У 1900 році один з найвидатніших учених минулого століття Давид Гільберт склав перелік, що складається з 23 невирішених проблем математичної науки. Робота над ними справила колосальний вплив на розвиток цієї області людського знання. Через 100 років Математичний інститут Клея представив список з 7 проблем, відомих як завдання тисячоліття. За рішення кожної з них була запропонована премія в 1 мільйон доларів. Єдиною задачею, яка виявилася в числі обох переліків головоломок, вже не одне століття не дають спокою вченим, стала гіпотеза Рімана. Вона ще чекає свого рішення.

Коротка біографічна довідка

Георг Фрідріх Бернхард Ріман народився в 1826 році в Ганновері, в багатодітній сім'ї бідного пастора, і прожив всього 39 років. Йому вдалося опублікувати 10 праць. Проте вже за життя Рімана вважався наступником свого вчителя Йоганна Гаусса. У 25 років молодий вчений захистив дисертацію «Основи теорії функцій комплексної змінної». Пізніше він сформулював свою гіпотезу, що стала знаменитою.

Прості числа

Математика з'явилася, коли людина навчився рахувати. Тоді ж виникли перші уявлення про числа, які пізніше спробували класифікувати. Було помічено, що деякі з них володіють загальними властивостями. Зокрема, серед натуральних чисел, тобто таких, які використовувалися при підрахунку (нумерації) або позначенні кількості предметів, була виділена група таких, які ділилися тільки на одиницю і на самих себе. Їх назвали простими. Витончене доказ теореми нескінченності множини таких чисел дав Евклід у своїх «Засадах». На даний момент триває їх пошук. Зокрема, найбільшим з відомих є число 2 74207281 – 1.

Формула Ейлера

Поряд з поняттям про нескінченність множини простих чисел Евкліда визначив і другу теорему про єдино можливе розкладання на прості множники. Згідно з нею будь-яке ціле позитивне число є витвором тільки одного набору простих чисел. У 1737 році великий німецький математик Леонард Ейлер висловив першу теорему Евкліда про нескінченності у вигляді формули, представленої нижче. Вона отримала назву дзета-функції, де s — константа, а p приймає всі прості значення. З неї безпосередньо випливало та затвердження Евкліда про одиничність розкладання.

Дзета-функція Рімана

Формула Ейлера при найближчому розгляді є абсолютно дивовижною, так як задає відношення між простими і цілими числами. Адже в її лівій частині перемножуються нескінченно багато виразів, що залежать тільки від простих, а в правій розташована сума, пов'язана з усіма цілими додатними числами. Ріман пішов далі Ейлера. Для того, щоб знайти ключ до проблеми розподілу чисел, він запропонував визначити формулу для дійсної, так і для комплексної змінної. Саме вона згодом отримала назву дзета-функції Рімана. У 1859 році вчений опублікував статтю під заголовком «Про кількості простих чисел, які не перевищують заданої величини», де узагальнив всі свої ідеї.
Ріман запропонував використовувати ряд Ейлера, сходиться для будь-яких дійсних s>1. Якщо ту ж формулу застосовують для комплексних s, то ряд буде збігатися при будь-яких значеннях змінної з дійсною частиною більше 1. Ріман застосував процедуру аналітичного продовження, розширивши визначення дзета(s) на всі комплексні числа, але «викинувши» одиницю. Вона була виключена, тому що при s = 1 дзета-функція зростає в нескінченність.

Практичний сенс

Виникає закономірне питання: чим цікава і важлива дзета-функція, яка є ключовою в роботі Рімана про нульовою гіпотезою? Як відомо, на даний момент не виявлено простій закономірності, яка б описувала розподіл простих серед натуральних чисел. Риману вдалося виявити, що число pi(x) простих чисел, які не перевершували x, виражається за допомогою розподілу нетривіальних нулі дзета-функції. Більш того, гіпотеза Рімана є необхідною умовою для доведення тимчасових оцінок роботи деяких криптографічних алгоритмів.

Гіпотеза Рімана

Одна з перших формулювань цієї математичної проблеми, не доведеною і за донині, звучить так: нетривіальні 0 дзета-функції — комплексні числа з дійсною частиною дорівнює 1/2 . Іншими словами вони розташовані на прямій Re s = 1/2 . Існує також узагальнена гіпотеза Рімана, що представляє собою те ж твердження, але для узагальнень дзета-функцій, які прийнято називати L-функціями Діріхле (див. фото нижче). У формулі ?(n) — деякий числовий характер (по модулю k). Римановское затвердження вважається так званою нульовою гіпотезою, так як була перевірена на узгодженість з вже наявними вибірковими даними.

Як міркував Рімана

Зауваження німецького математика спочатку було сформульовано досить недбало. Справа в тому, що на той момент вчений збирався довести теорему про розподіл простих чисел, і в цьому контексті дана гіпотеза не мала особливого значення. Однак її роль при вирішенні багатьох інших питань величезна. Саме тому припущення Рімана на даний момент багатьма вченими визнається найважливішою з недоведених математичних проблем.
Як вже було сказано, для доведення теореми про розподіл повна гіпотеза Рімана не потрібна, і досить логічно обгрунтувати, що дійсна частина будь-якого нетривіального нулі дзета-функції знаходиться в проміжку від 0 до 1. З цієї властивості випливає, що сума за всіма 0-м дзета-функції, які фігурують у точною формулою, наведеною вище, — кінцева константа. Для великих значень x вона взагалі може загубитися. Єдиним членом формули, який залишиться незмінною навіть при дуже великих x є x сам. Інші складні доданки в порівнянні з ним асимптотично пропадають. Таким чином, зважена сума прагне до x. Цю обставину можна вважати підтвердженням істинності теореми про розподіл простих чисел. Таким чином, у нулі дзета-функції Рімана з'являється особлива роль. Вона полягає в тому, щоб довести, що такі значення не можуть внести істотного вкладу у формулу розкладання.

Послідовники Рімана

Трагічна смерть від туберкульозу не дозволила цьому вченому довести до логічного кінця свою програму. Однак від нього прийняли естафету Ш-Ж. де ла-Валле Пуссена і Жак Адамар. Незалежно один від одного ними була виведена теорема про розподіл простих чисел. Адамару і Пуссену вдалося довести, що всі нетривіальні 0 дзета-функції знаходяться в межах критичної смуги. Завдяки роботі цих вчених з'явився новий напрямок в математиці — аналітична теорія чисел. Пізніше іншими дослідниками було отримано кілька більш примітивних доказів теореми, над якою працював Рімана. Зокрема, Упав Ердеша Атле Сельберга відкрили навіть підтверджує її досить складну логічний ланцюжок, не вимагала використання комплексного аналізу. Проте до цього моменту за допомогою ідеї Рімана вже було доведено кілька важливих теорем, включаючи апроксимацію багатьох функцій теорії чисел. У зв'язку з цим нова робота Эрдеша і Атле Сельберга практично ні на що не вплинула. Одне з найбільш простих і красивих доказів проблеми було знайдено в 1980 році Дональдом Ньюманом. Воно було засноване на відомій теоремі Коші.

Чи загрожує римановская гіпотеза основ сучасної криптографії

Шифрування даних виникло разом з появою ієрогліфів, точніше, вони самі по собі можуть вважатися першими кодами. На даний момент існує цілий напрямок цифровий криптографії, яка займається розробкою алгоритмів шифрування. Прості і «полупростие» числа, тобто такі, які діляться тільки на 2 інших числа з цього ж класу, що лежать в основі системи з відкритим ключем, відомої як RSA. Вона має найширше застосування. Зокрема, використовується при генеруванні електронного підпису. Якщо говорити в термінах, доступних «чайникам», гіпотеза Рімана стверджує існування системи розподілу простих чисел. Таким чином, значно знижується стійкість криптографічних ключів, від яких залежить безпека онлайн-транзакцій у сфері електронної комерції.

Інші недозволені математичні проблеми

Закінчити статтю варто, присвятивши кілька слів інших завдань тисячоліття. До їх числа відносяться:

Рівність класів P і NP. Завдання формулюється так: якщо позитивну відповідь на той чи інший питання перевіряється за полиномиальное час, то вірно, що і сам відповідь на це питання можна знайти швидко?

Гіпотеза Ходжа. Простими словами її можна сформулювати так: для деяких типів проективних алгебраїчних многовидів (просторів) цикли Ходжа є комбінаціями об'єктів, які мають геометричну інтерпретацію, тобто алгебраїчних циклів.

Гіпотеза Пуанкаре. Це єдина з доведених на даний момент задач тисячоліття. Згідно з нею будь-3-мірний об'єкт, що володіє конкретними властивостями 3-вимірної сфери, зобов'язаний з'являтися сферою з точністю до деформації.

Твердження квантової теорії Янга — Міллса. Потрібно довести, що квантова теорія, висунута цими вченими для простору R 4 існує і має 0-й дефект маси для будь-простий калібрувальної компактної групи G.

Гіпотеза Берча — Свиннертон-Дайєра. Це ще одна проблема, що має відношення до криптографії. Вона стосується элиптических кривих.

Проблема існування і гладкості розв'язків рівнянь Нав'є — Стокса.

Тепер вам відома гіпотеза Рімана. Простими словами ми сформулювали і деякі з інших завдань тисячоліття. Те, що вони будуть вирішені або буде доведено, що вони не мають вирішення, — це питання часу. Причому навряд чи цього доведеться чекати надто довго, так як математика все більше використовує обчислювальні можливості комп'ютерів. Однак не все підвладне техніці, і для вирішення наукових проблем, насамперед, потрібно інтуїція і творчий підхід.