Львів
C
» » Додавання і множення ймовірностей: приклади рішень і теорія

Додавання і множення ймовірностей: приклади рішень і теорія

Вивчення теорії ймовірності починається з розв'язування задач на додавання і множення ймовірностей. Варто відразу згадати, що студент при освоєнні даної галузі знань може зіткнутися з проблемою: якщо фізичні або хімічні процеси можна візуально уявити і зрозуміти емпірично, то рівень математичної абстракції дуже високий, і розуміння тут приходить тільки з досвідом. Однак гра варта свічок, адже формули - як розглядаються в цій статті, так і більш складні - використовуються сьогодні повсюдно й цілком можуть стати в нагоді в роботі.

Походження

Як не дивно, поштовхом до розвитку даного розділу математики стали азартні ігри. Дійсно, гра в кості, кидання монетки, покер, рулетка – це типові приклади, в яких використовуються додавання і множення ймовірностей. На прикладі задач в будь-якому підручнику це можна побачити наочно. Людям було цікаво дізнатися, як збільшити свої шанси на перемогу, і, треба сказати, деякі в цьому досягли успіху.


Додавання і множення ймовірностей: приклади рішень і теорія
Наприклад, вже у XXI столітті одна людина, чийого імені розкривати ми не будемо, використовував ці накопичені століттями знання, щоб буквально «обчистити» казино, вигравши в рулетку кілька десятків мільйонів доларів. Втім, незважаючи на підвищений інтерес до предмету, тільки до XX століття була розроблена теоретична база, що робить «теорвер» повноцінної складовою математики. Сьогодні ж практично в будь-якій науці можна зустріти розрахунки, які використовують імовірнісні методи.

Застосовність

Важливим моментом при використанні формул додавання і множення ймовірностей, умовної ймовірності є здійснимість центральної граничної теореми. В іншому випадку хоч це і може і не усвідомлюватися студентом, всі обчислення, якими б правдоподібними вони не здавалися, будуть некоректними.


Так, у высокомотивированного учня виникає спокуса використати нові знання при кожному зручному випадку. Але в даному випадку слід дещо пригальмувати і строго окреслити рамки застосовності. Теорія ймовірності має справу з випадковими подіями, які в емпіричному плані являють собою результати експериментів: ми можемо кидати кубик з шістьма гранями, витягувати карту з колоди, передбачати кількість бракованих деталей у партії. Проте в деяких питаннях використовувати формули з цього розділу математики категорично не можна. Особливості розгляду ймовірностей події, теорем додавання і множення подій ми обговоримо в кінці статті, а поки звернемося до прикладів.

Основні поняття

Під випадковим подією розуміється певний процес або результат, який може проявитися, а може і не проявитися в результаті експерименту. Наприклад, ми підкидаємо бутерброд – він може впасти маслом вгору або маслом вниз. Будь-який з двох випадків буде випадковим, і ми заздалегідь не знаємо, який з них буде мати місце.
Додавання і множення ймовірностей: приклади рішень і теорія
При вивченні додавання і множення ймовірностей нам знадобляться ще два поняття. Спільними називаються такі події, поява одного з яких не виключає появи іншої. Скажімо, дві людини одночасно стріляють по мішені. Якщо один з них зробить успішний постріл, це ніяк не позначиться на можливості другого потрапити в «яблучко» або промахнутися.
Несовместными будуть такі події, поява яких одночасно є неможливим. Наприклад, витягуючи із коробки тільки одну кульку, не можна дістати відразу і синій і червоний.

Позначення

Поняття ймовірність позначається латинською заголовною буквою P. Далі в дужках йдуть аргументи, що позначають деякі події. У формулах теореми додавання, умовної ймовірності, теореми множення ви побачите в дужках виразу, наприклад: A+B, AB або A|B. Розраховуватися вони будуть різними способами, до них ми зараз і звернемося.

Додавання

Розглянемо випадки, в яких використовуються формули додавання та множення ймовірностей. Для несумісних подій актуальна найпростіша формула додавання: ймовірність будь-якого з випадкових результатів буде дорівнює сумі ймовірностей кожного з цих випадків.
Додавання і множення ймовірностей: приклади рішень і теорія
Припустимо, що є коробка з 2 синіми, 3 червоними і 5 жовтими кульками. Разом у коробці є 10 предметів. Яка частка істинності твердження, що ми витягнемо синій або червоний куля? Вона буде дорівнює 2/10 + 3/10 тобто п'ятдесят відсотків. У разі ж неспільних подій формула ускладнюється, оскільки додається додатковий доданок. Повернемося до нього через один абзац, після розгляду ще однієї формули.

Множення

Додавання і множення ймовірностей незалежних подій використовуються в різних випадках. Якщо за умовами експерименту нас влаштовує будь-який з двох можливих результатів, ми порахуємо суму; якщо ж ми хочемо отримати два деяких результату один за одним, ми вдамося до використання іншого формули. Повертаючись до прикладу з попереднього розділу, ми хочемо витягти спочатку синю кульку, а потім – червоний. Перше число нам відомо – це 2/10. Що відбувається далі? Куль залишається 9 червоних серед них стільки ж – три штуки. Згідно з розрахунками вийде 3/9 або 1/3. Але що тепер робити з двома числами? Правильна відповідь – перемножувати, щоб вийшло 2/30.

Спільні події

Тепер можна знову звернутися до формули суми для спільних подій. Для чого ми відволікалися від теми? Щоб дізнатися, як перемножуються ймовірності. Зараз нам це знання стане в нагоді.
Додавання і множення ймовірностей: приклади рішень і теорія
Ми вже знаємо, якими будуть перші два доданків (такі ж, як і в розглянутій раніше формулою додавання), тепер же потрібно відняти добуток імовірностей, яке ми тільки що навчилися розраховувати. Для наочності напишемо формулу: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). Виходить, що в одному виразі використовується і додавання та множення ймовірностей. Припустимо, ми повинні вирішити будь-яку з двох завдань, щоб отримати залік. Першу ми можемо вирішити з імовірністю 03 а другу – 06. Рішення: 03 + 06 – 018 = 072. Зауважте, просто підсумувати числа тут буде недостатньо.

Умовна ймовірність

Нарешті, існує поняття умовної ймовірності, аргументи якої позначаються в дужках, розділених вертикальною межею. Запис P(A|B) читається наступним чином: «ймовірність події A за умови події B». Подивимося приклад: один дає вам певний прилад, нехай це буде телефон. Він може бути зламаний (20 %) або справний (80 %). Будь потрапив в руки прилад ви в змозі полагодити з імовірністю 04 або не в змозі цього зробити (06). Нарешті, якщо прилад знаходиться в робочому стані, ви можете додзвонитися до потрібної людини з ймовірністю 07. Легко помітити, як в даному випадку проявляється умовна вірогідність: ви не зможете додзвонитися до людини, якщо телефон зламаний, а якщо він справний, вам не потрібно його лагодити. Таким чином, щоб отримати якісь результати на «другому рівні», потрібно дізнатися, яка подія виповнилося на першому.

Розрахунки

Розглянемо приклади розв'язання задач на додавання і множення ймовірностей, скориставшись даними з попереднього абзацу. Для початку знайдемо ймовірність того, що ви полагодите відданий вам апарат. Для цього, по-перше, він повинен бути несправний, а по-друге, ви повинні впоратися з лагодженням. Це типова задача з використанням множення: отримуємо 02*04 = 008.
Додавання і множення ймовірностей: приклади рішень і теорія
Яка ймовірність, що ви відразу додзвонитесь до потрібної людини? Простіше простого: 08*07 = 056. У цьому випадку ви виявили, що телефон справний і успішно здійснили дзвінок. Нарешті, розглянемо такий варіант: ви отримали зламаний телефон, полагодили його, після чого набрали номер, і людина на протилежному кінці взяв трубку. Тут вже потрібно перемножування трьох складових: 02*04*07 = 0056. А що робити, якщо у вас відразу два неробочих телефону? З якою ймовірністю ви полагодите хоча б один з них? Це завдання на додавання і множення ймовірностей, оскільки використовуються спільні події. Рішення: 04 + 04 – 04*04 = 08 – 016 = 064. Таким чином, якщо вам до рук потрапить два зламаних апарату, ви впораєтеся з лагодженням в 64% випадків.

Уважне використання

Як говорилося на початку статті, використання теорії ймовірності має бути зваженим і усвідомленим. Чим більше серія експериментів, тим ближче підходить теоретично передбачене значення до отриманого на практиці. Наприклад, ми кидаємо монетку. Теоретично, знаючи про існування формул додавання і множення ймовірностей, ми можемо передбачити, скільки разів випаде «орел» і «решка», якщо ми проведемо експеримент 10 разів. Ми провели експеримент, і за збігом обставин співвідношення сторін випали склало 3 до 7. Але якщо провести серію з 1001000 і більше спроб, виявиться, що графік розподілу все ближче підбирається до теоретичного: 44 до 56482 до 518 і так далі.
Додавання і множення ймовірностей: приклади рішень і теорія
А тепер уявіть, що даний експеримент проводиться не з монетою, а з виробництвом якого-небудь новітнього хімічної речовини, ймовірності отримання якого ми не знаємо. Ми провели б 10 експериментів і, не отримавши успішного результату, могли б узагальнити: «речовина отримати неможливо». Але хто знає, якби ми провели одинадцяту спробу - чи досягли ми мети чи ні? Таким чином, якщо ви звертаєтеся до незвіданого, до недосліджені області, теорія ймовірності може виявитися незастосовна. Кожна наступна спроба в цьому випадку може виявитися успішною і узагальнення типу «X не існує» або «X є неможливим» будуть передчасні.

Заключне слово

Отже, ми розглянули два види додавання, множення і умовні ймовірності. При подальшому вивченні даної області необхідно навчитися розрізняти ситуації, коли використовується кожна конкретна формула. Крім того, потрібно уявляти, чи застосовні взагалі імовірнісні методи при вирішенні вашої задачі.
Додавання і множення ймовірностей: приклади рішень і теорія
Якщо ви будете практикуватися, то через деякий час почнете здійснювати всі необхідні операції виключно в розумі. Для тих, хто захоплюється картковими іграми, цей навик можна вважати вкрай цінним - ви значно збільшите свої шанси на перемогу, лише розраховуючи ймовірність випадання тієї або іншої карти або масті. Втім, отриманим знанням ви без праці знайдете застосування і в інших сферах діяльності.