У запропонованій вашій увазі статті ми пропонуємо приклади математичних моделей. Крім цього, ми звернемо увагу на етапи створення моделей і розберемо деякі завдання, пов'язані з математичним моделюванням. Ще один наш питання – це математичні моделі в економіці, приклади, визначення яких ми розглянемо трохи пізніше. Розпочати нашу розмову ми пропонуємо із самого поняття «модель», коротко розглянемо їх класифікацію і перейдемо до основних наших питань.

Поняття «модель»

Ми часто чуємо слово «модель». Що ж це таке? Цей термін має безліч визначень, от тільки три з них:

специфічний об'єкт, який створюється для отримання і зберігання інформації, що відображає деякі властивості або характеристики і так далі оригіналу даного об'єкта (цей специфічний об'єкт може виражатися в різній формі: уявний, опис за допомогою знаків і так далі);

ще під моделлю розуміється відображення якої-небудь конкретної ситуації, життєвої або управлінської;

моделлю може бути зменшена копія якого-небудь об'єкта (вони створюються для більш детального вивчення та аналізу, так як модель відображає структуру і взаємозв'язки).

Виходячи з усього, що було сказано раніше, можна зробити невеликий висновок: модель дозволяє детально вивчити систему або об'єкт.


Всі моделі можна класифікувати по ряду ознак:

по галузі використання (навчальні, дослідні, науково-технічні, ігрові, імітаційні);

по динаміці (статичні і динамічні);

з галузі знань (фізичні, хімічні, географічні, історичні, соціологічні, економічні, математичні);

за способом подання (матеріальні та інформаційні).

Інформаційні моделі, в свою чергу, поділяються на знакові і вербальні. А знакові - комп'ютерні і некомп'ютерні. Тепер перейдемо до докладного розгляду прикладів математичної моделі.

Математична модель

Як не важко здогадатися, математична модель відображає якісь риси об'єкта або явища за допомогою спеціальних математичних символів. Математика і потрібна для того, щоб моделювати закономірності навколишнього світу на своєму специфічному мовою. Метод математичного моделювання зародився досить давно, тисячі років тому, разом з появою даної науки. Однак поштовх для розвитку даного способу моделювання дало поява ЕОМ (електронно-обчислювальних машин). Тепер перейдемо до класифікації. Її так само можна провести за деякими ознаками. Вони представлені в таблиці нижче.

Класифікація по галузі науки



Застосування математичних моделей фізики, соціології, хімії і так далі



З математичного апарату, який використовується в процесі моделювання



Моделі на основі диференціальних рівнянь, алгебраїчних перетворень дискретних тощо



По цілям моделювання



Згідно з цим принципом виділяють описові, оптимізаційні, багатокритеріальні ігрові та імітаційні моделі

Ми пропонуємо зупинитися і детальніше розглянути останню класифікацію, так як вона відображає загальні закономірності моделювання і цілі створюваних моделей.

Дескриптивние моделі

У даній главі ми пропонуємо зупинитися докладніше на дескриптивних математичних моделях. Для того щоб було все гранично зрозуміло, буде приведений приклад. Почнемо з того, що цей вид можна назвати описовим. Це пов'язано з тим, що ми просто робимо розрахунки і прогнози, але ніяк не можемо вплинути на результат події. Яскравим прикладом описової математичної моделі є обчислення траєкторії польоту, швидкості, відстані від Землі комети, яка вторглася в простори нашої Сонячної системи. Ця модель є описовою, так як всі отримані результати можуть тільки попередити нас про яку-небудь небезпеку. Вплинути на результат події, на жаль, ми не можемо. Однак, ґрунтуючись на отриманих розрахунків, можна зробити які-небудь заходи для збереження життя на Землі.

Оптимізаційні моделі

Зараз ми трохи поговоримо про економіко-математичних моделях, прикладами яких можуть служити різні сформовані ситуації. В даному випадку мова йде про моделі, які допомагають знайти вірний відповідь певних умовах. Вони обов'язково мають якісь параметри. Щоб стало гранично зрозуміло, розглянемо приклад з аграрної частини. У нас є зерносховище, але зерно дуже швидко псується. У цьому випадку нам необхідно правильно підібрати температурний режим і оптимізувати процес зберігання. Таким чином, ми можемо дати визначення поняттю «оптимізаційна модель». У математичному сенсі це система рівнянь (як лінійних, так і немає), рішення якої допомагає знайти оптимальне рішення в конкретній економічній ситуації. Приклад математичної моделі оптимізаційної) ми розглянули, але хочеться ще додати: даний вид належить до класу екстремальних задач, вони допомагають описати функціонування економічної системи. Відзначимо ще один нюанс: моделі можуть носити різний характер (див. таблицю нижче).

детермінований



В даному випадку результат залежить від вхідних даних



стохастичний



Опис випадкових процесів. В даному випадку результат залишається невизначеним

Багатокритеріальні моделі

Зараз пропонуємо вам поговорити трохи про математичної моделі багатокритеріальної оптимізації. До цього ми навели приклад математичної моделі оптимізації процесу за якимось одним критерієм, але що робити, якщо їх багато?
Яскравим прикладом багатокритеріальної задачі служить організація правильного, корисного і одночасно економного харчування великих груп людей. З такими завданнями часто зустрічаються в армії, шкільних їдалень, літніх таборах, лікарнях і так далі. Які критерії нам дано в даній задачі?

Харчування має бути корисним.

Витрати на їжу повинні бути мінімальними.

Як бачите, ці цілі зовсім не збігаються. Отже, при вирішенні задачі необхідно шукати оптимальне рішення, баланс між двома критеріями.

Ігрові моделі

Говорячи про ігрових моделях, необхідно розуміти поняття «теорія ігор». Якщо говорити просто, то ці моделі відображають математичні моделі цих конфліктів. Тільки варто розуміти, що, на відміну від реального конфлікту, ігрова математична модель має свої певні правила. Зараз буде наведено мінімум інформації з теорії ігор, яка допоможе вам зрозуміти, що таке ігрова модель. І так, в моделі обов'язково присутні сторони (дві або більше), яких прийнято називати гравцями. Всі моделі мають певні характеристики.

Суб'єкти



Кількість гравців



Стратегія



Варіанти можливих дій



Платіж



Результат конфлікту (виграш чи програш).

Ігрова модель може бути парною або множинною. Якщо у нас є два суб'єкти, то конфлікт парний, якщо більше – множинний. Також можна виділити антагоністичну гру, її ще називають грою з нульовою сумою. Це модель, в якій виграш одного учасника дорівнює програшу іншого.

Імітаційні моделі

В даному розділі ми звернемо увагу на імітаційні математичні моделі. Прикладами завдань можуть служити:

модель динаміки чисельності мікроорганізмів;

модель руху молекул, і так далі.

В даному випадку ми говоримо про моделі, які максимально наближені до реальних процесів. За великим рахунком, вони імітують будь-який прояв у природі. У першому випадку, наприклад, ми можемо моделювати динаміку чисельності мурах в одній колонії. При цьому можна спостерігати за долею кожної окремої особини. В даному випадку математичне опис використовують рідко, частіше присутні письмові умови:

через п'ять днів жіноча особина відкладає яйця;

через двадцять днів мураха гине, і так далі.

Таким чином, імітаційні моделі використовуються для опису великої системи. Математичне висновок – це обробка отриманих статистичних даних.

Вимоги

Дуже важливо знати, що до даного виду моделі пред'являють деякі вимоги, серед яких наведені в таблиці нижче.

Універсальність



Ця властивість дозволяє використовувати одну й ту ж модель при описі однотипних груп об'єктів. Важливо відзначити, що універсальні математичні моделі абсолютно не залежать від фізичної природи досліджуваного об'єкта



Адекватність



Тут важливо розуміти, що дана властивість дозволяє максимально правильно відтворювати реальні процеси. У завданнях експлуатації дуже важливо дане властивість математичного моделювання. Прикладом моделі може служити процес оптимізації використання газової системи. В даному випадку зіставляються розрахункові та фактичні показники, в результаті перевіряється правильність складеної моделі



Точність



Дана вимога передбачає збіг значень, які ми отримуємо при розрахунку математичної моделі та вхідних параметрів нашого реального об'єкта



Економічність



Вимога економічності, що пред'являється до будь-якої математичної моделі, характеризується витратами на реалізацію. Якщо робота з моделлю здійснюється ручним способом, то необхідно розрахувати, скільки часу піде на вирішення однієї задачі за допомогою даної математичної моделі. Якщо мова йде про автоматизованому проектуванні, то розраховуються показники витрат часу та пам'яті комп'ютера

Етапи моделювання

Всього в математичному моделюванні прийнято виділяти чотири етапи.

Формулювання законів, що пов'язують частини моделі.

Дослідження математичних задач.

З'ясування збігів практичних і теоретичних результатів.

Аналіз та модернізація моделі.

Економіко-математична модель

У цьому розділі коротко висвітлимо питання економіко-математичних моделей. Прикладами завдань можуть служити:

формування виробничої програми випуску м'ясної продукції, що забезпечує максимальний прибуток виробництва;

максимізація прибутку організації шляхом розрахунку оптимального обсягу випуску столів і стільців на меблевій фабриці, і так далі.

Економіко-математична модель відображає економічну абстракцію, яка виражена за допомогою математичних термінів і символів.

Комп'ютерна математична модель

Прикладами комп'ютерної математичної моделі є:

завдання гідравліки за допомогою блок-схем, діаграм, таблиць, і так далі;

завдання на механіку твердого тіла, і так далі.

Комп'ютерна модель – це образ об'єкта або системи, представлений у вигляді:

таблиці;

блок-схеми;

діаграми;

графіка, і так далі.

При цьому дана модель відображає структуру і взаємозв'язки системи.

Побудова економіко-математичної моделі

Ми вже раніше сказали про те, що таке економіко-математична модель. Приклад розв'язання задачі буде розглянуто прямо зараз. Нам необхідно провести аналіз виробничої програми для виявлення резерву підвищення прибутку при зсуві в асортименті. Повністю розглядати задачу ми не будемо, а тільки побудуємо економіко-математичну модель. Критерій нашої задачі – максимізація прибутку. Тоді функція має вигляд: Л=р1*х1+р2*х2, прагне до максимуму. У даній моделі р – це прибуток за одиницю, х – це кількість вироблених одиниць. Далі, ґрунтуючись на побудованій моделі, необхідно зробити розрахунки і підвести підсумок.

Приклад побудови простої математичної моделі

Завдання. Рибалка повернувся з наступним уловом:

8 риб – мешканці північних морів;

20% улову – мешканці південних морів;

з місцевої річки не виявилося жодної риби.

Скільки риб він купив в магазині? Отже, приклад побудови математичної моделі даної задачі виглядає наступним чином. Позначаємо загальна кількість риб за х. Слідуючи умові, 02 х – це кількість риб, що живуть у південних широтах. Тепер об'єднуємо всю наявну інформацію і отримуємо математичну модель задачі: х=02 х+8. Вирішуємо рівняння, отримуємо відповідь на головне питання: 10 риб він купив у магазині.