Що таке диференціальні рівняння?
Багато бояться одного словосполучення "диференціальне рівняння". Однак у цій статті ми докладно викладемо всю суть цього дуже корисного математичного апарату, який насправді не так складний, як здається з назви. Для того щоб почати розповідати про диференціальні рівняння першого порядку, слід спочатку познайомитися з основними поняттями, які невід'ємно пов'язані з цим визначенням. І почнемо ми з диференціала.
Диференціал
Багато знають це поняття ще зі школи. Проте все ж зупинимося на ньому детальніше. Уявіть собі графік функції. Ми можемо збільшити його до такої міри, що будь-відрізок прийме вигляд прямої лінії. На ній візьмемо дві точки, що знаходяться нескінченно близько один до одного. Різниця їх координат (x або y) буде нескінченно малою величиною. Її й називають диференціалом і позначають знаками dy (диференціал від y) dx (диференціал від x). Дуже важливо розуміти, що диференціал не є кінцевою величиною, і в цьому полягає його сутність та основна функція. А тепер необхідно розглянути наступний елемент, який нам стане в нагоді при поясненні поняття диференціального рівняння. Це - похідна.Похідна
Всі ми напевно чули в школі і це поняття. Кажуть, що похідна - це швидкість зростання або спадання функції. Однак з цього визначення багато стає незрозумілим. Спробуємо пояснити похідну через диференціали. Давайте повернемося до нескінченно малому відрізку функції з двома точками, які знаходяться на мінімальній відстані один від одного. Але навіть за це відстань функція встигає змінитися на якусь величину. І щоб описати це зміна і придумали похідну, яку інакше можна записати як відношення диференціалів: f(x)'=df/dx. Тепер варто розглянути основні властивості похідної. Їх всього три:Також бувають приватні похідні. Припустимо, у нас є функція z, яка залежить від змінних x і y. Щоб обчислити приватну похідну цієї функції, скажімо, по x, нам необхідно прийняти змінну y за постійну і просто продиференціювати.
Інтеграл
Інше важливе поняття - інтеграл. По суті, це пряма протилежність похідної. Інтеграли бувають декількох видів, але для рішення найпростіших рівнянь нам знадобляться самі тривіальні невизначені інтеграли. Отже, що таке інтеграл? Припустимо, у нас є деяка залежність f від x. Ми візьмемо від неї інтеграл і отримаємо функцію F(x) (часто її називають первісної), похідна якої дорівнює первісної функції. Таким чином F(x)'=f(x). Звідси випливає, що інтеграл від добутку дорівнює первісної функції. При рішенні диференціальних рівнянь дуже важливо розуміти сенс і функцію інтеграла, так як доведеться дуже часто їх брати для знаходження рішення. Рівняння бувають різними в залежності від своєї природи. У наступному розділі ми розглянемо види диференціальних рівнянь першого порядку, а потім і навчимося їх вирішувати.Класи диференціальних рівнянь
"Диффури" поділяються за порядком похідних, що беруть участь в них. Таким чином буває перший, другий, третій і більш порядок. Їх також можна поділити на декілька класів: звичайні і в приватних похідних. У цій статті ми розглянемо звичайні диференціальні рівняння першого порядку. Приклади та способи їх вирішення ми також обговоримо в наступних розділах. Будемо розглядати тільки ОДУ, тому що це найбільш поширені види рівнянь. Звичайні діляться на підвиди: з роздільними змінними, однорідні і неоднорідні. Далі ви дізнаєтеся, чим вони відрізняються один від одного, і навчіться їх вирішувати.Крім того, ці рівняння можна об'єднувати, щоб у нас вийшла система диференціальних рівнянь першого порядку. Такі системи ми теж розглянемо і навчимося вирішувати. Чому ми розглядаємо тільки перший порядок? Тому що треба починати з простого, а описати все, пов'язане з диференціальними рівняннями, в одній статті просто неможливо.
Рівняння з роздільними змінними
Це, мабуть, найпростіші диференціальні рівняння першого порядку. До них відносяться приклади, які можна записати так: y'=f(x)*f(y). Для вирішення цього рівняння нам знадобиться формула подання похідної як відношення диференціалів: y'=dy/dx. З допомогою неї отримуємо таке рівняння: dy/dx=f(x)*f(y). Тепер ми можемо звернутися до методу вирішення стандартних прикладів: розділимо змінні по частинах, тобто перенесемо всі з змінної y в частину, де знаходиться dy, і так само зробимо з змінної x. Отримаємо рівняння виду: dy/f(y)=f(x)dx, яке вирішується взяттям інтеграли від обох частин. Не варто забувати і про константі, яку потрібно ставити після взяття інтеграла. Рішення будь-якого "диффура" - це функція залежності x від y (в нашому випадку), або, якщо є чисельне умова, то відповідь у вигляді числа. Розберемо на конкретному прикладі весь хід рішення: y'=2y*sin(x) Переносимо змінні в різні сторони: dy/y=2*sin(x)dx Тепер беремо інтеграли. Всі їх можна знайти в спеціальній таблиці інтегралів. І отримуємо: ln(y) = -2*cos(x) + C Якщо потрібно, ми можемо висловити "ігрек" як функцію від "ікс". Тепер можна сказати, що наше диференціальне рівняння вирішено, якщо не задано умову. Може бути задано умову, наприклад, y(п/2)=e. Тоді ми просто підставляємо значення цих змінних в рішення і знаходимо значення постійної. У нашому прикладі воно дорівнює 1.Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
Тепер переходимо до більш складної частини. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку можна записати в загальному вигляді так: y'=z(x,y). Слід зауважити, що права функція від двох змінних однорідна, і її можна розділити на дві залежності: z x і z від y. Перевірити, чи є рівняння однорідним чи ні, досить просто: ми робимо заміну x=k*x і y=k*y. Тепер скорочуємо все k. Якщо всі ці букви скоротилися, значить рівняння однорідне і можна сміливо приступати до його вирішення. Забігаючи наперед, скажемо: принцип вирішення цих прикладів теж дуже простий. Нам потрібно зробити заміну: y=t(x)*x, де t - деяка функція, яка теж залежить від x. Тоді ми можемо висловити похідну: y'=t'(x)*x+t. Підставляючи все це в наше вихідне рівняння і спрощуючи його, ми отримуємо приклад з роздільними змінними t і x. Вирішуємо його і отримуємо залежність t(x). Коли ми її отримали, то просто підставляємо в нашу попередню заміну y=t(x)*x. Тоді отримуємо залежність y від x. Щоб було зрозуміліше, розглянемо приклад: x*y'=y-x*e y/x . При перевірці з заміною все скорочується. Отже, рівняння дійсно однорідне. Тепер робимо іншу заміну, про яку ми говорили: y=t(x)*x і y'=t'(x)*x+t(x). Після спрощень отримуємо наступне рівняння: t'(x)*x=-e t . Вирішуємо одержаний приклад з розділеними змінними і отримуємо: e -t =ln(C*x). Нам залишилося тільки замінити t y/x (адже якщо y=t*x, t=y/x), і ми отримуємо відповідь: e -y/x =ln(x*).
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Настав час розглянути ще одну велику тему. Ми розберемо неоднорідні диференціальні рівняння першого порядку. Чим вони відрізняються від попередніх двох? Давайте розберемося. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку в загальному вигляді можна записати таким рівнянням: y' + g(x)*y=z(x). Варто уточнити, що z(x) і g(x) можуть бути постійними величинами. А тепер приклад: y' - y*x=x 2 . Існує два способи рішення, і ми розберемо по порядку обидва. Перший - метод варіації довільних констант. Для того щоб вирішити рівняння цим способом, необхідно спочатку прирівняти праву частину до нуля і вирішити отримане рівняння, яке після переносу частин прийме вигляд: y' = y*x; dy/dx=y*x; dy/y=xdx; ln|y|=x 2 /2 + C; y=e x2/2 *у З =C 1 *e x2/2 . Тепер треба замінити константу C 1 на функцію v(x), яку нам належить знайти. y=v*e x2/2 . Проведемо заміну похідної: y'=v'*e x2/2 -x*v*e x2/2 . І підставимо ці вирази у вихідне рівняння: v'*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 . Можна бачити, що в лівій частині скорочуються два доданків. Якщо в якомусь прикладі цього не сталося, значить ви щось зробили не так. Продовжимо: v'*e x2/2 = x 2 . Тепер вирішуємо звичайне рівняння, в якому потрібно розділити змінні: dv/dx=x 2 /e x2/2 ; dv = x 2 *e - x2/2 dx. Щоб витягти інтеграл, нам доведеться застосувати тут інтегрування по частинах. Однак це не тема нашої статті. Якщо вам цікаво, ви можете самостійно навчитися виконувати такі дії. Це не складно, і при достатньому навичці і уважності не забирає багато часу. Звернемося до другого способу рішення неоднорідних рівнянь: методом Бернуллі. Який підхід швидше і простіше - вирішувати тільки вам. Отже, при вирішенні рівняння цим методом нам необхідно зробити заміну: y=k*n. Тут k і n - деякі залежні від x функції. Тоді похідна буде виглядати так: y'=k'*n+k*n'. Підставляємо обидві заміни рівняння: k'*n+k*n'+x*k*n=x 2 . Група: k'*n+k*(n'+x*n)=x 2 .Тепер треба прирівняти до нуля те, що знаходиться в дужках. Тепер, якщо об'єднати два одержані рівняння, що виходить система диференціальних рівнянь першого порядку, яку потрібно вирішити: n'+x*n=0; k'*n=x 2 . Перше рівність вирішуємо, як звичайне рівняння. Для цього потрібно розділити змінні: dn/dx=x*v; dn/n=xdx. Беремо інтеграл і отримуємо: ln(n)=x 2 /2. Тоді, якщо висловити n: n=e x2/2 . Тепер підставляємо отримане рівність у друге рівняння системи: k'*e x2/2 =x 2 . І перетворюючи, отримуємо те ж саме рівність, що і в першому методі: dk=x 2 /e x2/2 . Ми також не будемо розбирати подальші дії. Варто сказати, що спочатку рішення диференціальних рівнянь першого порядку викликає істотні труднощі. Однак при більш глибокому зануренні в тему це починає виходити все краще і краще.
Де використовуються диференціальні рівняння?
Дуже активно диференціальні рівняння застосовуються у фізиці, так як майже всі основні закони записуються в диференціальній формі, а ті формули, які ми бачимо - рішення цих рівнянь. У хімії вони використовуються з тієї ж причини: основні закони виводяться з їх допомогою. В біології диференціальні рівняння використовуються для моделювання поведінки систем, наприклад хижак - жертва. Вони також можуть використовуватися для створення моделей розмноження, скажімо, колонії мікроорганізмів.Як диференціальні рівняння допоможуть в житті?
Відповідь на це питання проста: ніяк. Якщо ви не учений або інженер, то навряд чи вони вам знадобляться. Проте для загального розвитку не завадить знати, що таке диференціальне рівняння і як воно вирішується. І тоді питання сина або дочки "що таке диференціальне рівняння?" не поставить вас у тупик. Ну а якщо ви учений або інженер, то самі розумієте важливість цієї теми в будь-якій науці. Але найголовніше, що тепер на питання "як вирішити диференціальне рівняння першого порядку?" ви завжди зможете дати відповідь. Погодьтеся, завжди приємно, коли розумієш, що люди навіть бояться розібратися.
Основні проблеми при вивченні
Основною проблемою в розумінні цієї теми є поганою навик інтегрування та диференціювання функцій. Якщо ви погано берете похідні і інтеграли, то, напевно, варто ще повчитися, освоїти різні методи інтегрування та диференціювання, і тільки потім приступати до вивчення того матеріалу, що був описаний в статті. Деякі люди дивуються, коли дізнаються, що dx можна переносити, адже раніше (у школі) стверджувалося, що дріб dy/dx неподільна. Тут треба почитати літературу з похідною і зрозуміти, що вона є відношенням нескінченно малих величин, якими можна маніпулювати при вирішенні рівнянь. Багато не відразу усвідомлюють, що рішення диференціальних рівнянь першого порядку - це найчастіше функція або складний інтеграл, і це оману доставляє їм чимало клопоту.Що ще можна вивчити для кращого розуміння?
Краще всього почати подальше занурення у світ диференціального числення зі спеціалізованих підручників, наприклад, з математичного аналізу для студентів нематематичних спеціальностей. Потім можна переходити до більш спеціалізованої літератури. Варто сказати, що, крім диференціальних, є ще інтегральні рівняння, так що вам завжди буде до чого прагнути і що вивчати.