Ця стаття присвячена п'ятого постулату Евкліда і його історії.
Як з'явилася геометрія
З тих пір як земельні наділи стали предметом купівлі-продажу та здачі в оренду, їх розміри та площа треба було вимірювати, у тому числі шляхом обчислень. Крім того, подібні розрахунки стали необхідні при будівництві масштабних споруд, а також при вимірюванні об'єму різних предметів. Все це стало передумовами виникнення 3-4 тисячоліть назад в Єгипті і Вавилоні мистецтва землемерия. Воно було емпіричним і являло собою збори прикладів вирішення декількох сотень конкретних завдань, без яких-небудь доказів. Як систематична наука геометрія склалася у Давній Греції. Вже до третього століття до нашої ери мали великий запас фактів і доказових методів. Разом з тим виникла завдання узагальнити зібраний досить великий геометричний матеріал. Її намагалися вирішити Гіппократ, Федій та інші давньогрецькі філософи. Однак логічно вивірена наукова система з'явилася лише близько 300 року до н. е. з опублікуванням «Почав».Ким був Евклід
Стародавня Греція дала світові багатьох видатних філософів і вчених. Одним з них є Евкліда, який став основоположником Олександрійської математичної школи. Про вченій практично нічого не відомо. Деякі джерела вказують, що в молодості майбутній Батько сучасної геометрії навчався у відомій школі Платона в Афінах, а потім повернувся в Олександрію, де продовжив займатися математикою і оптикою, а також писав музику. У рідному місті він заснував школу, де разом з учнями і створив свій знаменитий працю, який протягом більш ніж двох тисячоліть є базою для будь-якого підручника з планіметрії і стереометрії.«Начала» Евкліда
Головний і перший найбільш систематизований працю з геометрії складається з 13 томів. Перші чотири і шоста книги стосуються планіметрії, а 1112 і 13-я — стереометрії. Що стосується інших томів, то вони присвячені арифметиці, яка наводиться з точки зору геометричних постулатів. Роль головної праці Евкліда в подальшому розвитку математичних наук важко переоцінити. До нас дійшло кілька папірусних списків з оригіналу, а також візантійських рукописів. У Середні століття «Начала» Евкліда вивчалися насамперед арабами, які вважали одним з найвидатніших творів людської думки, а самого вченого жителем Дамаска. Багато пізніше цими працями зацікавилися європейці. З появою книгодрукування наука, в тому числі геометрія Евкліда перестала бути надбанням лише обраних. Після першого видання в 1533 році «Початку» стали доступні всім, хто бажав пізнати світ, а таких з кожним роком ставало все більше. Попит породив пропозицію, тому вважається, що ця праця є другим в числі найбільш популярних пам'яток старовини після Біблії.Деякі особливості
У «Началах» описуються метричні властивості тривимірного, порожнього, безмежного і ізотропного простору, яке прийнято називати евклідовим. Воно вважається ареною, де відбуваються явища класичної фізики Галілея і Ньютона. Елементарним геометричним об'єктом, на думку Евкліда, є точка. Друге важливе поняття — нескінченність простору, яка характеризується першими трьома постулатами. Четвертий стосується рівності прямих кутів. Що стосується п'ятого постулату Евкліда, то саме він визначає властивості і геометрію евклідова простору. На думку вчених, батько класичної геометрії створив досконалий підручник, при вивченні якого виключаються будь-які нерозуміння матеріалу через спосіб його викладу. Зокрема, кожен том «Почав» починається з визначення понять, що зустрічаються вперше. Зокрема, з перших сторінок 1-ї книги читач дізнається, що таке точка, лінія, пряма та ін. Всього в ній присутній 23 визначення, необхідних для розуміння основних положень матеріалу, представленого в цій фундаментальній праці.Аксіоми і перші 4 постулату Евкліда
Після визначень автор «Почав» призводить пропозиції, які приймаються без доведення. Їх він поділяє на аксіоми і постулати. Перша група складається з 11 тверджень, які людині відомі інтуїтивно. Наприклад, 8-я аксіома свідчить, що ціле більше частини, а згідно з першою, дві величини, рівні порізно третьому рівні між собою. Крім того, Евклід призводить 5 постулатів. Перші чотири свідчать:
П'ятий постулат Евкліда
Протягом більше двох тисячоліть це твердження неодноразово ставало об'єктом пильної уваги математиків. Однак спочатку познайомимося з змістом п'ятого постулату Евкліда. Отже, в сучасній формулюванні він звучить так: якщо на площині при перетині двох прямих третьою сума внутрішніх односторонніх кутів менше 180°, то ці прямі при продовженні рано чи пізно перетнуться з тієї сторони, з якої ця величина (сума) менше 180°.П'ятий постулат Евкліда, формулювання якого в різних джерелах наводиться по-різному, з самого початку викликала спорт і бажання перевести його в розряд теорем шляхом побудови обґрунтованого доказу. До речі, нерідко його підміняють іншим виразом, насправді придуманим Проклом і відомим також, як аксіома Плейфера. Воно свідчить: на площині через точку, що не належить даній прямій, можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну даній.
Формулювання
Як вже було сказано, багато вчених намагалися по-іншому висловити ідею 5-го постулату Евкліда. Багато формулювання досить очевидні. Наприклад:Недоліки
Геометрія Евкліда стала найбільшим математичним працею античності і аж до 19 століття вона безроздільно панувала в математиці. Незважаючи на це, деякі її недоліки були відмічені ще сучасниками автора і давньогрецькими вченими, що жили дещо пізніше. Зокрема, Архімед додав нову аксіому, названу його ім'ям. Вона говорить: для будь-яких відрізків AB і CD існує таке натуральне число n, що n·[AB]>[CD]. Крім того, вчені прагнули мінімізувати систему евклідових постулатів і аксіом. Для цього вони вивели деякі з них з інших. Так вдалося «позбутися» від 4-го постулат про рівність прямих кутів. Для нього було знайдено суворе доказ, завдяки чому він перейшов у розряд теорем.
Історія 5 постулату в давнину і ранньому Середньовіччі
Класична формулювання цього твердження геометрії Евкліда здається набагато менш очевидною, ніж чотирьох інших. Саме ця обставина не давала спокою математикам. Каменем спотикання для п'ятого постулату Евкліда стало саме визначення паралельності двох прямих a і b, свідчить, що сума двох односторонніх кутів, які утворені перетином a і b з третьої прямої c, дорівнює 180 градусам. Перша спроба довести як теорему була зроблена давньогрецьким геометром Посидонием. Він запропонував вважати прямої паралельної даній множина всіх точок площини, які знаходяться на однаковій відстані від вихідної. Однак навіть це не дозволило знайти Посидонию доказ 5-го постулату. Ні до чого не привели і спроби інших математиків, у тому числі і середньовічних, таких як араби ж ібн Корра і Хайама. Єдине, чого вдалося досягти — поява нових постулатів, які доказуються з урахуванням різних припущень.У 18-19-х століттях
Класична геометрія продовжувала цікавити математиків і в 18-му столітті. Зокрема, досить близько до доказу аксіоми паралельності Евкліда зміг підійти французький математик А. Лежандра. Його перу належить видатний підручник «Початки геометрії», який близько 150 років був основним при навчанні математики в школах Російської імперії. У ньому вчений навів три варіанти докази евклідової аксіоми паралельності, проте всі вони виявилися некоректними. До початку 19-го століття виникла ідея створення неевклідової геометрії. Першим опис системи, що не залежить від п'ятого постулату, привів військовий інженер Я. Бойаи. Але він сам злякався свого відкриття і не став розвивати цю ідею, вважаючи її помилковою. Успіху не зміг добитися і великий німецький математик К. Гаусс.
Прорив
Протягом більш ніж 2000 років п'ятий постулат Евкліда, доказ якого намагалися знайти сотні вчених, залишався проблемою номер один в математиці. Прорив здійснив російський математик Н. В. Лобачевського. Саме йому першому в світі вдалося описати властивості реального простору, довівши, що геометрія Евкліда «працює» тільки в окремому випадку його системи. Н. В. Лобачевського спочатку пішов по тому ж шляху, що і його колеги. Намагаючись довести 5-й постулат, він не домігся успіху. Тоді вчений відмовився від евклідової уявлення, згідно з яким сума кутів трикутника дорівнює 180 градусам. Далі він став доводити це твердження від протилежного і отримав нове формулювання для п'ятого постулату. Тепер він допускав існування декількох прямих, паралельних даній, і проходять через точку, що лежить поза цієї прямої.Нова геометрія
Немає сенсу обговорювати, хто зробив більше для математичної науки. Роль Евкліда і Лобачевського порівнянна з впливом на формування і розвиток фізики Ньютона і Ейнштейна. У той же час нова, абсолютна геометрія дозволила розглядати поняття простору, відірвавшись від класичного методу «можу зрозуміти тільки те, що можу виміряти». А адже саме такий підхід практикувався в науці протягом багатьох тисячоліть. На жаль, ідеї геометрії Лобачевського не були сприйняті і зрозумілі сучасниками. Зокрема, його учні продовжили справу вченого, і розвиток неевклідової геометрії було відкладено на кілька десятиліть.
Деякі особливості теорії Лобачевського
Щоб зрозуміти нову геометрію, потрібно розглянути космічну безмежність. Дійсно, складно уявити, що бескрайная Всесвіт являє собою суму прямолінійних просторів. Геометрія Лобачевського застосовується для опису криволінійних просторів, які створюються гравітаційними полями галактик. Вона дозволила відійти від методу відома всіх фігур «приблизно правильним» циліндру, колі, піраміді або до довільного поєднанню цих фігур. Адже, наприклад, наша планета в реальності — не куля, а геоїд, тобто фігура, яка виходить при окресленні зовнішнього контуру літосфери (твердої оболонки Землі. У реальному житті також є аналоги криволінійних просторів Всесвіту, які дозволяють уявити можливість існування кількох паралельних прямих даної, проходять через одну точку. Зокрема, це вигнуті поверхні трьох типів, які виділені італійським геометром Е. Бельтрамі і названі псевдосферами.
Подальший розвиток теорії Лобачевського
Видатний російський був не єдиним, хто припустив не абсолютність евклідової геометрії. Зокрема, математик Б. Рімана в 1854 році висунув ідею про можливість існування просторів нульовий, позитивною і негативною кривизною. Це означало, що можливе створення нескінченної кількості різних некласичних геометрій. З позицій Б. Рімана, який вивчав в основному простору з позитивною кривизною, 5-й постулат Евкліда звучить досить несподівано. Відповідно до його ідей, через точку поза даною прямою можна провести ні однієї прямої, яка паралельна даній. Зовсім по-іншому йде справа з просторами нульовий, негативної та позитивної кривизни по теорії Ф. Клейна. Зокрема, у першому випадку вони описуються параболічної геометрією, окремим випадком якої є класична, у другій — підпорядковуються ідей Лобачевського, а в третьому — відповідають властивостям, описаним Риманом. Після опублікування Теорії відносності Альберта Ейнштейна, подання про таких просторах доповнили даними, що враховують існування чотирьох взаємообумовлених і мінливих вимірів — маси, енергії, швидкості і часу.На практиці
Якщо перейти до людського сприйняття простору, у межах земної орбіти для велетенського трикутника максимально великого з можливих відхилення суми внутрішніх кутів від класичних 180 градусів складе всього чотири мільйонних секунди. Така величина знаходиться за межею можливостей гомо сапієнса, тому для «земних» затребуваною є геометрія Евкліда. Залишається чекати, коли будуть створені умови, що дозволяють отримати експериментальні дані, які підтвердять або спростують теорії Н. Лобачевського і Б. Рімана в масштабах Галактики.