Диференціювання та інтегрування являють собою рівняння, яке містить похідні. Останні, якщо дотримуватися математичним властивостям, поділяються на звичайні та приватні. Похідні являють швидкість зміни, а диференціальне рівняння описує взаємозв'язок між величиною, яка постійно видозмінюється в процесі рішення, утворюючи нові змінні. Професор університету з легкістю зорієнтується в складних операціях з інтегралами, перетворює їх в одне ціле, а потім доведе обчислення зворотним методом. Однак можливість швидко згадувати деталі складних формул доступна не кожному людині, тому рекомендується освіжити пам'ять або відкрити для себе новий матеріал.

Значення і основне застосування

У науковій літературі похідна визначається, як швидкість, підвладна перетворення функції на основі однієї з її змінних. Диференціація - це сутність обчислення, яку можна порівняти з початком пошуків дотичної до точки. Як відомо, остання має різні види і вимагає обчислювальних формул для пошуку. Припустимо, вам потрібно знайти нахил дотичної до графіка в точці Р. Як це зробити? Досить провести дугоподібну смугу через позначений об'єкт і підняти її вгору, поки ми не отримаємо посічену лінію. Функція f в х називається диференційованої в точці х = а, якщо похідна f '(а) існує на кожному позначенні її області. Продемонструємо приклад:

f '(а) = lim (h=0) x f(a + h) – f(а)/h

Для того щоб рівняння стягнути диференціювання та інтегрування функцій так, що її розташування стане можливим у будь-якій точці x, вона не повинна перериватися. Заздалегідь побудувавши схематичне зображення ви зможете переконатися в достовірності твердження. Саме з цієї причини область f '(х) визначається існуванням її межами.

Припустимо, що у = f(х) – функція х, то похідна f(х) визначається як dy/dx. Також вона визначається, як лінійне рівняння, де необхідно знайти необхідні дані по у.

Однак, якщо ми шукаємо похідну від у в першому випадку, то в наступному належить знайти f(x) x.

d/dx x (f(x)) l a або df/dx l a

Отже, позначення швидкості зміни функції f(x) відносно x в точці a, що лежить на її поверхні.

Якщо відома похідна f', яка диференційовних в своїй області, то ми можемо знайти її значення f. В інтегральному обчисленні ми називаємо f антипроизводной або примітивом функції f '. Метод його розрахунку відомий, як антидифференцирование або інтеграція.

Види і форми

Рівняння з одним або кількома членами, яке включає похідні залежної змінної за незалежною, відомо, як диференціал. Інакше кажучи, він складається з безлічі числових значень, звичайних або приватних, піддаються змінам у процесі рішення.

На даний момент існують наступні типи диференціальних рівнянь.

Звичайні. Просте рівність, безпосередньо залежить від змінної:

dy/dx + 5x = 5y

З приватними похідними:

dy/dx + dy/dt = x 3 -t 3

d 2 y/dx 2 – c 2 x d 2 y/dt 2

Старшого коефіцієнта. Даному виду характерна участь у порядку диференціального рівняння, як продемонстровано на прикладі нижче, де він дорівнює 3. Число вважається найвищим з присутніх:

d 3 y/dx 2 + 5 x dy/dx + y = ?x

Функції можуть мати кілька видів, однак, доцільним є використання одинарних лапок з характерними формулами інтегрування і диференціювання.

y' = dy/dx

y = d 2 y/dx 2

y"' = d 3 y/dx 3

Лінійне. Змінна, що фігурує в рівнянні, зводиться до степеня одиниці. Графік такого виду функцій зазвичай є прямою лінією. Наприклад, (3x + 5), але (x ³ + 4x ² ) не відноситься до даного типу, оскільки вимагає іншого рішення.

dy/dx + xy = 5x

Нелінійне. Будь інтегрування та диференціювання рядів з подвійними способами отримання рівності – відносяться до розглянутого виду:

d 2 y/dx 2 - ln y = 10

Методи швидкого отримання результату

Недостатньо розглянути форму, щоб розібратися як впоратися і застосувати на практиці отримані знання. В даний час існує кілька способів рішення диференціального рівняння.

Це:

1. Поділ змінної. Виконується, коли приклад можна зобразити як dy /dx = f(y) g(x). Особливість полягає в тому, що f і g – функції, що належать до своїм значенням. Завдяки цьому, завдання слід перетворити: 1/f(y) dy = g(x) dx. І тільки після перейти до наступного пункту.
2. Метод інтегруючого фактора. Використовується, коли приклад має вигляд dy /dx + p(x) y = q(x), де р і q є функціями тільки x.

Диференціальний обчислення першого порядку виглядають, як y'+ p(x) y = Q (x), оскільки вони містять необхідні функції і похідну від y. Подальше збільшення у найменуванні діє за тим же принципом. Наприклад, похідні від невідомої функції, можуть бути як приватними, так і звичайними.

Невизначені інтеграли

Якщо вам надана швидкість вашого велосипеда, коли ви відправилися на прогулянку, в залежності від часу - чи зможете ви розрахувати пройдену відстань, використовуючи дані про витрачені хвилинах? Дана завдання виглядає непосильною ношею, однак інтеграли допоможуть впоратися з цими властивостями максимально ефективно, отримавши результат.

Наукова література акцентує увагу на тому, що вони є зворотною стороною диференціювання. Дійсно, інтеграція - це метод складання речей. Він сполучає частинки між собою, створюючи щось нове ціле. Головне в будь-якому схожому прикладі: знайти невизначені інтеграли і перевірити результати інтегрування диференціюванням. Це допоможе уникнути зайвих помилок.

Якщо ви збираєтеся шукати площа будь-якої випадкової кривої, наприклад, y=f(x), то скористайтеся цим методом. Пам'ятайте, що тільки уважність врятує вас від помилки.

Формули для розв'язання

Так, познайомившись з основною концепцією диференціювання та інтегрування - зворотного обчислення через функції, необхідно коротко розглянути деякі основи. Вони наведені нижче.

Основні правила обчислення

Такі інтегровані функції, як f (x) легко перевести в рівність, якщо уявити рівняння, як: ? f(x) dx = F(x) + C .

Тут F (x) називається антипроизводной або примітивною. f(x) - підінтегральна функція. dx – виступає, як додатковий числовий агент. З - інтегрована або довільна постійна. x – виступає в залежності від сторони рівності.

З наведеного вище твердження, можна зробити висновок, що інтегрування та диференціювання рядів – два протилежних один від одного процесу. Разом вони виступають як одна з видів операцій, спрямована на отримання кінцевого результату, що виконується над самим рівнянням.

Тепер, коли ми більше знаємо про особливості обчислення, рекомендується виділити переважні відмінності, необхідні для подальшого розуміння:

1. Диференціювання та інтегрування здатні одночасно відповідати правилам лінійності.
2. Операції спрямовані на пошук максимально точного рішення, однак, припускають обмеження для їх визначення.
3. При диференціюванні поліноміального прикладу результат на 1 менше, ніж ступінь функції, тоді як у випадку інтегрування отриманий результат перетворюється в інший, діючи по протилежній схемою.
4. Два виду рішення, як говорилося раніше, є протилежними одне одному. Вони обчислюються за формулами інтегрування і диференціювання.
5. Похідна будь функції унікальна, але, з іншого боку, два інтеграла, в одному прикладі, можуть відрізнятися на константу. Саме це правило становить головну складність під час виконання завдань.
6. Маючи справу з похідними, ми можемо розглядати похідні в точці. Майже як і в интегралах вони надають функції по інтервалу.
7. Геометрично похідна описує швидкість зміни величини по відношенню до іншої, в той час як невизначений інтеграл представляє криву. Вона розташована в паралельному напрямку, а також має дотичні під час перетину нерівних ліній з іншими, ортогональними до осі, що представляє змінну.

Методи складання

Якщо ви зіткнулися з проблемою, як застосовується підсумовування для математичних операцій диференціювання, інтегрування, слід ретельно ознайомитися з основними формулами. Вони є аксіомою в навчанні, тому використовуються повсюдно. Зверніть увагу, під час застосування на власних прикладах, формули вірні, тільки якщо починаються з i = 1.

Рішення «по частинах»

Часом функція вимагає нестандартного підходу, щоб дістатися до кінцевого результату і задовольнити умовам рівності. Почленное інтегрування та диференціювання рядів базується на ідентичності, яка виражається: ? f(x) g'(x) dx = f (x) g(x) - ? f'(x) g(x) dx

Алгоритм розглянутої методики, виглядає наступним чином:

1. Висловити інтегровану функцію як добуток двох виразів. Позначимо одне з них f (x), інше g' (x).
2. Тепер приступити до виявлення двох інших формул, які можливо застосувати при виконанні першого пункту. Ряд зміниться. Диференціюванням перетворимо f '(x), щоб отримати вирази f (x). Приступаємо до іншої частини - g (x) інтегрується в g'(x). При цьому, dx залишається в початковій формі і не використовується.
3. Вставте отримані вирази у формулу по частинах. На цьому процедура закінчується, і тепер ви можете спробувати оцінити новий інтеграл справа, оскільки він став значно простіше для розуміння.

Раніше дані метод задіяв інтегрування по частинах за допомогою матриці. Спосіб увінчався успіхом, але займав багато часу, тому в даний час він застосовується рідше, в особливих випадках, коли рішення практично неможливо знайти. Для цього досить помістити f і g' перший рядок і обчислити f ' і g у другій.

Навіщо потрібна інтеграція по частинах?

Ситуації трапляються різні. Часом рішення виявляються куди складніше, ніж на перший погляд. Тому слід виділити основні проблеми, нерідко зустрічаються при почленном інтегрування і диференціювання степеневих рядів. Розглянемо два основних правила.

По-перше, ту частину, яку ми маємо намір інтегрувати, тобто обрану для g '(x), ми повинні мати можливість перетворити. Зробити це важливо максимально швидко. Справа в тому, що складне інтегрування для g рідко приводить до кращого інтегралу, підвищуючи складність. Все це негативно позначається на свободу наших дій під час рішень, а також залежить від ступенів, синусів і косинусів. Нехай пошук правильної відповіді займе час, але приведе до правильного, ніж заплутаному.

По-друге, все інше, тобто частина, яку ми маємо намір диференціювати і позначимо F, повинна помітно виділитися після перетворення. Після нескладної процедури ми зауважимо, що новий інтеграл виявиться більш спрощеним, ніж попередник.

Так, коли ми об'єднуємо два правила і використовуємо його при вирішенні, то отримуємо можливість скористатися диференціюванням та інтегруванням степеневих функцій, які має сенс розглядати по частинах.

Існує і спосіб видалення x, що дозволяє ефективно задіяти перетворення в різних ситуаціях. Наприклад, ми можемо легко інтегрувати, помноживши функцію на поліном, який ми скорочуємо з допомогою диференціювання.

? x 2 sin(3x) dx

? x 7 cos(x) dx

?x 4 e 4x dx

В якості f ми беремо ступінь x (більше загальному випадку - многочлен), а також використовуємо g'. Очевидно, що кожне диференціювання зменшує ступінь числа на одиницю, тому, якщо у прикладі вона досить висока – застосуйте почленное інтегрування кілька разів. Це допоможе скоротити час.

Складність деяких рівнянь

В даному випадку мова йде про диференціювання та інтегрування степеневих рядів. Функцію можна розглядати так, як ніби x – є областю інтервалу збіжності точок. Правда метод підійде далеко не всім. Справа в тому, що будь-які функції можуть бути виражені у вигляді степеневих рядів, перетворюючись в лінійну структуру і навпаки.

Наприклад, дано e _x . Ми може виразити його в якості рівняння, яке насправді є просто нескінченним поліномом. Степеневий ряд легко помітити, обчисливши, але він не завжди ефективний.

Визначений інтеграл як границя суми

Подивіться на наступне графічне інтегрування та диференціювання.

Для того щоб легко розуміти складну функцію, досить ретельно розібратися в ній. Оцінимо область PRSQP між кривою у = f (x), віссю х та координатами x = а і х = b». Тепер розділіть інтервал[а, b]на 'n' рівних подинтервалов, позначених наступним чином: [x0 , x1 ],[x1 , x2 ],[x2 , x3 ] [xn - 1 , xn ].

Де x 0 = a, x 1 = a + h, x 2 = a + 2h, x 3 = a + 3h x r = a + b і x n = b = a + nh або n = (b - a) /h. (1). Зазначимо, що при n -> ? h -> 0.

Розглянуте простір PRSQP є сумою всіх «n» подобластей, де кожна визначена на певній посередності[х_r-1 , х_r ], r = 123 n. При правильному підході, дані функції можна піддати диференціювання та інтегрування для швидкого вирішення.

Тепер подивіться на ABDM на малюнку. На його основі доцільно зробити наступне спостереження про площах: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Також відзначимо, що при h -> 0 або х _r - х _r-1 -> 0 всі три області стають практично рівними один одному. Отже, ми маємо:

s n = h[f(x0) + f(x1) + f(x2) + …. f(xn – 1)]= h r=0 ? n–1 f(x r ) (2)

або S n = h[f(x1) + f(x2) + f(x3) + …. f(xn)]= h r =1 ? n f(x r ) (3)

У даному випадку s _n і S _n позначають суму площ всіх нижніх і верхніх прямокутників, піднятих над інтервалами[х_r–1, х_r]для r = 123, n відповідно. Щоб уявити це в перспективі, рівняння (1) можна переписати у вигляді:

s n < площадь области (PRSQP) < S n (4)

Крім того, передбачається, що граничні значення (2) і (3) однакові в обох випадках, і спільним є лише площа під кривою. У результаті ми маємо:

lim n -> ? S n = lim n -> ? s n = галузі PRSQP = ? a b f(x) dx (5)

Площа також є граничним значенням простору, яке знаходиться між прямокутниками нижче кривої і над кривою. Для зручності слід звернути увагу на висотку фігури, рівну кривий на лівому краю кожного подинтервала. Отже, рівняння переписується в кінцевий варіант:

? a b f(x) dx = lim n -> ? h[f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n – 1}h)]

або ? a b f(x) dx = (b – a) lim n -> ? (1/n)[f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n – 1}h)]

Висновок

Диференціювання та інтегрування відрізняється між собою рядом властивостей, формул і протилежними змінами. Одне не може перетворитися в інший без допомоги. Якщо диференціація допомагає знайти похідну, то інтеграція виконує зовсім інша дія. Вона додає деякі частини, здатна допомогти зі ступенями, скорочуючи їх або удосконалити приклад, спростивши. Також вона застосовується для перевірки диференційованих рівнянь. Інакше кажучи – вони діють, як єдине ціле, що не можуть співіснувати окремо, оскільки доповнюють один одного. Застосовуючи правила, знаючи безліч методик, тепер ви гарантовано вирішити складні завдання.