Вивчення властивостей газового агрегатного стану матерії є одним з важливих напрямків сучасної фізики. Розглядаючи гази в мікроскопічному масштабі, можна отримати всі макроскопічні параметри системи. У даній статті буде розкрито важливе питання молекулярно-кінетичної теорії газів: що являє собою розподіл Максвелла молекул за швидкостями.

Історичний нарис

Ідея про газ як системи, що складається з мікроскопічних рухомих частинок, виникла ще в Античній Греції. Щоб вона отримала свій розвиток, науці знадобилося понад 1700 років. Основоположником сучасної молекулярно-кінетичної теорії (МКТ) газу справедливо вважати Данила Бернуллі. У 1738 році він опублікував роботу, яка називалася "Гідродинаміка". В ній Бернуллі виклав ідеї МКТ, використовуються до теперішнього часу. Так, вчений вважав, що гази складаються з частинок, які хаотично рухаються у всіх напрямках. Численні зіткнення частинок зі стінками судин сприймаються, як наявність у газах тиску. Швидкості частинок тісно пов'язані з температурою системи. Спільнота вчених не прийняло сміливі ідеї Бернуллі, оскільки ще не був встановлений закон збереження енергії.


Згодом багато вчених займалися побудовою кінетичної моделі газів. Серед них слід відзначити Рудольфа Клаузіуса, який у 1857 році створив просту газову модель. У ній вчений приділив особливу увагу наявності поступальних, обертальних і коливальних ступенів свободи молекул. В 1859 році, вивчаючи роботи Клаузиуса, Джеймс Максвелл сформулював так зване розподіл Максвелла за швидкостями молекул. По суті, Максвелл підтвердив ідеї МКТ, підкріпивши їх математичним апаратом. Згодом Людвіг Больцман (1871 рік) узагальнив висновки розподілу Максвелла. Він постулював більш загальне статистичне розподіл молекул за швидкостями і енергіям. Воно в даний час відомо, як розподіл Максвелла - Больцмана.

Ідеальний газ. Основні постулати МКТ

Щоб зрозуміти, що являє собою функція розподілу Максвелла, необхідно чітко розібратися з системами, для яких ця функція застосовується. Мова йде про ідеальному газі. У фізиці під цією концепцією розуміють текучу субстанцію, яка складається з практично безрозмірних частинок, не володіють потенційною енергією. Ці частинки рухаються з великими швидкостями, тому їх поведінка повністю визначається кінетичною енергією. Більш того, дистанції між частинками дуже великі в порівнянні з їх розмірами, тому останніми нехтують. Ідеальні гази описуються в рамках МКТ. Основними її постулатами є наступні:

газові системи складаються з величезного числа вільних частинок;

частинки хаотично рухаються з різними швидкостями в різних напрямках по прямим траєкторіях;

частинки стикаються зі стінками судин пружно (ймовірність зіткнення частинок один з одним невелика, зважаючи на їх малих розмірів);

температура системи однозначно визначається середньою кінетичною енергією частинок, яка зберігається в часі в разі встановлення в системі термодинамічної рівноваги.

Закон розподілу Максвелла

Якщо б чоловік мав приладом, за допомогою якого можна було виміряти швидкість окремої молекули газу, то, провівши відповідний експеримент, він був би здивований. Експеримент показав, що кожна молекула будь газової системи рухається з довільною швидкістю. При цьому в рамках однієї системи, що перебуває в тепловій рівновазі з навколишнім середовищем, були б виявлені як дуже повільні, так і дуже швидкі молекули.
Закон розподілу Максвелла за швидкостями молекул газу являє собою інструмент, що дозволяє визначити ймовірність виявлення частинок із заданою швидкістю v в досліджуваної системі. Відповідна функція виглядає наступним чином: f(v) = (m/(2*pi*k*T)) 3/2 *4*pi*v 2 *exp(-m*v 2 /(2*k*T)). У цьому виразі m - маса частинки (молекули), k - константа Больцмана, T - абсолютна температура. Таким чином, якщо відома хімічна природа частинок (значення m), то функція f(v) однозначно визначається абсолютною температурою. Функція f(v) називається щільністю ймовірності. Якщо взяти від неї інтеграл для деякого межі швидкостей (v; v+dv), то ми отримаємо кількість частинок N i , які мають швидкості у вказаному проміжку. Відповідно, якщо взяти інтеграл від щільності ймовірності f(v) для меж швидкостей від 0 до ?, то ми отримаємо повне число молекул N в системі.

Графічне зображення щільності ймовірності f(v)

Функція щільності ймовірності має кілька складний математичний вигляд, тому нелегко уявити її поведінка при даній температурі. Цю задачу можна вирішити, якщо зобразити її на двовимірному графіку. Схематичний вигляд графіка розподілу Максвелла зображений нижче на малюнку.
Ми бачимо, що він починається з нуля, оскільки швидкість v молекул не може мати негативних значень. Закінчується графік десь в області великих швидкостей, плавно спадаючи до нуля (f(?)->0). Також впадає в очі наступна особливість: плавна крива є несиметричною, вона більш різко убуває для невеликих значень швидкостей. Важливою особливістю поведінки функції щільності ймовірності f(v) є наявність на ній одного вираженого максимуму. Згідно з фізичним змістом функції, цей максимум відповідає найбільш імовірному значення швидкостей молекул в газовій системі.

Важливі види швидкості для функції f(v)

Функція щільності ймовірності f(v) і її графічне зображення дозволяють дати визначення трьома важливими видами швидкості. Першим видом швидкості, який є очевидним, і який був згаданий вище, є найбільш ймовірна швидкість v 1 . На графіку її значення відповідає максимуму функції f(v). Саме цю швидкість і близькі до неї значення будуть мати більшість частинок системи. Обчислити її не представляє особливої праці, для цього достатньо взяти першу похідну по швидкості від функції f(v) і прирівняти її до нуля. В результаті проведення вказаних математичних операцій отримуємо кінцевий результат: v 1 = ?(2*R*T/M). Тут R - універсальна газова постійна, M - молярна маса молекул. Другим видом швидкості є середнє її значення для всіх N частинок. Позначимо її v 2 . Розрахувати її можна, якщо проінтегрувати функцію v*f(v) по усім швидкостям. Результатом зазначеного інтегрування буде наступна формула:

v 2 = ?(8*R*T/(pi*M)). Оскільки ставлення 8/pi>2 то середня швидкість завжди трохи більше, ніж найбільш вірогідна. Кожна людина, яка трохи знайомий з фізикою, розуміє, що середня швидкість v 2 молекул повинна мати велике значення в газовій системі. Тим не менш, це помилкове судження. Набагато важливішою є середня квадратична швидкість. Позначимо її v 3 . Згідно з визначенням, середня квадратична швидкість є сумою квадратів індивідуальних швидкостей всіх частинок, поділена на кількість цих частинок, і взята під квадратний корінь. Розрахувати її для розподілу Максвелла можна, якщо визначити інтеграл по всіх швидкостей від функції v 2 *f(v). Формула середньої квадратичної швидкості прийме вигляд: v 3 = ?(3*R*T/M). Рівність показує, що ця швидкість більше, ніж значення v 2 і v 1 для будь-якої газової системи. Таким чином, всі розглянуті види швидкостей на графіку розподілу Максвелла або на лежать екстремумі, або правіше його.

Важливість величини v3

Вище було відзначено, що середня квадратична швидкість є більш важливою для розуміння фізичних процесів і властивостей газової системи, ніж проста середня швидкість v 2 . Це дійсно так, оскільки кінетична енергія ідеального газу залежить саме від величини v 3 , а не від v 2 .
Якщо розглядати одноатомний ідеальний газ, то для нього справедливо наступне вираження: m*v 3 2 /2 = 3/2*k*T. Тут кожна частина рівності являє собою кінетичну енергію однієї частинки масою m. Чому у виразі варто саме величина v 3 , а не середня швидкість v 2 ? Дуже просто: при визначенні кінетичної енергії кожної частинки її індивідуальна швидкість v зводиться в квадрат, потім всі швидкості складаються і діляться на кількість частинок N. тобто сама процедура визначення кінетичної енергії призводить до величині середньої квадратичної швидкості.

Залежність функції f(v) від температури

Вище ми встановили, що щільність ймовірності швидкостей молекул однозначно залежить від температури. Як буде змінюватися функція, якщо збільшувати або зменшувати величину T? Відповісти на це питання допоможе графік нижче. Видно, що нагрівання закритої системи призводить до розмазування піку і його зміщення у бік більш високих швидкостей. Збільшення температури приводить до збільшення усіх видів швидкостей і до зменшення щільності ймовірності кожної з них. Значення піку зменшується унаслідок збереження кількості частинок N в закритій системі. Далі, вирішимо пару завдань для закріплення отриманого теоретичного матеріалу.

Завдання з молекулами азоту в повітрі

Необхідно розрахувати швидкості v 1 , v 2 і v 3 для азоту повітря при температурі 300 К (близько 27 o C). Молярна маса азоту N 2 дорівнює 28 г/моль. Користуючись наведеними формулами, отримуємо: v 1 = ?(2*R*T/M) = ?(2*8314*300/0028) = 422 м/с; v 2 = ?(8*R*T/(pi*M)) = ?(8*8314*300/(314*0028)) = 476 м/с; v 3 = ?(3*R*T/M) = ?(3*8314*300/0028) = 517 м/с.

Завдання з киснем в балоні

Кисень в балоні перебував при деякій температурі T 1 . Потім балон помістили в більш холодне приміщення. Як зміниться графік розподілу Максвелла по швидкостях для молекул кисню, коли система прийде в термодинамічна рівновага? Згадуючи теорію, можна відповісти на запитання задачі: значення всіх видів швидкостей молекул зменшаться, пік функції f(v) зміститься вліво, стане більш вузьким і більш високим.