Формули площі чотирикутної піраміди довільного типу і правильною. Приклад геометричної задачі

Чотирикутна піраміда, мабуть, найвідоміша фігура з даного класу об'ємних геометричних об'єктів. Її властивості та характеристики вивчають у старших класах шкіл. Дана стаття покликана відповісти на питання про те, за якою формулою площа чотирикутної піраміди розраховується.

Чотирикутна піраміда

Щоб не ходити далеко за прикладами цієї фігури, відразу скажемо, що велика піраміда Хеопса є найвідомішою правильної чотирикутної фігурою. З чисто геометричної точки зору чотирикутна піраміда являє собою об'єкт, утворений п'ятьма гранями: чотирма трикутниками і одним плоским чотирикутником. Побудувати у просторі цю фігуру не представляє ніякої праці. Для цього береться плоский чотирикутник (квадрат, прямокутник, ромб, паралелограм і так далі), а потім всі його вершини з'єднуються з єдиною точкою в просторі, яка стане вершиною піраміди. В результаті таких простих геометричних операцій ми отримуємо чотирикутну піраміду.


Видно, що фігура складається з п'яти граней, п'яти вершин, одна з яких є головною, і восьми ребер (4 відносяться до основи, 4 належать трикутниках). Не всі чотирикутні піраміди мають однакову форму. Існує кілька типів цих фігур. Наприклад, піраміди бувають косі і прямі. У першому випадку перпендикуляр, який опущений з вершини до четырехугольному основи, останнім перетинає в точці, не збігається з його центром. У разі ж прямий фігури точка перетину перпендикуляра до площини підстави і є його центром. Нагадаємо, що центр опуклого чотирикутника лежить в точці перетину двох діагоналей. Крім похилих і прямих фігур, чотирикутні піраміди можуть бути правильними і неправильними. Будь-яка піраміда з квадратною основою, яка є прямою, буде правильною. Правильні піраміди відрізняються один від одного розмірами (довжиною сторони квадрата a, довжиною бічних ребер b і висотою h). При виконанні обчислень різних геометричних характеристик з правильними пірамідами, з причини їх високої симетрії, зручно працювати. Крім того, багато які властивості цих фігур описуються спеціальними виразами, включаючи формулу площі правильної чотирикутної піраміди.

Площа піраміди з чотирикутним підставою довільного типу

Щоб визначити площу будь-якого багатогранника, необхідно скласти площі всіх його сторін. Вивчається фігура має п'ять сторін, чотири з яких є трикутними. Їх площі знайти нескладно, якщо знати висоту кожного трикутника h bi (вона є апофемой піраміди) і довжину кожної сторони чотирикутника a i . Тоді для чотирикутної піраміди формула площі бічної поверхні прийме вигляд: S b = 1/2*? i=1 4 (a i *h bi ) До значення S b слід додати площу чотирикутника S 4 , щоб отримати площу повної поверхні піраміди. Величину S 4 нескладно визначити, якщо відомі сторони a i і кути чотирикутника.

Площа правильної фігури

Як було сказано вище, для правильної чотирикутної піраміди формула площі поверхні має конкретний вид. Отримаємо її. Почнемо з розгляду площі основи. Оскільки воно являє собою звичайний квадрат, то його площа обчислюється за допомогою простого виразу: S 4 = a 2 Тепер звернемо увагу на бічну поверхню. Представлена вона чотирма однаковими трикутниками, які до того ж є равнобедренными, або рівносторонніми. Всі апофемы трикутників рівні, позначимо їх довжину h b . Площа поверхні бічної буде дорівнює:
S b = 2*h b *a Тоді формула площі поверхні правильної чотирикутної піраміди прийме наступний вигляд: S = S 4 + S b = a 2 + 2*h b *a

Рішення задачі з геометрії

Відомо, що ребро правильної піраміди, яка має квадрат на підставі, дорівнює довжині діагоналі цього підстави. Знаючи, що сторона квадрата дорівнює 8 см, необхідно визначити площу всіх граней даної фігури. Оскільки діагональ квадрата d дорівнює довжині ребра бічного b, то отримуємо: b = d = a*?2 Тепер слід побачити, що у досліджуваної піраміді ребро b, апофема h b і половина сторони квадрата утворюють трикутник з кутом 90 o . Цей факт дозволяє скористатися теоремою Піфагора для визначення h b : h b = ?(b 2 - a 2 /4) = ?(2*a 2 - a 2 /4) = a*?7/2 Тепер можна застосувати формулу площі чотирикутної піраміди: S = a 2 + 2*h b *a = a 2 + 2*a*?7/2*a = a 2 *(1+?7) Залишається підставити значення сторони квадрата з умови і записати відповідь: S = 23333 см 2 .