Коли у фізиці описують рух тіл, то використовують такі величини, як сила, швидкість, переміщення, кути повороту і так далі. У цій статті мова піде про одну з важливих величин, яка об'єднує рівняння кінематики та динаміки руху. Розглянемо докладно, що таке повне прискорення.

Поняття про прискорення

Кожен любитель сучасних швидкісних марок автомобілів знає, що одним із важливих параметрів для них є розгін до певної швидкості (зазвичай до 100 км/ч) за деякий час. Цей розгін у фізиці називають "прискоренням". Більш суворе визначення звучить так: прискорення - це фізична величина, що описує швидкість або швидкість зміни в часі самої швидкості. Математично це слід записати так:


? = dv/dt Обчисливши першу похідну по часу від швидкості, ми знайдемо значення миттєвого повного прискорення ?. Якщо рух є рівноприскореним, тоді ? від часу не залежить. Цей факт дозволяє записати значення повного середнього прискорення ? cp : ? cp = (v 2 -v 1 )/(t 2 -t 1 ). Це вираз аналогічно попередньому, тільки значення швидкостей тіла беруться за набагато більш тривалий проміжок часу, ніж dt. Записані формули зв'язку швидкості і прискорення дозволяють зробити висновок щодо векторів цих величин. Якщо швидкість завжди спрямована по дотичній до траєкторії руху, то прискорення спрямоване в бік зміни швидкості.

Траєкторія руху і вектор повного прискорення

При вивченні руху тіл слід особливу увагу приділяти траєкторії, тобто уявної лінії, вздовж якої відбувається переміщення. У загальному випадку траєкторія є криволінійною. При русі по нею швидкість тіла змінюється не тільки по величині, але і по напрямку. Оскільки прискорення описує обидва компонента зміни швидкості, то його можна представити у вигляді суми двох складових. Щоб отримати формулу повного прискорення через окремі компоненти, уявімо швидкість тіла в точці траєкторії в наступному вигляді:


v = v*u Тут u - одиничний дотичний до траєкторії вектор, v - модель швидкості. Взявши похідну від v по часу, і спрощуючи отримані доданки, приходимо до наступного рівності: ? = dv/dt = dv/dt*u + v 2 /r*r e . Перший доданок являє собою тангенціальну складову прискорення ?, другий доданок - це нормальне прискорення. Тут r - радіус кривизни, r e - одиничної довжини радіус-вектор. Таким чином, вектор повного прискорення є сумою взаємно перпендикулярних векторів тангенціального і нормального прискорення, тому його напрям відрізняється від напрямків розглянутих компонентів і від вектора швидкості. Іншим способом визначення напрямку вектора ? є вивчення діючих сил на тіло в процесі його руху. Величина ? завжди спрямована вздовж вектора сумарної сили. Взаємна перпендикулярність вивчених компонент a t (тангенціальна) і a n (нормальне) дозволяє записати вираз для визначення модуля повного прискорення: a = ?(a t 2 + a n 2 )

Прямолінійне прискорений рух

Якщо траєкторія є прямою лінією, то зміна вектора швидкості в процесі руху тіла не відбувається. Це означає, що при описі повного прискорення слід знати лише його тангенціальну компоненту a t . Нормальна компонента буде дорівнює нулю. Таким чином, опис прискореного переміщення по прямой зводиться до формули:
a = a t = dv/dt. З цього виразу слідують всі кінематичні формули прямолінійного равноускоренного або равнозамедленного руху. Запишемо їх: v = v 0 ± a*t; S = v 0 *t ± a*t 2 /2. Тут знак "плюс" відповідає прискореного руху, а знак "мінус" - сповільненого (гальмування).

Рівномірне переміщення по колу

Тепер розглянемо, як пов'язані швидкість і прискорення в разі обертання тіла навколо осі. Припустимо, що це обертання відбувається з постійною кутовою швидкістю ?, тобто за рівні проміжки часу тіло повертає на рівні кути. При описаних умовах лінійна швидкість v не змінює свого абсолютного значення, однак постійно змінюється її вектор. Останній факт описує нормальне прискорення. Вище вже була наведена формула для нормального прискорення a n . Запишемо її ще раз: a n = v 2 /r Ця рівність показує, що, на відміну від компоненти a t , величина a n не дорівнює нулю навіть при постійному модулі швидкості v. Чим більше цей модуль, і чим менше радіус кривизни r, тим більшого значення набуває величина a n . Поява нормального прискорення зобов'язана дії доцентрової сили, яка прагне утримати на лінії окружності обертове тіло.