Кожен школяр старших класів знає про таких просторових фігурах, як куля, циліндр, конус, піраміда і призма. З цієї статті ви дізнаєтеся про те, що собою являє трикутна призма, і якими властивостями вона характеризується.

Яку фігуру розглянемо в статті?

Трикутна призма є найпростішим представником класу призм, який має меншу кількість сторін, вершин і ребер, ніж яка-небудь інша подібна просторова фігура. Ця призма утворена двома трикутниками, які можуть мати довільну форму, але які обов'язково повинні бути рівні один одному і перебувати в рівнобіжних площинах в просторі, і трьома параллелограммами, не рівними між собою в загальному випадку. Для наочності нижче наведена описана фігура.


Як можна отримати трикутну призму? Дуже просто: слід взяти трикутник і перенести його на деякий вектор в просторі. Потім однакові вершини двох трикутників з'єднати відрізками. Так ми отримаємо каркас фігури. Якщо тепер уявити, що цей каркас обмежує суцільні боку, то ми отримаємо зображену об'ємну фігуру.

З яких елементів складається вивчається призма?

Трикутна призма є многогранником, тобто вона утворена декількома пересічними гранями або сторонами. Вище було зазначено, що таких сторін у неї п'ять (дві трикутні і три чотирикутні). Трикутні сторони називаються підставами, паралелограми ж є боковими гранями. Як і всякий багатогранник, що вивчається призма має вершини. На відміну від піраміди, вершини будь призми рівноправні. У трикутної фігури їх шість. Всі вони належать обом підстав. В кожній вершині перетинаються два ребра підстави і одне бічне ребро.


Якщо скласти кількість вершин з числом сторін фігури, а потім відняти з отриманого значення число 2 то ми одержимо відповідь на питання, скільки ребер має розглянута призма. Їх дев'ять: шість обмежують підстави, а решту три поділяють паралелограми між собою.

Види фігури

Наведеним у попередніх пунктах досить докладного опису трикутної призми відповідають кілька видів фігури. Розглянемо їх класифікацію. Вивчається призма може бути похилій і прямий. Відмінність між ними полягає в типі бічних граней. У прямій призмі вони є прямокутниками, а в похилій являють собою паралелограми загального виду. Нижче показані дві призми з трикутними підставами, одна з яких є прямий, а друга - похилої. На відміну від похилої, у прямої призми всі двогранні кути між засновками і бічними сторонами дорівнюють 90°. Що означає останній факт? Що висота трикутної призми, тобто відстань між її підставами, у прямій фігури дорівнює довжині кожного бічного ребра. У похилій фігури висота завжди менше довжини будь-якого її бічного ребра. Призма з трикутним підставою може бути неправильною і правильною. Якщо підстави її трикутниками з рівними сторонами, та сама фігура є прямою, тоді вона називається правильною. Правильна призма володіє досить високою симетрією, включаючи площині відображення і осі повороту. Для правильної призми нижче будуть наведені формули обчислення її об'єму та площі поверхні граней. Отже, по порядку.

Площа трикутної призми

Перш ніж переходити до отримання відповідної формули, наведемо розгортку правильної призми. Ясно видно, що площа фігури можна обчислити, якщо скласти три площі однакових прямокутників та дві площі рівних трикутників з однаковими сторонами. Позначимо висоту призми буквою h, а бік її трикутного підстави - літерою a. Тоді для площі трикутника S 3 маємо: S 3 = ?3/4 * a 2 Це вираз виходить, якщо помножити висоту трикутника на його основу, а потім результат поділити на 2. Для площі прямокутника S 4 отримуємо: S 4 = a * h Складаючи площі усіх боків, отримуємо повну площу поверхні фігури: S = 2 * S 3 + 3 * S 4 = ?3/2 * a 2 + 3 * a * h Тут перший доданок відображає площа підстав, а друге - це площа бічної поверхні трикутної призми. Нагадаємо, що ця формула справедлива лише для правильної фігури. У разі неправильного похилій призми розрахунок площі слід проводити поетапно: спочатку визначити площі підстав, а потім - бічної поверхні. Остання буде дорівнює добутку бічного ребра на периметр перпендикулярного бічним граням зрізу.

Обсяг фігури

Об'єм трикутної призми можна обчислити за загальною для всіх фігур цього класу формулою. Вона має вигляд: V = S o * h У разі правильної трикутної призми ця формула прийме наступний конкретний вид: V = ?3/4 * a 2 * h Якщо ж призма є неправильною, але прямий, тоді замість площі підстави слід підставити відповідну площу для трикутника. Якщо ж призма є похилій, то, крім визначення площі підстави, варто обчислити також її висоту. Як правило, для цього застосовують тригонометричні формули, якщо відомі двогранні кути між бічними сторонами і підставами.