З поверхнями 2-го порядку студент найчастіше зустрічається на першому курсі. Спочатку завдання на цю тему можуть здаватися простими, але, у міру вивчення вищої математики і заглиблення в наукову сторону, можна остаточно перестати орієнтуватися в тому, що відбувається. Для того щоб такого не сталося, треба не просто завчити, а зрозуміти, як виходить та чи інша поверхня, як зміна коефіцієнтів впливає на неї і її розташування відносно початкової системи координат і як знайти нову систему (таку, в якій її центр співпадає з початком координат, а вісь симетрії паралельна одній з координатних осей). Почнемо з самого початку.

Визначення

Поверхнею 2 порядку називається ГМТ, координати якого задовольняють загальним рівнянням наступного виду: F(x,y,z)=0. Ясно, що кожна точка, що належить поверхні, повинна мати три координати в якому-небудь визначеному базисі. Хоча в деяких випадках геометричне місце точок може вироджуватися, наприклад, у площину. Це лише означає, що одна з координат постійна і дорівнює нулю у всій області допустимих значень. Повна розписана форма згаданого вище рівності виглядає так: A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0. A nm – деякі константи, x, y, z – змінні, що відповідають афінних координатах якої-небудь точки. При цьому хоча б один із множників-констант повинен бути не дорівнює нулю, тобто не будь-яка точка буде відповідати рівнянню. У переважній більшості прикладів багато числові множники все ж тотожно дорівнюють нулю, і рівняння значно спрощується. На практиці визначення належності точки до поверхні не складно (достатньо підставити її координати в рівняння і перевірити, чи дотримується тотожність). Ключовим моментом у такій роботі є приведення останньої до канонічного виду.


Написане вище рівняння задає будь-які (всі зазначені далі) поверхні 2 порядку. Приклади розглянемо далі.

Види поверхонь 2 порядку

Рівняння поверхонь 2 порядку розрізняються тільки значеннями коефіцієнтів A nm . Із загального виду при певних значеннях констант можуть вийти різні поверхні, що класифікуються наступним чином:

Циліндри.

Еліптичний тип.

Гіперболічний тип.

Конічний тип.

Параболічний тип.

Площині.

У кожного з перелічених видів є природна і уявна форма: в уявній формі геометричне місце речових точок або вироджується в більш просту фігуру, або відсутній зовсім.

Циліндри

Це найпростіший тип, так як відносно складна крива лежить лише на підставі, виступаючи в якості направляючої. Утворюють є прямі, перпендикулярні площини, в якій лежить основу. На графіку показаний круговий циліндр – приватний випадок еліптичного циліндра. В площині XY його проекція буде еліпсом (в нашому випадку - колом) - направляючої, а в XZ – прямокутником так як твірні паралельні осі Z. Щоб отримати його з загального рівняння, необхідно надати наступні значення коефіцієнтів: Замість звичних позначень ікс, ігрек, зет використані ікси з порядковим номером – це не має ніякого значення. По суті, 1/a 2 та інші зазначені тут постійні є тими самими коефіцієнтами, зазначеними в загальному рівнянні, але прийнято записувати їх саме в такому вигляді – це і є канонічне представлення. Далі буде використовуватися виключно такий запис.
Так задається гіперболічний циліндр. Схема та ж – направляючої буде гіпербола. y 2 =2px Параболічний циліндр задається декілька інакше: його канонічний вигляд включає в себе коефіцієнт p, називається параметром. Насправді, коефіцієнт дорівнює q=2p, але прийнято поділяти його на представлені два множника. Є ще один вид циліндрів: уявні. Такого циліндра не належить жодна речовинна точка. Його описує рівняння еліптичного циліндра, але замість одиниці коштує -1.

Еліптичний тип

Еліпсоїд може бути розтягнутий вздовж однієї осі (уздовж якої саме залежить від значень сталих a, b, c, зазначених вище; очевидно, що більшої осі відповідатиме більший коефіцієнт). Також існує і уявний еліпсоїд – за умови, що сума координат, помножена на коефіцієнти, дорівнює -1:

Гіперболоїди

При появі мінуса в однієї з констант рівняння еліпсоїда перетворюється в рівняння однополостного гіперболоїда. Треба розуміти, що цей мінус не обов'язково повинен розташовуватися перед координатою x 3 ! Він лише визначає, яка з осей буде віссю обертання гіперболоїда (або паралельна їй, так як при появі додаткових доданків в квадраті (наприклад, (x-2) 2 ) зміщується центр фігури, як наслідок, поверхню переміщається паралельно осям координат). Це відноситься до всіх поверхонь 2 порядку. Крім цього, треба розуміти, що рівняння представлено в канонічному вигляді і вони можуть бути змінені за допомогою варіювання констант (із збереженням знака!); при цьому їх вид (гіперболоїд, конус і так далі) залишиться тим же. Таке рівняння задає вже двуполостний гіперболоїд.

Конічна поверхня

У рівнянні конуса одиниця відсутня – рівність нулю. Конусом називається тільки обмежена конічна поверхня. На фото нижче видно, що, по суті, на графіку виявиться два так званих конуса. Важливе зауваження: у всіх розглянутих канонічних рівняннях константи за замовчуванням приймаються позитивними. В іншому випадку знак може вплинути на підсумковий графік. Координатні площини стають конуса площинами симетрії, центр симетрії розташований у початку координат. У рівнянні уявного конуса стоять тільки плюси; йому належить одна єдина реальна точка.

Параболоїди

Поверхні 2 порядку в просторі можуть приймати різні форми навіть при схожих рівняннях. Приміром, параболоїди бувають двох видів. x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z Еліптичний параболоїд, при розташуванні осі Z перпендикулярно кресленням, буде проектуватися в еліпс. x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z Гіперболічний параболоїд: в перетинах площинами, паралельними ZY, будуть виходити параболи, а в перетинах площинами, паралельними XY – гіперболи.

Пересічні площини

Є випадки, коли поверхні 2-го порядку вироджуються в площині. Ці площини можуть розташовуватися різними способами. Спочатку розглянемо перетинаються площині: x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0 При такій модифікації канонічного рівняння виходять просто дві пересічні площини (уявні!); всі речові точки знаходяться на осі тієї координати, яка відсутня в рівнянні (у канонічному – осі Z).

Паралельні площини

y 2 =a 2 При наявність тільки однієї координати поверхні 2-го порядку вироджуються в пару паралельних площин. Не забувайте, на місці игрека може стояти будь-яка інша змінна; тоді будуть виходити площині, паралельні інших осях. y 2 =–a 2 В цьому випадку вони стають уявними.

Збігаються площині

y 2 =0 При такому простому рівнянні пара площин вироджується в одну – вони збігаються. Не забувайте, що у випадку тривимірного базису представлене вище рівняння задає пряму y=0! У ньому відсутні дві інші змінні, але це всього лише означає, що їх значення постійно і дорівнює нулю.

Побудова

Однією з найскладніших завдань для студента є саме побудова поверхонь 2 порядку. Ще більш важко переходити від однієї системи координат до іншої, враховуючи кути нахилу кривої відносно осей і зсув центру. Давайте повторимо, як послідовно визначити майбутній вигляд креслення аналітичним способом. Щоб побудувати поверхню 2 порядку, необхідно:

привести рівняння до канонічного виду;

визначити вид досліджуваної поверхні;

побудувати, спираючись на значення коефіцієнтів.

Нижче представлені всі розглянуті види: Для закріплення детально розпишемо один приклад такого типу завдання.

Приклади

Припустимо, є рівняння: 3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0 Наведемо його до канонічного виду. Виділимо повні квадрати, тобто скомпонуємо наявні доданки таким чином, щоб вони були розкладанням квадрата суми чи різниці. Наприклад: якщо (a+1) 2 =a 2 +2a+1 то a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Ми будемо проводити другу операцію. Дужки в даному випадку розкривати не обов'язково, так як це тільки ускладнить обчислення, а ось винести спільний множник 6 (в дужці з повним квадратом игрека) необхідно: 3(x-1) 2 +6 y+5) 2 +2z 2 =6 Змінна зет зустрічається в цьому випадку тільки один раз – її можна поки не чіпати. Аналізуємо рівняння на даному етапі: перед усіма невідомими стоїть знак «плюс»; при діленні на шість залишається одиниця. Отже, перед нами рівняння, що задає еліпсоїд. Зауважте, що 144 було розкладено на 150-6 після чого -6 перенесли вправо. Чому треба було зробити саме так? Очевидно, що найбільший дільник в даному прикладі -6 отже, щоб після ділення на нього справа залишилася одиниця, необхідно «відкласти» від 144 саме 6 (про те, що справа повинна виявитися одиниця, говорить наявність вільного члена – константи, не помноженої на невідому). Поділимо всі на шість і одержимо канонічне рівняння еліпсоїда: (x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1 В використаної раніше класифікації поверхонь 2 порядку розглядається окремий випадок, коли центр фігури знаходиться в початку координат. В даному прикладі він зміщений. Вважаємо, що кожна дужка з невідомими – це нова змінна. Тобто: a=x-1 b=y+5 c=z. В нових координатах центр еліпсоїда збігається з точкою (000), отже, a=b=c=0 звідки x=1 y=-5 z=0. У початкових координатах центр фігури лежить у точці (1-50). Еліпсоїд буде виходити з двох еліпсів: першого в площині XY і другого в площині XZ (або YZ – це не має значення). Коефіцієнти, на які діляться змінні, стоять у канонічне рівняння в квадраті. Отже, в наведеному прикладі правильніше було б ділити на корінь з двох, одиницю і корінь з трьох. Менша вісь першого еліпса, паралельна осі Y, дорівнює двом. Велика вісь паралельна осі X – двох коренів з двох. Менша вісь другого еліпса, паралельна осі Y, залишається тією ж – вона дорівнює двом. А велика вісь, паралельну осі Z, дорівнює двом коріння з трьох. За допомогою отриманих з початкового рівняння шляхом перетворення до канонічного виду даних ми можемо накреслити еліпсоїд.

Підводячи підсумки

Висвітлена в цій статті тема досить широка, але, насправді, як ви можете бачити, не дуже складна. Її освоєння, по суті, закінчується на тому моменті, коли ви завчає назви та рівняння поверхонь (і, звичайно, як вони виглядають). У прикладі вище ми докладно розглядали кожен крок, але приведення рівняння до канонічного виду вимагає мінімальних знань у вищій математиці і не повинно викликати жодних труднощів у студента. Аналіз майбутнього графіка по наявному рівності вже більш складна задача. Але для її вдалого вирішення достатньо розуміти, як будуються відповідні криві другого порядку – еліпси, параболи та інші. Випадки виродження – ще більш простий розділ. З-за відсутності деяких змінних спрощуються не тільки обчислення, як вже було сказано раніше, але і сама побудова. Як тільки ви зможете впевнено назвати всі види поверхонь, варіювати постійні, перетворюючи графік в ту чи іншу фігуру – тема буде освоєна. Успіхів у навчанні!