Обчислення об'ємів просторових фігур є однією з важливих задач стереометрії. У цій статті розглянемо питання визначення обсягу такого полиэдра, як піраміда, а також наведемо формулу об'єму піраміди правильної шестикутної.

Шестикутна піраміда

Для початку розглянемо, що собою представляє постать, про яку піде мова в статті. Нехай у нас є довільний шестикутник, сторони якого не обов'язково дорівнюють один одному. Також припустимо, що ми обрали в просторі точку, що не знаходиться в площині шестикутника. Поєднавши всі кути останнього з вибраною точкою, ми отримаємо піраміду. Дві різні піраміди, що мають шестикутні підстава, показані на малюнку нижче. Видно, що крім шестикутника фігура складається з шести трикутників, точка з'єднання яких називається вершиною. Відмінність між зображеними пірамідами полягає в тому, що висота h правою з них не перетинає шестикутні підставу в його геометричному центрі, а висота лівої фігури потрапляє точно в цей центр. Завдяки цьому критерію ліва піраміда отримала назву прямий, а права - похилої.


Оскільки підстава лівої фігури на малюнку утворено шестикутником з рівними сторонами і кутами, то вона називається правильною. Далі в статті мова піде тільки про цій піраміді.

Обсяг шестикутної піраміди

Для обчислення обсягу довільної піраміди справедлива наступна формула: V = 1/3 * h * S o Тут h - це довжина висоти фігури, S o - площа її підстави. Скористаємося цим виразом для визначення об'єму піраміди правильної шестикутної. Оскільки у підставі розглянутої фігури лежить рівнораменний шестикутник, то для обчислення його площі можна скористатися наступним загальним виразом для n-кутника: S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n) Тут n - ціле число, рівне кількості сторін (кутів) багатокутника, a - довжина його сторони, функцію котангенса вираховують, використовуючи відповідні таблиці. Застосовуючи вираз для n = 6 отримаємо: S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = ?3/2 * a 2 Тепер залишається підставити вираз в загальну формулу для об'єму V: V 6 = S 6 * h = ?3/2 * h * a 2 Таким чином, для обчислення обсягу даної піраміди необхідно знати дві її лінійних параметри: довжину сторони основи і висоту фігури.

Приклад розв'язання задачі

Покажемо, як можна використовувати отримане вираження для V 6 для вирішення наступного завдання. Відомо, що правильної шестикутної піраміди обсяг дорівнює 100 см 3 . Необхідно визначити сторону основи і висоту фігури, якщо відомо, що вони пов'язані один з одним наступним рівністю: a = 2*h Оскільки в формулу для об'єму входять тільки a і h, то можна підставити в неї будь-який з цих параметрів, виражений через інший. Наприклад, підставимо a, отримуємо: V 6 = ?3/2*h*(2*h) 2 => h = ?(V 6 /(2*?3)) Для знаходження значення висоти фігури необхідно взяти корінь третього ступеня з об'єму, що відповідає розмірності довжини. Підставляємо значення об'єму V 6 піраміди з умови задачі, отримуємо висоту: h = ?(100/(2*?3)) ? 30676 см Оскільки сторона підстави у відповідності з умовою задачі в два рази більше знайденої величини, то отримуємо значення для неї: a = 2*h = 2*30676 = 61352 см Обсяг шестикутної піраміди можна знайти не тільки через висоту фігури та значення сторони її основи. Достатньо знати два різних лінійних параметра піраміди для його обчислення, наприклад апотему і довжину бічного ребра.