Часто в задачах шкільного курсу геометрії доводиться вирішувати завдання, які вимагають використання комплексного підходу. Однією з таких завдань є обчислення об'єму піраміди за координатами вершин. Як вирішити цю геометричну задачу - відповість наведена нижче стаття.

Що являє собою піраміда?

Кажучи простими словами, під цією фігурою розуміють просторовий об'єкт, обмежений трикутними сторонами і однієї багатокутної гранню, яка називається основою. Многоугольное основа може бути довільним n-кутником на площині, наприклад, правильним трикутником, паралелограмом і так далі. Будь-яка піраміда має n + 1 грань, 2 * n ребер і n + 1 вершину. Вершини фігури не є рівноправними. Так, існує єдина вершина, яка не належить основи. Вона називається головною. Відстань від неї до площині підстави - це висота фігури.


Піраміди можуть бути похилими, якщо висота перетинає основу не в його центрі, або прямими, коли висота з підставою перетинається в геометричному центрі останнього. Також фігури можуть бути неправильними і правильними. Піраміди правильні складаються з рівнокутного і рівностороннього підстави і декількох рівнобедрених трикутників, які одне одному рівні.

Як розраховується об'єм піраміди?

Перш ніж наводити методику обчислення за координатами вершин об'єму піраміди, слід навести формулу, за допомогою якої можна розрахувати цю величину для фігури будь-якого типу з розглянутого класу. Отже, об'єм піраміди розраховується так: V = 1 /3 * S o * h. Тут S o - це площа підстави, h - відстань від головної вершини до підстави, тобто висота піраміди. Таким чином, будь-яка геометрична задача на знаходження об'єму піраміди зводиться до розрахунку величин S o і h.

Як знайти об'єм піраміди за координатами вершин: методика

Піраміда може бути представлена довільним n-вугільним підставою. Щоб обчислити його площу, слід уважно вивчити умову задачі, в якому повинно бути зазначено, про якому типі n-кутника йде мова. Якщо це трикутник або паралелограм, то розрахунок його площі по відомим координатам дуже простий: необхідно лише знайти векторний добуток відповідних векторів сторін.


Обчислити висоту піраміди також не представляє особливої праці. Для цього слід з будь-яких трьох точок підстави отримати рівняння площини в загальному вигляді, а потім потрібно скористатися формулою відстані між площиною і точкою (вершиною піраміди). Формула має вигляд: d = |(A * x 1 + B * y 1 + C * z 1 + D)| /?(A 2 + B 2 + C 2 ). Тут (x 1 ; y 1 ; z 1 ) - координати точки. Рівняння площини має вигляд: A * x + B * y + C * z + D = 0.

Завдання з трикутною пірамідою

Вирішимо задачу на прикладі найпростішої піраміди - трикутною. Умова проста: нижче дано координати вершин піраміди, обсяг знайти потрібно для фігури, яка на цих координатах побудовано:

A(1; 0; 3);

B(0; 2; -1);

C(3; 3; 1);

D(4; 3; 4).

Покладемо, що підстава піраміди є трикутник ABC. Знайдемо довжини векторів AB і AC: AB = (-1; 2; -4); AC = (2; 3; -2). Векторний добуток AB і AC дасть нам, з одного боку, подвійну площа трикутника, тобто 2 * S o , а з іншого боку, ми отримаємо координати нормального до площині вектора n, маємо:
n =[ABВЇ * ACВЇ]= (8; -10; -7). Площа трикутного підстави дорівнює полудлине вектора n, тобто: S o = ?(8 2 + 10 2 + 7 2 ) /2 = 73. Перш ніж розраховувати відстань від D до площини ABC, необхідно записати рівняння площини. Три його коефіцієнта (A, B, C) ми вже знаємо, вони відповідають координатам нормалі n. Вільний член можна одержати, підставивши в рівняння координати будь-якої точки площини, наприклад точки A, маємо: D = -1 * (A * x 1 + B * y 1 + C * z 1 ) = -1 * (8 * 1 + (-10) * 0 + (-7) * 3) = 13. Тоді рівняння площини основи піраміди приймає форму: 8 * x - 10 * y - 7 * z + 13 = 0. Тепер застосовуємо наведену вище формулу для розрахунку відстані від точки D(4; 3; 4) до знайденої площині, отримуємо: d = |(8 * 4 - 10 * 3 - 7 * 4 + 13)| /?(8 2 + 10 2 + 7 2 ) = 089. Оскільки знайдене значення відстані d відповідає висоті піраміди трикутної h, то можна скористатися формулою для об'єму фігури: V = 1 /3 * S o * h = 1 /3 * 73 * 089 ? 2166. Отримане значення обсягу виражена в кубічних одиницях обраної координатної системи.