Передісторія
У 1900 році великий німецький математик-універсал Девід Гільберт, представив список з 23-х проблем. Дослідження, здійснені з метою їх вирішення, справили величезний вплив на науку 20 століття. На даний момент більшість з них вже перестали бути загадками. Серед невирішених або частково вирішених залишилися:Інститут Клэйя
Під такою назвою відома приватна некомерційна організація, штаб-квартира якої знаходиться в Кембриджі, штат Массачусетс. Вона була заснована в 1998 році гарвардським математиком А. Джеффі і бізнесменом Л. Клэйем. Метою діяльності інституту є популяризація та розвиток математичних знань. Для її досягнення організація видає премії вченим і спонсорує багатообіцяючі дослідження.На початку 21 століття Математичний інститут Клэйя запропонував премію тим, хто вирішить проблеми, які відомі, як вирішуються найскладніші завдання, назвавши свій список Millennium Prize Problems. Зі «Списку Гільберта» в нього увійшла тільки гіпотеза Рімана.
Завдання тисячоліття
У списку інституту Клэйя спочатку входили:
Що довів Григорій Перельман
У 1900 році відомий вчений-філософ Анрі Пуанкаре припустив, що всяке односвязное компактна 3-мірне різноманіття без краю гомеоморфно 3-мірної сфері. Її доказ в загальному випадку не знаходилося протягом століття. Лише в 2002-2003 роках петербурзький математик Р. Перельман опублікував ряд статей з вирішенням проблеми Пуанкаре. Вони справили ефект бомби, що розірвалася. У 2010 році гіпотеза Пуанкаре була виключена зі списку «Невирішені завдання» інституту Клэйя, а самому Перельману було запропоновано отримати належне йому чималу винагорода, від якого останній відмовився, не пояснивши причин свого рішення. Саме зрозуміле пояснення того, що вдалося довести російському математику, можна дати, уявивши, що на бублик (тор), натягують гумовий диск, а потім намагаються стягнути краї його окружності в одну точку. Очевидно, що це неможливо. Інша справа, якщо провести цей експеримент з кулею. В такому випадку начебто тривимірна сфера, вийшла з диска, окружність якого стягнули в точку гіпотетичним шнуром, буде тривимірної у розумінні пересічної людини, але двовимірної з точки зору математики.Пуанкаре припустив, що тривимірна сфера є єдиним тривимірним «предметом», поверхня якої можна стягнути в одну точку, а Перельману вдалося це довести. Таким чином, список «Вирішуються задачі» сьогодні складається з 6 проблем.
Теорія Янга-Міллса
Ця математична проблема була запропонована її авторами в 1954-му році. Наукова формулювання теорії має наступний вигляд: для будь-простий компактної калібрувальної групи квантова просторова теорія, створена Янгом і Милльсом, існує, і при цьому має нульовий дефект маси. Якщо говорити мовою, зрозумілою для звичайної людини, взаємодії між природними об'єктами (частками, тілами, хвилями тощо) діляться на 4 типи: електромагнітна, гравітаційна, слабка і сильна. Вже багато років фізики намагаються створити загальну теорію поля. Вона повинна стати інструментом для пояснення всіх цих взаємодій. Теорія Янга-Міллса — це математичний мову, з допомогою якого стало можливо описати 3 з 4-х основних сил природи. Вона не застосовується до гравітації. Тому не можна вважати, що Янга та Міллсу вдалося створити теорію поля. Крім того, нелінійність запропонованих рівнянь робить їх вкрай складними для вирішення. При малих константи зв'язку їх вдається наближено вирішити у вигляді ряду теорії збурень. Проте поки незрозуміло, як можна вирішити ці рівняння при сильного зв'язку.
Рівняння Нав'є-Стокса
З допомогою цих виразів описуються такі процеси, як повітряні потоки, протягом рідин і турбулентність. Для деяких окремих випадків аналітичні розв'язки рівняння Нав'є-Стокса вже були знайдені, однак зробити це для загального поки нікому не вдалося. У той же час, чисельне моделювання для конкретних значень швидкості, щільності, тиску, часу і так далі дозволяє домогтися прекрасних результатів. Залишається сподіватися, що у кого-небудь вийде застосувати рівняння Нав'є-Стокса в зворотному напрямку, тобто обчислити з їх допомогою настройки, або довести, що методу рішення немає.Завдання Берча — Свиннертон-Дайєра
До категорії «Невирішені завдання» відноситься і гіпотеза, запропонована англійськими науковцями з Кембриджського університету. Ще 2300 років тому давньогрецький учений Евклід дав повний опис розв'язків рівняння x2 + y2 = z2. Якщо для кожного з простих чисел порахувати кількість точок на кривій за його модулю, вийде нескінченний набір цілих чисел. Якщо конкретним чином «склеїти» 1 функцію комплексної змінної, тоді вийде дзета-функція Хассе-Вейля для кривої третього порядку, що позначається буквою L. Вона містить інформацію про поведінку по модулю всіх простих чисел відразу. Брайан Берч і Пітер Свиннертон-Дайер висунули гіпотезу щодо еліптичних кривих. Згідно їй, структура і кількість безлічі її раціональних рішень пов'язані з поведінкою L-функції в одиниці. Недоведена на даний момент гіпотеза Берча — Свиннертон-Дайєра залежить від опису алгебраїчних рівнянь 3 ступеня і є єдиним порівняно простим загальним способом розрахунку рангу еліптичних кривих. Щоб зрозуміти практичну важливість цього завдання, досить сказати, що в сучасній криптографії на еліптичних кривих заснований цілий клас асиметричних систем, і їх застосування засновані вітчизняні стандарти цифрового підпису.
Рівність класів p і np
Якщо решта «Завдання тисячоліття» відносяться до чисто математичним, то ця має відношення до актуальної теорії алгоритмів. Проблема, що стосується рівності класів р і np, відома також, як проблема Кука-Левіна, зрозумілою мовою може бути сформульована наступним чином. Припустимо, що позитивну відповідь на якесь питання можна перевірити досить швидко, тобто за полиномиальное час (ПВ). Тоді правильно твердження, що відповідь на нього можна досить швидко відшукати? Ще простіше ця задача звучить так: чи дійсно рішення завдання перевірити не важче, ніж його знайти? Якщо рівність класів р і np буде коли-небудь доведено, то всі проблеми підбору можна буде вирішувати за ПВ. На даний момент багато фахівців сумніваються в істинності цього твердження, хоча не можуть довести зворотне.
Гіпотеза Рімана
Аж до 1859 року не було виявлено будь-якої закономірності, яка описувала б, як розподіляються прості числа серед натуральних. Можливо, це було пов'язано з тим, що наука займалася іншими питаннями. Однак до середини 19 століття ситуація змінилася, і вони стали одними з найбільш актуальних, якими почала займатися математика. Гіпотеза Рімана, що з'явилася в цей період — це припущення про те, що розподіл простих чисел існує певна закономірність. Сьогодні багато сучасні вчені вважають, що якщо вона буде доведена, то доведеться переглянути багато фундаментальні принципи сучасної криптографії, що становлять основу значної частини механізмів електронної комерції. Відповідно до гіпотези Рімана, характер розподілу простих чисел, можливо, суттєво відрізняється від передбачуваного на даний момент. Справа в тому, що до цього поки не було виявлено будь-якої системи розподілу простих чисел. Наприклад, існує проблема «близнюків», різниця між якими дорівнює 2. Цими числами є 11 і 1329. Інші прості числа утворюють скупчення. Це 101103107 та ін. Вчені давно підозрювали, що подібні скупчення існують і серед дуже великих простих чисел. Якщо їх знайдуть, то стійкість сучасних криптоключів опиниться під питанням.