Кінетична теорія газів відіграє важливу роль у розумінні відбуваються в газових субстанціях процесів, які тісно пов'язані з вимірюваними макроскопічними термодинамічними характеристиками системи. У наведеній нижче статті докладніше розглянемо, що таке закон Максвелла і як з його допомогою можна описати поведінку ідеальних газів.

Ідеальні гази

Почнемо статтю з розкриття питання, що таке ідеальний газ. Під цим терміном розуміють таку текучу субстанцію, яка здатна довільним чином змінювати свою форму і свій обсяг. Частинки, що становлять цю субстанцію, покладаються безрозмірними і не взаємодіючими один з одним. Безрозмірними вони вважаються тому, що відстань між ними набагато більше їх лінійних розмірів. Під відсутністю взаємодії між частинками розуміють їх незначну потенційну енергію за порівняно з кінетичної енергією поступального та обертального руху.


Ідеальні гази характеризуються низькими густинами (тисками), високими абсолютними температурами і хімічною інертністю складових їх молекул. Відомим усьому прикладом ідеального газу є повітря на нашій планеті.

Кінетична теорія і швидкість руху молекул газу

Молекулярно-кінетичної теорії (МКТ) є потужним інструментом, який з аналізу статистичних функцій дозволяє прогнозувати поведінку макроскопічних параметрів системи таких, як температура, тиск і об'єм. Основними положеннями МКТ є наступні:

частки, будь то атоми або молекули рухаються хаотично з прямим траєкторіях;

створюваний тиск обумовлена пружними постійними зіткненнями частинок зі стінками містить газ судини;

температура визначається середньою кінетичною енергією системи.

З цих постулатів МКТ, а також з відповіді на питання, що таке ідеальний газ, можна зробити важливий висновок: швидкість молекул v є ключовою мікроскопічної величиною, визначальною практично всі властивості досліджуваної системи.


Для повноти інформації зазначимо, що МКТ отримало свій розвиток завдяки роботам Бернуллі, Ломоносова, Креніга і Клаузіуса. У другій половині XIX століття успіх цієї теорії був обумовлений появою статистичного закону Максвелла про розподіл швидкостей газових частинок. Згодом роботи Максвелла були узагальнені Больцманом на випадок енергій частинок системи.

Функція щільності ймовірності f(v)

Особливістю ідеальних газів, що знаходяться в термодинамічній рівновазі, є різноманітність швидкостей складових їх молекул. Дійсно, якщо знайти спосіб вимірювання індивідуальних швидкостей, то можна виявити, що одні частинки рухаються зовсім повільно, інші ж можуть переміщатися швидше. Цей цікавий факт в 1873 році описав Максвелл, ввівши спеціальну функцію розподілу молекул за швидкостями. Ця функція називається ймовірністю щільності, вона має наступний вигляд: f(v) = (m /(2 * pi * k * T)) 3/2 * 4 * pi * v 2 * exp (-m * v 2 /(2 * k * T)). У цьому виразі k, m і T - це постійна Больцмана, маса частинки і абсолютна температура системи, відповідно. Щільність ймовірності f(v) показує ймовірність виявлення частинок зі швидкостями v ± dv в системі. Якщо взяти інтеграл від цієї функції по всіх швидкостей, починаючи від нуля і закінчуючи нескінченністю, то ми отримаємо повне число молекул N досліджуваної газової системи.

Графік функції щільності ймовірності

Математична формула, наведена вище в пункті, є дещо громіздкою і містить ступеневу і показову функції від температури і маси частинок. Щоб краще зрозуміти її властивості, уявімо цю функцію в графічній формі. Видно, що закон Максвелла призводить до несимметричному розподілу швидкостей частинок. Крива на графіку відносно різко обривається на малих швидкостях і плавно спадає для великих значень v. Крива має один максимум, який можна інтерпретувати, як найбільш ймовірна швидкість молекул в системі. Закон Максвелла підпорядковується статистику Максвелла-Больцмана, область застосування якої обмежується тільки класичної (ньютонівської) механікою. Як тільки частинки починають проявляти квантові властивості, слід користуватися іншими статистичними функціями для опису їх поведінки.

Ймовірна, середня і середня квадратична швидкості

Розподіл молекул за швидкостями, який описує ймовірність щільності f(v), дозволяє розрахувати три важливих виду швидкості. Першим з них є найбільш ймовірна швидкість. Саме її має в системі найбільше число молекул. Розраховується вона з рівності нулю похідної df(v)/dv. Ймовірна швидкість v 1 дорівнює:
v 1 = ?(2 * R * T /M). Тобто вона буде тим більше, чим вища температура газу, і чим менше значення маси складових його частинок. Величина R тут називається універсальною газовою сталою. Наступного швидкістю є середня величина. Її розраховують за допомогою інтегрування функції v * f(v) по усім швидкостям. Результатом є середня v 2 : v 2 = ?(8 * R * T /(pi * M)). Нарешті, третьою важливою швидкістю є середня квадратична величина v 3 . Її можна обчислити, якщо визначити інтеграл функції v 2 * f(v) по всіх швидкостей молекул. Вона дорівнює: v 3 = ?(3 * R * T /M). Записані три формули показують, що найбільшою при будь-яких температурах і масах молекул є середня квадратична величина. Вона відіграє ключову роль при обчисленні кінетичної енергії газу.

Швидкість v3 і кінетична енергія молекул

Оскільки в ідеальних газах частинки одна з одною не взаємодіють, то їх внутрішня енергія складається виключно з кінетичної. З класичної механіки відомо, що кінетична енергія однієї молекули, яка рухається зі швидкістю v і має масу m, обчислюється за формулою: E k = m * v 2 /2. Очевидно, що складаючи енергії E k для всіх N молекул системи, ми отримаємо повну енергію ідеального газу. Якщо розділити цю енергію на N, то вийде середня кінетична енергія на одну молекулу. При цьому відповідна швидкість буде середньої квадратичної величиною v 3 . Для одноатомного газу, що має всього три поступальних ступеня свободи, справедлива наступна формула зв'язку квадратичної швидкості з температурою:

m * v 3 2 /2 = 3 /2 * k * T. Якщо згадати формулу зв'язку між константами k і R, то можна отримати раніше записане вираз для v 3 через абсолютну температуру.

Залежність від температури функції f(v)

Із закону Максвелла про розподіл швидкостей випливає, що ймовірність щільності f(v) залежить від величини T. Цю залежність найпростіше простежити на графіку нижче. Збільшуючи температуру від 100 До 700 К для молекулярного азоту, ми спостерігаємо зміщення піку ймовірної швидкості вправо. Крім того, цей пік стає більш розмитим і зменшується, що говорить про вирівнювання швидкостей молекул. Зауважимо, що площі під кожної з кривих залишаються однаковими, оскільки число молекул азоту в системі залишається постійним.

Приклад завдання

Всім відомі кольорові гумові кульки, які наповнюють гелієм. Необхідно розрахувати ймовірний, середню і середню квадратичну швидкості для атомів гелію при кімнатній температурі (29815 К). Молярна маса атома гелію становить 4 г/моль. Використовуючи це значення, отримуємо швидкості v 1 , v 2 і v 3 :

v 1 = ?(2 * R * T /M) = ?(2 * 8314 * 29815 /0004) = 1113 м/с;

v 2 = ?(8 * R * T /(pi * M)) = ?(8 * 8314 * 29815 /(314 * 0004)) = 1257 м/с;

v 3 = ?(3 * R * T /M) = ?(3 * 8314 * 29815 /0004) = 1363 м/с.

Розраховані швидкості свідчать про те, що атоми гелію вже при кімнатній температурі рухаються в 35-4 рази швидше швидкості звуку (?340 м/с). При цьому середня квадратична швидкість атомів приблизно на 20% перевищує найбільш імовірну швидкість з розподілу Максвелла.