Як знайти проекцію точки на площину: методика визначення і приклад розв'язання задачі

При рішенні геометричних задач в просторі часто виникає проблема визначення відстані між площиною і точкою. У деяких випадках це необхідно для комплексного вирішення. Цю величину можна обчислити, якщо знайти проекцію точки на площину. Розглянемо це питання докладніше в статті.

Рівняння для опису площині

Перед тим як перейти до розгляду питання щодо того, як знайти проекцію точки на площину, слід познайомитися з видами рівнянь, які задають останню в тривимірному просторі. Докладніше - нижче. Рівняння загального виду, що визначає всі точки, які належать даній площині, є наступне: A*x + B*y + C*z + D = 0. Перші три коефіцієнти - це координати вектора, який називається направляючим для площини. Він збігається з нормаллю для неї, тобто є перпендикулярним. Цей вектор позначають n(A; B; C). Вільний коефіцієнт D однозначно визначається із знання координат будь-якої точки, належить площині.


Далі в статті будемо використовувати записане рівняння. Воно потрібне, щоб знайти проекцію точки на площину.

Поняття про проекції точки і її обчислення

Припустимо, що задана деяка точка P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) і площина. Вона визначена рівнянням в загальному вигляді. Якщо провести перпендикулярну пряму з P до заданої площини, то очевидно, що вона перетне останню в одній певній точці Q (x 2 ; y 2 ; z 2 ). Q називається проекцією P на цю площину. Довжина відрізка PQ називається відстанню від точки P до площині. Таким чином, сам PQ є перпендикулярним площині. Як можна знайти координати проекції точки на площину? Зробити це не складно. Для початку слід скласти рівняння прямої, яка перпендикулярна площині. Їй буде належати точка P. Оскільки вектор нормалі n(A; B; C) цієї прямої повинен бути паралельний, то рівняння для неї у відповідній формі запишеться так:


(x; y; z) = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) + ?*(A; B; C). Де ? - дійсне число, яке прийнято називати параметром рівняння. Змінюючи його, можна отримати будь-яку точку прямої. Після того як записано векторне рівняння для перпендикулярній площині лінії, необхідно знайти загальну точку перетину для розглянутих геометричних об'єктів. Її координати і будуть проекцією P. Оскільки вони повинні задовольняти обом равенствам (для прямої і для площини), то задача зводиться до розв'язання відповідної системи лінійних рівнянь. Поняття проекції часто використовується при вивченні креслень. На них зображуються бічні і горизонтальні проекції деталі на площині zy, zx, і xy.

Обчислення відстані від площини до точки

Як вище було зазначено, знання координат проекції на площину точки дозволяє визначити дистанцію між ними. Використовуючи позначення, введені в попередньому пункті, отримуємо, що шукана відстань дорівнює довжині відрізка PQ. Для його обчислення достатньо знайти координати вектора PQ, а потім розрахувати його модуль за відомою формулою. Кінцевий вираз для d відстані між P точкою і площиною приймає вигляд:
d = |PQ| = ?((x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 + (z 2 - z 1 ) 2 ). Отримане значення d подана в одиницях, в яких задається поточна декартова координатна система xyz.

Приклад завдання

Припустимо, є точка N(0; -2; 3) площину, яка описується наступним рівнянням: 2*x - y + z + 4 = 0. Слід знайти проекцію точки на площину і обчислити між ними відстань. В першу чергу складемо рівняння прямої, яка перетинає площину під кутом 90 o . Маємо: (x; y; z) = (0; -2; 3) + ?*(2; -1; 1). Записуючи це рівність у явному вигляді, приходимо до наступної системи рівнянь: x = 2*?; y = -2 - ?; z = ? + 3; 2*x - y + z + 4 = 0. Підставляючи значення координат з перших трьох рівностей в четверте, отримаємо значення ?, визначає координати загальної точки прямої і площини: 2*(2*?) - (-2 - ?) + ? + 3 + 4 = 0 => 6*? + 9 = 0 => ? = 9/6 = 3/2 = 15. Підставимо знайдений параметр рівняння прямої та знайдемо координати проекції вихідної точки на площину: (x; y; z) = (0; -2; 3) + 15*(2; -1; 1) = (3; -35; 45). Для обчислення відстані між заданими в умові задачі геометричними об'єктами застосуємо формулу для d: d = ?((3 - 0 ) 2 + (-35 + 2 ) 2 + (45 - 3 ) 2 ) = 3674. В цій задачі ми показали, як можна знайти проекцію точки на довільну площину і як обчислювати між ними відстань.