зрозуміти, що точки екстремуму на графіку функції з'являються в моменти, коли вона перестає бути монотонною.

Фізичний зміст похідної

Описане раніше наочно показало, що похідна по суті є швидкістю зміни функції. В цьому уточненні і укладено її фізичний зміст. Точки екстремуму – це критичні області на графіку. Їх можливо з'ясувати і виявити, обчисливши значення похідної, яка виявляється рівною нулю.
Існує й інший ознака, яка є достатньою умовою екстремуму. Похідна в таких місцях перегину змінює свій знак: з «+» на «-» в області максимуму і з «-» на «+» в районі мінімуму.

Рух під впливом сили тяжіння

Наведемо ще одну ситуацію. Діти, граючи в м'яч, кинули його таким чином, що він почав рухатися під кутом до горизонту. У початковий момент швидкість даного об'єкту була найбільшою, але під дією сили тяжіння почала зменшуватися, причому з кожною секундою на одну і ту ж величину, рівну приблизно 98 м/с 2 . Це значення прискорення, що виникає під впливом земної гравітації при вільному падінні. На Місяці воно б було приблизно в шість разів менше. Графіком, що описує переміщення тіла, є парабола з гілками, спрямованими вниз. Як знайти точки екстремуму? В даному випадку це вершина функції, де швидкість тіла (м'ячі) приймає нульове значення. Похідна функції дорівнює нулю. При цьому напрямок, а отже, і значення швидкості, змінюється на протилежне. Тіло летить вниз з кожною секундою все швидше, причому прискорюється на ту ж величину - 98 м/с 2 .

Друга похідна

У попередньому випадку графік модуля швидкості малюється як пряма. Дана лінія виявляється спочатку спрямована вниз, так як значення цієї величини постійно зменшується. Досягнувши нуля в один з моментів часу, далі показники цієї величини починають зростати, а напрямок графічного зображення модуля швидкості кардинально змінюється. Тепер лінія спрямована вгору. Швидкість, будучи похідною від координати за часом, теж має критичну точку. У цій області функція, спочатку убуваючи, починає зростати. Це місце точки екстремуму похідної функції. В даному випадку кут нахилу дотичної стає рівним нулю. А прискорення, будучи другою похідною від координати за часом, змінює знак з «-» на «+». І рух равнозамедленного стає рівноприскореним.

Графік прискорення

Тепер розглянемо чотири малюнка. На кожному з них відображено графік зміни з плином часу такий фізичної величини, як прискорення. У випадку «А» значення його залишається позитивним і постійним. Це означає, що швидкість тіла, як і його координата, постійно збільшується. Якщо уявити, що об'єкт буде рухатися таким чином нескінченно довго, функція, що відображає залежність координати від часу, виявиться, що постійно зростає. З цього випливає, що вона не має критичних областей. Точки екстремуму на графіку похідної, тобто лінійно змінної швидкості, також відсутні. Те ж стосується і випадку «Б» з позитивним і постійно зростаючим прискоренням. Правда, графіки для координати і швидкості тут будуть дещо складніше.

Коли прискорення прагне до нуля

Розглядаючи малюнок «В», можна спостерігати зовсім іншу картину, що характеризує рух тіла. Швидкість його графічно буде зображуватися параболою з гілками, спрямованими вниз. Якщо продовжити лінію, що описує зміну прискорення до перетину її з віссю ОХ, і далі, то можна уявити, що до цього критичного значення, де прискорення виявиться рівним нулю, швидкість об'єкта буде зростати все повільніше. Точка екстремуму похідної від функції координати виявиться якраз у вершині параболи, після чого тіло кардинально змінить характер руху і почне рухатися в іншому напрямку. В останньому випадку, «Г», характер руху точно визначити неможливо. Тут відомо тільки, що прискорення за певний період, що розглядається, відсутня. Отже, об'єкт може залишатися на місці або рух відбувається з постійною швидкістю.

Завдання на складання координат

Перейдемо до завдань, які часто зустрічаються при вивченні алгебри у школі і пропонуються для підготовки до ЄДІ. На малюнку, який представлений нижче, зображено графік функції. Потрібно обчислити суму точок екстремуму. Зробимо це для осі ординат, визначивши координати критичних областей, де спостерігається зміна характеристик функції. Простіше кажучи, знайдемо значення по осі ОХ точок перегину, а потім перейдемо до складання отриманих членів. За графіком очевидно, що вони приймають наступні значення: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. У сумі це становить -21 що і є відповіддю.

Оптимальне рішення

Не варто пояснювати, наскільки може виявитися важливим у виконанні практичних завдань, вибір оптимального рішення. Адже шляхів досягнення мети буває багато, а найкращий вихід, як правило, - лише один. Це буває вкрай необхідно, наприклад, при конструюванні суден, космічних кораблів і літаків, архітектурних споруд для знаходження оптимальної форми даних рукотворних об'єктів. Швидкохідність засобів пересування в чому залежить від грамотного зведення до мінімуму опору, яке вони відчувають при переміщенні по воді і повітрю, від перевантажень, що виникають під дією гравітаційних сил та багатьох інших показників. Корабля на морі, необхідні такі якості, як стійкість під час шторму, для річкового судна важлива мінімальна осаду. При розрахунках оптимальної конструкції точки екстремуму на графіку наочно можуть дати уявлення про найкращому вирішенні складної проблеми. Завдання такого плану часто вирішуються в економіці, господарських областях, у безлічі інших життєвих ситуацій.

З античної історії

Задачі на екстремум займали навіть древніх мудреців. Грецькі вчені з успіхом розгадали таємницю площ і обсягів шляхом математичних обчислень. Це вони першими зрозуміли, що на площині з різноманітних фігур, що володіють одним і тим же периметром, найбільшу площу завжди має коло. Аналогічним чином куля наділений максимальним обсягом серед інших предметів у просторі з однаковою величиною поверхні. Вирішення подібних завдань присвятили себе такі відомі особистості, як Архімед, Евкліда, Аристотель, Аполлоній. Знайти точки екстремуму чудово вдавалося Герону, який, вдавшись до розрахунків, споруджував хитромудрі пристрої. До них ставилися автомати, що переміщаються за допомогою пари, що працюють за тим же принципом насоси і турбіни.

Будівництво Карфагена

Існує легенда, сюжет якої побудований на вирішенні однієї з екстремальних задач. Результатом ділового підходу, який продемонструвала фінікійська царівна, яка звернулася за допомогою до мудреців, стало будівництво Карфагена. Земельна ділянка для цього древнього і прославленого міста подарував Дидоне (так звали правительку) вождь одного з африканських племен. Площа наділу не здалася йому спочатку дуже великою, так як за договором повинна була покриватися волової шкурою. Але царівна наказала своїм воїнам розрізати її на тонкі смуги і скласти з них ремінь. Він вийшов настільки довгим, що охопив ділянку, де вмістився цілий місто.

Витоки математичного аналізу

А тепер перенесемося з античних часів в більш пізню епоху. Цікаво, що до усвідомлення основ математичного аналізу підштовхнула Кеплера в XVII столітті зустріч з продавцем вина. Торговець був настільки обізнаний у своїй професії, що легко міг визначити обсяг знаходиться в бочці напою, просто опускаючи туди залізний джгут. Розмірковуючи над подібним курйозом, знаменитий учений зумів вирішити для себе цю дилему. Виявляється, вправні бочари тих часів навчилися виготовляти посудини таким чином, щоб при певній висоті і радіус кола жодних скріплювальних кілець вони мали максимальну місткість. Це стало для Кеплера приводом для подальших роздумів. Бочари прийшли до оптимального рішення методом тривалого пошуку, помилок і нових спроб, передаючи свій досвід з покоління в покоління. Але Кеплер хотів прискорити процес і навчитися робити те ж саме в короткий термін шляхом математичних обчислень. Всі його напрацювання, підхоплені колегами, перетворилися на відомі нині теореми Ферма і Ньютона - Лейбніца.

Завдання на знаходження максимальної площі

Уявімо, що ми маємо дріт, довжина якої дорівнює 50 див. Як скласти з неї прямокутник, що володіє найбільшою площею? Починаючи рішення, слід виходити з простих і відомих кожному істин. Зрозуміло, що периметр нашої фігури буде становити 50 див. Він складається з подвоєних довжин обох сторін. Це означає, що, позначивши через «Х» одну з них, іншу можливо виразити як (25 – Х). Звідси отримуємо площу, рівну Х(25 – Х). Цей вираз можна представити як функцію, що приймає безліч значень. Вирішення завдання вимагає знайти максимальну із них, а значить, слід дізнатися точки екстремуму. Для цього знаходимо першу похідну і прирівнюємо її до нуля. У результаті виходить просте рівняння: 25 – 2Х = 0. З нього ми дізнаємося, що одна із сторін Х = 125. Отже, інша: 25 – 125 = 125. Виходить, що рішенням задачі буде квадрат зі стороною 125 див.

Як знайти максимальну швидкість

Розглянемо ще один приклад. Уявімо, що існує тіло, прямолінійний рух якої описується рівнянням S = - t 3 + 9t 2 – 24t – 8 де пройдену відстань виражається в метрах, час у секундах. Потрібно знайти максимальну швидкість. Як це зробити? Скачала знаходимо швидкість, тобто першу похідну. Отримуємо рівняння: V = - 3t 2 + 18t – 24. Тепер для розв'язання задачі знову потрібно знайти точки екстремуму. Зробити це необхідно тим же способом, що і в попередній задачі. Знаходимо першу похідну від швидкості і прирівнюємо її до нуля. Отримуємо: - 6t + 18 = 0. Звідси t = 3 с. Це час, коли швидкість тіла приймає критичне значення. Підставляємо отримане дане рівняння швидкості і отримуємо: V = 3 м/с. Але як зрозуміти, що це саме максимальна швидкість, адже критичними точками функції можуть бути найбільші або найменші її значення? Для перевірки необхідно знайти другу похідну від швидкості. Вона виражається числом 6 зі знаком мінус. Це означає, що знайдена точка є максимумом. А в разі позитивного значення другої похідної був би мінімум. Отже, знайдене рішення виявилося правильним. Наведені як приклад завдання є лише частиною з тих, які можливо вирішити, вміючи знаходити точки екстремуму функції. Насправді їх набагато більше. А подібні знання відкривають перед людською цивілізацією необмежені можливості.