Індукція в математиці
Термін "індукція" (induction) має латинські корені і дослівно перекладається як «наведення». При уважному вивченні можна виділити структуру слова, а саме латинську приставку – in- (позначає спрямовану дію всередину або знаходження всередині) і -duction – введення. Варто зазначити, що існує два види – повна і неповна індукція. Повну форму характеризують висновки, зроблені на основі вивчення всіх предметів деякого класу.
І жартома, і всерйоз
Для простоти сприйняття приклади рішення методом математичної індукції викривають у форму задач-жартів. Такою є задача «Ввічлива чергу»:
Знайомі колу
Приклади рішення методом математичної індукції задач і рівнянь зустрічаються досить часто. Як ілюстрацію такого підходу, можна розглянути наступну задачу. Умова : на площині розміщено h кіл. Потрібно довести, що при будь-якому розташуванні фігур утворена ними карта може бути правильно розфарбована двома фарбами. Рішення : при h=1 істинність твердження очевидна, тому доказ буде будуватися для кількості кіл h+1. Приймемо допущення, що твердження достовірно для будь-якої карти, а на площині задано h+1 кіл. Видаливши із загальної кількості одну з кіл, можна отримати правильно розфарбовану двома фарбами (чорної і білої) карту.При видалений кола змінюється колір кожної області на протилежний (у зазначеному випадку всередині кола). Виходить карта, правильно розфарбована двома кольорами, що і було потрібно довести.
Приклади з натуральними числами
Нижче наочно показано застосування методу математичної індукції. Приклади рішення: Довести, що при будь-якому h правильним буде рівність: 1 2 +2 2 +3 2 ++h 2 =h(h+1)(2h+1)/6. Рішення: 1. Нехай h=1 значить: R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1 З цього випливає, що при h=1 твердження правильно. 2. При допущенні, що h=d, виходить рівняння: R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1 3. При допущенні, що h=d+1 виходить: R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6 R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 ++d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d(d+1)(2d+1)+6(d+1) 2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6= (d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6. Таким чином, справедливість рівності при h=d+1 доведена, тому твердження вірно для будь-якого натурального числа, що і показано в прикладі розв'язання математичної індукції. Завдання Умова : потрібен доказ того, що при будь-якому значенні вираз h 7 h -1 ділимо на 6 без залишку. Рішення : 1. Припустимо, h=1 у цьому випадку: R 1 =7 1 -1=6 (тобто ділиться на 6 без залишку) Отже, при h=1 твердження є справедливим; 2. Нехай h=d і 7 d -1 ділиться на 6 без залишку; 3. Доказом справедливості твердження для h=d+1 є формула: R d +1 =7 d +1 -1=7•7 d -7+6=7(7 d -1)+6 В даному випадку перший доданок ділиться на 6 з допущення першого пункту, а другий доданок дорівнює 6. Твердження про те, що 7 h -1 ділимо на 6 без залишку при будь-якому натуральному h – справедливо.
Помилковість суджень
Часто в доказах використовують неправильні міркування, в силу неточності використовуваних логічних побудов. В основному це відбувається при порушенні структури та логіки докази. Прикладом неправильного міркування може служити така ілюстрація.Завдання Умова : потрібен доказ того, що будь-яка купа каміння – не є купкою. Рішення : 1. Припустимо, h=1 у цьому разі в купці 1 камінь і твердження вірно (базис); 2. Нехай при h=d вірно, що купа каміння – не є купкою (припущення); 3. Нехай h=d+1 з чого випливає, що при додаванні ще одного каменю безліч не буде купкою. Напрошується висновок, що припущення справедливе при всіх натуральних h. Помилка полягає в тому, що немає визначення, яке кількість каменів утворює купку. Така ситуація називається поспішним узагальненням методу математичної індукції. Приклад це ясно показує.
Індукція і закони логіки
Історично склалося так, що приклади індукції і дедукції завжди "крокують рука об руку". Такі наукові дисципліни, як логіка, філософія описують їх у вигляді протилежностей. З точки зору закону логіки в індуктивних визначень проглядається опора на факти, а правдивість посилок не визначає правильність отриманого затвердження. Найчастіше виходять міркування з певною часткою ймовірності і правдоподібності, які, природно, повинні бути перевірені і підтверджені додатковими дослідженнями. Прикладом індукції в логіці може бути твердження: В Естонії – засуха, в Латвії – засуха, в Литві – посуха. Естонія, Латвія і Литва – прибалтійські держави. У всіх прибалтійських державах посуха. З прикладу можна укласти, що нову інформацію або істину не можна отримати за допомогою методу індукції. Все, на що можна розраховувати – це деяка можлива правдивість висновків. Причому, істинність посилок не гарантує таких же висновків. Однак даний факт не означає, що індукція животіє на задвірках дедукції: безліч положень і наукових законів обґрунтовуються за допомогою методу індукції. Прикладом може служити та ж математика, біологія та інші науки. Пов'язано це здебільшого з методом повної індукції, але в деяких випадках застосовується і часткова. Поважний вік індукції дозволив їй проникнути практично в усі сфери діяльності людини – це і наука, і економіка, і життєві умовиводи.
Індукція в науковому середовищі
Метод індукції вимагає делікатного відношення, оскільки занадто багато чого залежить від кількості вивчених частковостей цілого: чим більше число вивчено, тим достовірніше результат. Виходячи з цієї особливості, наукові закони, отримані методом індукції, досить довго перевіряються на рівні імовірнісних припущень для виокремлення та вивчення всіх можливих структурних елементів, зв'язків і впливів. В науці індукційне висновок ґрунтується на суттєвих ознаках, з винятком випадкових положень. Цей факт важливий у зв'язку зі специфікою наукового пізнання. Це добре видно на прикладах індукції в науці. Розрізняють два види індукції в науковому світі (у зв'язку зі способом вивчення):
Індукція і дедукція з позиції філософії
Якщо поглянути на історичну ретроспективу, то термін "індукція" вперше був згаданий Сократом. Аристотель описував приклади індукції в філософії в більш наближеному термінологічному словнику, але питання неповної індукції залишається відкритим. Після гонінь на аристотелівських силогізм індуктивний метод став визнаватися плідним і єдино можливим в природознавстві. Батьком індукції як самостійного особливого методу вважають Бекона, однак йому не вдалося відокремити, як того вимагали сучасники, індукцію від дедуктивного методу. Подальшою розробкою індукції займався Дж. Мілль, який розглядав індукційну теорію з позиції чотирьох основних методів: згоди, відмінності, залишків та відповідних змін. Не дивно, що на сьогоднішній день перераховані методи при їх детальному розгляді є дедуктивними. Усвідомлення неспроможності теорій Бекона і Мілля привело вчених до дослідження ймовірнісної основи індукції. Однак і тут не обійшлося без крайнощів: були зроблені спроби звести індукцію до теорії ймовірності з усіма витікаючими наслідками. Вотум довіри індукція отримує при практичному застосуванні у певних предметних областях і завдяки метричної точності індуктивної основи. Прикладом індукції і дедукції у філософії можна вважати Закон всесвітнього тяжіння. На дату відкриття закону Ньютону вдалося перевірити його з точністю до 4 відсотки. А при перевірці через понад двісті років правильність була підтверджена з точністю до 00001 відсотка, хоча перевірка велася все тими ж індуктивними узагальненнями. Сучасна філософія більше уваги приділяє дедукції, що продиктовано логічним бажанням вивести з вже відомого нові знання (або істини), не звертаючись до досвіду, інтуїції, а оперуючи «чистими» міркуваннями. При зверненні до істинних посилок в дедуктивному методі у всіх випадках на виході отримується істинне твердження. Ця дуже важлива характеристика не повинна затьмарювати цінність індуктивного методу. Оскільки індукція, спираючись на досягнення досвіду, стає і засобом його обробки (включаючи узагальнення і систематизацію).
Застосування індукції в економіці
Індукція і дедукція давно використовуються як методи дослідження економіки та прогнозування її розвитку. Спектр використання методу індукції, досить широкий: вивчення виконання прогнозних показників (прибуток, амортизація тощо) та загальна оцінка стану підприємства; формування ефективної політики просування підприємства на основі фактів і їх взаємозв'язків. Той же метод індукції застосований в «карти Шухарта», де при припущенні про поділ процесів на керовані і некеровані стверджується, що рамки керованого процесу малорухливі. Слід зазначити, що наукові закони обґрунтовуються та підтверджуються за допомогою методу індукції, а оскільки економіка є наукою, часто користується математичним аналізом, теорією ризиків та статистичними даними, то зовсім не дивно присутність індукції в списку основних методів. Прикладом індукції та дедукції в економіці може служити наступна ситуація. Збільшення ціни на продукти харчування (споживчого кошика) і товари першої необхідності підштовхують споживача до думки про виникає дорожнечі в державі (індукція). Разом з тим, з факту дорожнечі за допомогою математичних методів можна вивести показники зростання цін на окремі товари або категорії товарів (дедукція). Найчастіше звертається до методу індукції керуючий персонал, керівники, економісти. Для того щоб можна було з достатньою правдивістю прогнозувати розвиток підприємства, поведінку ринку, наслідки конкуренції, необхідний індукційно-дедуктивний підхід до аналізу та обробки інформації. Наочний приклад індукції в економіці, що відноситься до помилкових суджень:конкуруюча компанія розширила лінійку продукції;
більше нічого не змінилося;
Дедукція і індукція в психології
Оскільки існує метод, то, за логікою речей, має місце і належним чином організоване мислення (для використання методу). Психологія як наука, що вивчає психічні процеси, їх формування, розвитку, взаємозв'язку, взаємодії, приділяє увагу «дедуктивним» мислення, як однієї з форм прояву дедукції та індукції. На жаль, на сторінках з психології в мережі Інтернет практично відсутня обґрунтування цілісності дедуктивно-індуктивного методу. Хоча професійні психологи частіше стикаються з проявами індукції, а точніше – помилковими висновками. Прикладом індукції в психології, як ілюстрації помилкових суджень, може служити вислів: моя мати – обманює, отже, всі жінки – ошуканки. Ще більше можна почерпнути «помилкових» прикладів індукції з життя: