Сьогодні ми пропонуємо разом з нами досліджувати і побудувати графік функції. Після уважного вивчення даної статті вам не доведеться довго потіти над виконанням подібного роду завдання. Дослідити і побудувати графік функції нелегко, об'ємна робота, що вимагає максимальної уваги і точності обчислень. Для полегшення сприйняття матеріалу ми будемо поетапно вивчати одну і ту ж функцію, пояснимо всі наші дії і обчислення. Ласкаво просимо в дивовижний і захоплюючий світ математики! Поїхали!
Область визначення
Для того щоб дослідити і побудувати графік функції, необхідно знати кілька визначень. Функція є одним з основних (базових) понять в математиці. Вона відображає залежність між декількома змінними (двома, трьома і більше) при змінах. Так само функція показує залежність множин.
Уявіть, що у нас є дві змінні, які мають певний діапазон зміни. Так от – це функція від х, при умові, що кожному значенню другої змінної відповідає одне значення другої. При цьому змінна у – залежна, її і називають функцією. Прийнято говорити, що змінні х і у знаходяться у функціональній залежності. Для більшої наочності даної залежності будують графік функції. Що таке графік функції? Це безліч точок на координатній площині, де кожному значенню х відповідає єдине значення у. Графіки можуть бути різні – пряма лінія, гіпербола, парабола, синусоїда і так далі. Графік функції неможливо побудувати без дослідження. Сьогодні ми навчимося проводити дослідження і побудуємо графік функції. Дуже важливо в ході дослідження на координатну площину наносити позначки. Так впоратися із завданням буде набагато простіше. Найбільш зручний план дослідження:
Область визначення. Безперервність. Парність або непарність. Періодичність. Асимптоти. Нулі. Знакопостоянство. Зростання і спадання. Екстремуми. Випуклість і увігнутість. Почнемо з першого пункту. Знайдемо область визначення, тобто на яких проміжках існує наша функція: у=1/3(х^3-14х^2+49х-36). В нашому випадку, функція існує при будь-яких значеннях х, тобто область визначення дорівнює R. Записати наступним чином хIR.
Безперервність
Зараз ми з вами будемо досліджувати функцію на розрив. В математиці термін «безперервність» з'явився у результаті вивчення законів руху. Що є нескінченним? Простір, час, деякі залежності (прикладом може служити залежність змінних S і t в задачах на рух), температура нагрівається об'єкта (води, сковороди, термометра і так далі), безперервна лінія (тобто та, яку можна накреслити, не відриваючи від аркуша олівець).
Безперервним вважається графік, який не розривається в деякій точці. Одним з найбільш наочних прикладів такого графіка є синусоїда, яку ви можете побачити на малюнку в даному розділі. Функція неперервна в деякій точці х0 якщо дотримано ряд умов:
в даній точці визначена функція; правий і лівий межу в точці дорівнюють; межа дорівнює значенню функції в точці х0. При недотриманні хоча б однієї умови кажуть, що функція терпить розрив. А точки, в яких розривається функція, прийнято називати точками розриву. Прикладом функції, яка при графічному відображенні буде «розриватися», може служити: у=(х+4)/(х-3). При цьому не існує в точці х=3 (так як на нуль ділити не можна).
До функції, яку ми досліджуємо (в=1/3(х^3-14х^2+49х-36)) виявилося все просто, так як графік буде безперервним.
Парність, непарність
Тепер дослідіть функцію на парність. Для початку трохи теорії. Парної називають ту функцію, яка задовольняє умові f(-x)=f(x) при будь-якому значенні змінної х (з області значень). Прикладами можуть служити:
модуль х (графік схожий на галку, бісектриса першої та другої чверті графіка); х в квадраті (парабола); косинус х (косинусоїда). Зверніть увагу на те, що всі ці графіки симетричні, якщо розглядати це відносно осі ординат (тобто). А що ж тоді називають непарною функцією? Такими є ті функції, які задовольняють умову: f(-х)=-f(х) при будь-якому значенні змінної х. Приклади:
гіпербола; кубічна парабола; синусоїда; тангенсоида і так далі. Зверніть увагу на те, що дані функції мають симетрію відносно точки (0:0), тобто початку координат. Виходячи з того, що було сказано у даному розділі статті, парна та непарна функція повинна володіти властивістю: х належить множині визначення і –х теж. Досліджуємо функцію на парність. Ми можемо помітити, що вона не підходить ні під одну з описів. Отже, наша функція не є ні парної, ні непарної.
Асимптоти
Почнемо з визначення. Асимптота – це крива, яка максимально наближена до графіку, тобто відстань від деякої точки прагне до нуля. Всього виділяють три види асимптот:
вертикальні, тобто паралельні осі у; горизонтальні, тобто паралельні осі х; похилі. Що стосується першого виду, то дані прямі варто шукати в деяких точках:
розрив; кінці області визначення. У нашому випадку функція неперервна, а область визначення дорівнює R. Отже, вертикальні асимптоти відсутні. Горизонтальна асимптота є у графіка функції, який відповідає наступного вимогу: якщо х прагне до нескінченності або мінус нескінченності, а межа дорівнює деякому числу (наприклад, а). В даному випадку у=а – це і є горизонтальна асимптота. У досліджуваній нами функції горизонтальних асимптот немає.
Похила асимптота існує тільки в тому випадку, якщо дотримані дві умови:
lim (f(x))/x=k; lim f(x)-kx=b. Тоді її можна знайти за формулою: у=kx+b. Знову ж таки, в нашому випадку похилих асимптот немає.
Нулі функції
Наступним етапом нам необхідно досліджувати графік функції на нулі. Дуже важливо відзначити і те, що завдання, пов'язане з місцем знаходження нулів функції, зустрічається не тільки при дослідженні та побудові графіка функції, але і як самостійне завдання, і як спосіб розв'язання нерівностей. Від вас можуть зажадати знайти нулі функції на графіку або використовувати математичний запис. Знаходження даних значень допоможе вам більш точно скласти графік функції. Якщо говорити простою мовою, то нуль функції – це значення змінної х, при якій у=0. Якщо ви шукайте нулі функції на графіку, то варто звернути увагу на точки, у яких відбувається перетин графіка з віссю абсцис. Щоб знайти нулі функції, необхідно вирішити наступне рівняння: у=1/3(х^3-14х^2+49х-36)=0. Після проведення необхідних обчислень, ми отримуємо таку відповідь:
х=1; 4; 9. Рекомендується відразу відзначати знайдені точки на графіку.
Знакопостоянство
Наступний етап дослідження і побудови функції (графіка) – це знаходження проміжків знакопостоянства. Це означає, що ми повинні визначити, на яких проміжках функція приймає позитивне значення, а на будь – негативне. Це нам допоможуть зробити знайдені в минулому розділі нулі функції. Отже, нам потрібно побудувати пряму (окремо від графіка) і в правильному порядку розподілити по ній нулі функції від меншого до більшого. Тепер потрібно визначити, який з отриманих проміжків має знак «+», а який «-». В нашому випадку, функція приймає позитивне значення на проміжках:
від 1 до 4; від 9 до нескінченності. Від'ємне значення:
від мінус нескінченності до 1; від 4 до 9. Це визначити досить просто. Підставте будь-яке число з проміжку в функцію і подивіться з яким знаком вийшов відповідь (мінус або плюс).
Зростання і спадання функції
Для того щоб дослідити і побудувати функцію, нам необхідно дізнатися, де графік буде зростати (йти вгору по координатної прямої Оу), а де буде падати (повзти вниз по осі ординат).
Функція зростає тільки в тому випадку, якщо більшому значенню змінної х відповідає більше значення у. Тобто х2 більше х1 а f(х2) більше f(x1). І цілком протилежне явище ми спостерігаємо у спадної функції (чим більше х, тим менше у). Для визначення проміжків зростання та спадання необхідно знайти наступне:
область визначення (у нас вже є); похідну (в нашому випадку: 1/3(3x^2-28х+49); вирішити рівняння 1/3(3x^2-28х+49)=0. Після обчислень ми отримуємо результат:
7/3; 7. Отримуємо: функція зростає на проміжках від мінус нескінченності до 7/3 і від 7 до нескінченності, а убуває на проміжку від 7/3 до 7.
Екстремуми
Досліджувана функція y=1/3(х^3-14х^2+49х-36) є неперервною і існує при будь-яких значеннях змінної х. Точка екстремуму показує максимум і мінімум даної функції. У нашому випадку таких немає, що значно спрощує задачу побудови. В іншому випадку точки екстремуму так само знаходяться за допомогою похідної функції. Після знаходження не забувайте відзначати їх на графіку.
Випуклість і увігнутість
Продовжуємо далі досліджувати функцію y(x). Зараз нам потрібно перевірити її на випуклість і увігнутість. Визначення цих понять досить важко сприйняти, краще все проаналізувати на прикладах. Для тіста: функція опукла, якщо є невизначеним інтегралом неубутною функції. Погодьтеся, це незрозуміло! Нам потрібно знайти похідну від функції другого порядку. Ми отримуємо:=1/3(6х-28). Тепер приравняем праву частину до нуля і вирішимо рівняння. Відповідь: х=14/3. Ми знайшли точку перегину, тобто місце, де графік змінює опуклість на увігнутість або навпаки. На проміжку від мінус нескінченності до 14/3 функція випукла, а від 14/3 до плюс нескінченності – увігнута. Дуже важливо відзначити і те, що точка перегину на графіку повинна бути плавною і м'якою, ніяких гострих кутів бути присутнім не повинно.
Визначення додаткових точок
Наше завдання - дослідити та побудувати графік функції. Ми закінчили дослідження, побудувати графік функції тепер не складе праці. Для більш точного і детального відтворення кривої або прямої на координатній площині можна знайти кілька допоміжних точок. Їх обчислити досить просто. Наприклад, ми візьмемо х=3 вирішуємо одержане рівняння і знаходимо у=4. Або х=5 а=-5 і так далі. Додаткових точок ви можете брати стільки, скільки вам необхідно для побудови. Мінімум їх знаходять 3-5.
Побудова графіка
Нам необхідно було дослідити функцію (x^3-14х^2+49х-36)*1/3=у. Всі необхідні позначки в ході обчислень були нанесені на координатній площині. Все, що залишилося зробити – побудувати графік, тобто з'єднати всі крапки між собою. З'єднувати точки варто плавно і акуратно, це справа майстерності - трохи практики і ваш графік буде ідеальним.
