Диференціальне числення є розділом математичного аналізу, який вивчає похідну, диференціали та їх використання при дослідженні функції.

Історія появи

Диференціальне числення виділилося в самостійну дисципліну в другій половині 17 століття, завдяки працям Ньютона і Лейбніца, які сформулювали основні положення обчислення диференціалів і помітили зв'язок між інтегруванням і диференціюванням. З того моменту дисципліна розвивалась разом з обчисленням інтегралів, складаючи тим самим основу математичного аналізу. Поява даних обчислень відкрило новий сучасний період у математичному світі, і викликало виникнення нових дисциплін в науці. Також розширив можливість застосування математичної науки в природознавстві і техніці.

Основні поняття

Диференціальне числення базується на фундаментальних поняттях математики. Ними є: дійсне число, безперервності, функція і межа. Через деякий час вони набули сучасного вигляду, завдяки інтегральних і диференціальних исчислениям.

Процес створення

Формування диференціального числення у вигляді прикладного, а потім і наукового методу сталося перед виникненням філософської теорії, яку створив Микола Кузанский. Його роботи вважаються еволюційним з розвитком суджень античної науки. Незважаючи на те що сам філософ не був математиком, його внесок у розвиток математичної науки незаперечний. Кузанский один з перших пішов від розгляду арифметики як максимально точної галузі науки, поставивши математику того часу під сумнів.


У античних математиків універсальним критерієм була одиниця, в той час як філософ запропонувати в якості нової заходи нескінченність замість точного числа. У зв'язку з цим інвертується подання точності в математичній науці. Наукове знання, за його поданням, ділиться на розумове та інтелектуальний. Друге є більш точним, на думку вченого, оскільки перше дає лише приблизний результат.

Ідея

Основна ідея і поняття в диференціальному численні пов'язані з функцією малих околицях певних точок. Для цього необхідно створити математичний апарат для досліджень функції, поведінка якої в малій околиці встановлених точок близько до поведінки многочлена або лінійної функції. Засноване це на визначення похідної та диференціала. Поява поняття похідної було викликано великою кількість завдань із природничих наук і математики, які приводили до знаходження значень меж одного типу. Однією з основних завдань, які даються як приклад, починаючи зі старших класів школи, є визначення швидкості руху точки по прямій лінії і побудова дотичної лінії до цієї кривої. Диференціал пов'язаний з цим, оскільки є можливість наблизити функцію в малій околиці розглянутої точки лінійної функції. За порівняно з поняттям похідної функції дійсної змінної, визначення диференціалів просто переходить на функцію загальної природи, зокрема на зображення одного евклідового простору на інше.

Похідна

Нехай точка рухається за напрямом осі Оу, за час візьмемо х, яке відраховується від якогось моменту початку. Описати таке переміщення можна по функції у=f(x), яке ставиться у відповідність кожному тимчасовому моменту х координати переміщуваного точки. Дану функцію в механіці прийняти кликати законом руху. Основною характеристикою руху, особливості нерівномірного, є миттєва швидкість. Коли точка переміщується по осі Оу згідно із законом механіки, то випадковий часовий момент х вона набуває координату f(x). У тимчасовій момент х + Дх, де Дх позначає збільшення часу, її кордината буде f(х + Дх). Так формується формула ?y = f(х + Дх) - f(х), яку називають приростом функції. Вона являє собою пройдений точкою шлях за час від х до х + Дх. У зв'язку з виникненням цієї швидкості в момент часу вводиться похідна. У довільній функції похідну у фіксованій точці називають межею (за умови його існування). Позначатися вона може певними символами: f'(х), y', y, df/dx, dy/dx, Df(x). Процес обчислення похідної називається диференціюванням.

Диференціальне числення функції кількох змінних

Даний метод обчислення застосовується при дослідженні функції з кількома змінними. При наявності двох змінних х і у, приватна похідна по х в точці А зветься похідною цієї функції по х з фіксованим у. Може позначатися наступними символами: f'(x)(x,y), u'(x), ?u/?x або ?f(x,y)'/?x.

Необхідні навички

Щоб успішно вивчити і вміти вирішувати диффури, потрібні навички у інтегрування та диференціюванні. Щоб було легше розібратися в диференціальних рівняннях, слід добре розуміти тему похідної та невизначений інтеграл. Також не завадить навчитися шукати похідну від неявно заданої функції. Пов'язано це з тим, що в процесі вивчення доведеться часто використовувати інтеграли і диференціювання.

Типи диференціальних рівнянь

Практично у всіх контрольних роботах, пов'язаних з диференціальними рівняннями першого порядку, існує 3 види рівнянь: однорідні, з роздільними змінними, лінійні неоднорідні. Є і більш рідкісні різновиди рівнянь: з повними диференціалами, рівняння Бернуллі та інші.

Основи рішення

Для початку слід згадати алгебраичние рівняння шкільного курсу. В них містяться змінні та числа. Для вирішення звичайного рівняння необхідно знайти множину чисел, що задовольняють заданій умові. Як правило, такі рівняння мали одні корінь, і для перевірки правильності слід було лише підставити це значення на місце невідомою. Диференціальне рівняння схоже з цим. В загальному випадку таке рівняння першого порядку включає:

Незалежну змінну.

Похідну першої функції.

Функцію або залежну змінну.

В окремих випадках може бути відсутнім одна з невідомих, х чи у, однак це не настільки важливо, так як необхідно наявність першої похідної, без похідних вищих порядків, щоб рішення і диференціальне числення були вірні. Розв'язати диференціальне рівняння - це значить знайти множину всіх функцій, відповідних заданим висловом. Подібне множин функцій часто називається загальним рішенням ДУ.

Інтегральне числення

Інтегральне числення є одним з розділів математичного аналізу, який вивчає поняття інтеграла, властивості і методи його обчислення. Найчастіше обчислення інтеграла зустрічається при обчисленні площі криволінійної фігури. Під цією площею мається на увазі межа, до якого прагне площа вписаного в задану фігуру багатокутника з поступовим зростанням його боку, при цьому ці сторони можуть бути виконані менш всякого раніше зазначеного довільного малого значення. Головна ідея в обчисленні площі довільної геометричної фігури полягає в підрахунку площі прямокутника, тобто доказі, що його площа дорівнює добутку довжини на ширину. Коли мова йде про геометрії, то все побудови виробляються за допомогою лінійки і циркуля, і тоді відношення довжини до ширини є раціональним значенням. При підрахунку площі прямокутного трикутника можна визначити, що якщо відкласти такий самий трикутник поруч, то утворюється квадрат. В параллелограмме площа підраховується подібним, але трохи більш ускладненим методом, через квадрат і трикутник. У багатокутниках площа вважають через вхідні в нього трикутники. При визначенні площі довільної кривої даний метод не підійде. Якщо розбити її на одиничні квадрати, то залишаться незаповнені місця. У цьому разі намагаються використовувати два покриття, з прямокутниками зверху і знизу, у результаті ті включають графік функції і не включають. Важливим тут залишається спосіб розбивання на ці прямокутники. Також якщо брати розбивання все більш зменшуються, то площа зверху і знизу має зійтися на визначеному значенні. Слід повернутися до способу поділу на прямокутники. Є два популярних методу. Риманом було формалізовано визначення інтеграла, створена Лейбніцем і Ньютоном, як площі подграфика. В цьому випадку були розглянуті фігури, що складаються з певної кількості вертикальних прямокутників і отримані при поділі відрізка. Коли при зменшенні розбивання є межа, до якого зводиться площа такої фігури, цю межу називають інтегралом Рімана функції на заданому відрізку. Другим методом є побудова інтеграла Лебега, що складається в тому, що за місце поділу визначається області на частини підінтегральної функції і складання потім інтегральної суми з отриманих значень у цих частинах, на інтервали ділиться її область значень, а після підсумовується з відповідними заходами прообразів цих інтегралів.

Сучасні посібники

Одне з основних посібників з вивчення диференціального та інтегрального числення написав Фіхтенгольц - "Курс диференціального і інтегрального обчислення". Його підручник є основним посібником з вивчення математичного аналізу, який витримав багато видань і перекладів на інші мови. Створений для студентів вузів і довгий час застосовується в безлічі навчальних закладів як одне з основних посібників по вивченню. Дає теоретичні відомості і практичні вміння. Вперше виданий у 1948 році.

Алгоритм дослідження функції

Щоб дослідити методами диференціального обчислення функцію, необхідно слідувати вже заданим алгоритмом:

Знайти область визначення функції.

Знайти корені заданого рівняння.

Підрахувати екстремуми. Для цього слід обчислити похідну і точки, де вона дорівнює нулю.

Підставляємо отримане значення в рівняння.

Різновиди рівнянь

ДУ першого порядку (інакше, диференціальне числення однією змінною) та їх види:

Рівняння з роздільними змінними: f(y)dy=g(x)dx.

Найпростіші рівняння, або диференціальне числення функції однієї змінної, мають формулу: y'=f(x).

Лінійне неоднорідне ДУ першого порядку: y'+P(x)y=Q(x).

Диференціальне рівняння Бернуллі: y'+P(x)y=Q(x)y a .

Рівняння з повними диференціалами: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Диференціальні рівняння другого порядку та їх види:

Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними значеннями коефіцієнта: y n +py'+qy=0 p, q належить R.

Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійним значенням коефіцієнтів: y n +py'+qy=f(x).

Лінійне однорідне диференціальне рівняння: y n +p(x)y'+q(x)y=0 і неоднорідне рівняння другого порядку: y n +p(x)y'+q(x)y=f(x).

Диференціальні рівняння вищих порядків та їх види:

Диференціальне рівняння, що допускають зниження порядку: F(x,y (k) ,y (k+1) ,,y (n) =0.

Лінійне рівняння вищого порядку однорідне: y (n) +f (n-1) y (n-1) ++f 1 y'+f 0 y=0 і неоднорідне: y (n) +f (n-1) y (n-1) ++f 1 y'+f 0 y=f(x) .

Етапи рішення завдання з диференціальним рівнянням

З допомогою ДУ вирішуються не тільки математичні або фізичні питання, але і різні проблеми з біології, економіки, соціології та іншого. Незважаючи на велику різноманітність тим, слід дотримуватися єдиної логічної послідовності при вирішенні таких проблем:

Складання ДУ. Один з найбільш складних етапів, який вимагає максимальний точності, оскільки будь-яка помилка призведе до повністю невірним підсумками. Слід враховувати всі фактори, що впливають на процес і визначити початкові умови. Також слід ґрунтуватися на фактах та логічних висновках.

Рішення складеного рівняння. Цей процес простіше першого пункту, оскільки вимагає лише суворого виконання математичних підрахунків.

Аналіз і оцінка отриманих підсумків. Виведене рішення слід оцінити для установки практичної і теоретичної цінності результату.

Приклад використання диференціальних рівнянь в медицині

Використання ДУ в області медицини зустрічається при побудові епідеміологічної математичної моделі. При цьому не варто забувати, що дані рівняння також зустрічаються в біології і хімії, які близькі до медицини, тому що в ній важливу роль грає дослідження різних біологічних популяцій і хімічних процесів в тілі людини. У наведеному прикладі з епідемією можна розглядати поширення інфекції в ізольованому суспільстві. Мешканці поділяються на три види:

Інфіковані, чисельність x(t), що складалися з особин, носіїв інфекції, кожен з яких заразний (інкубаційний період короткий).

Другий вид включає сприйнятливих особин y(t), здатних заразитися при контактуванні з інфікованими.

Третій вид включає в себе невосприимчивих особин z(t), які мають імунітет загинули або хвороби.

Кількість особин постійно, облік народження, природних смертей і міграції не враховується. В основі буде матися дві гіпотези. Відсоток захворюваності в певний часовий момент дорівнює x(t)y(t) (грунтується припущення на теорії, що число хворих пропорційно кількості перетинань між хворими і сприйнятливими представниками, яке в першому наближенні буде пропорційно x(t)y(t)), у зв'язку з цим кількість хворих зростає, а кількість сприйнятливих зменшується зі швидкістю, яка обчислюється за формулою ax(t)y(t) (a > 0). Число невосприимчивих особин, які набули імунітет або загинули, зростає зі швидкістю, яка пропорційна кількості хворих, bx(t) (b > 0). У підсумку можна скласти систему рівнянь з урахуванням всіх трьох показників і на її основі зробити висновки.

Приклад використання в економіці

Диференціальне числення часто застосовується при економічному аналізі. Основним завданням в економічному аналізі вважається вивчення величин з економіки, які записані у форму функції. Це використовується при вирішенні завдань на зразок зміни доходу відразу після збільшення податків, введення мит, зміни виручки компанії при зміні вартості продукції, в якій пропорції можна замінити вибулих працівників новим обладнанням. Щоб вирішити такі питання, потрібно побудувати функцію зв'язку з вхідних змінних, які після вивчаються за допомогою диференціального числення. В економічній сфері часто необхідно відшукати найбільш оптимальні показники: максимальну продуктивність праці, найвищий дохід, найменші витрати та інше. Кожен такий показник є функцією з одного або декількох аргументів. Наприклад, виробництво можна розглянути як функцію затрати праці та капіталу. У зв'язку з цим знаходження відповідного значення можна звести до відшукання максимуму або мінімуму функції однієї або кількох змінних. Такого роду завдання створюють клас екстремальних завдань в економічній області, для вирішення яких необхідно диференціальне числення. Коли економічний показник потрібно мінімізувати або максимізувати як функцію від іншого показника, то в точці максимуму відношення приросту функції до аргументів буде прагнути до нуля, коли приріст аргументу прямує до нульового значення. Інакше ж, коли подібне ставлення прагне до певного позитивного або від'ємного значення, зазначена точка не є підходящою, тому що при збільшенні або зменшенні аргументу можна поміняти залежну величину в необхідному напрямку. У термінології диференціального числення це буде означати, що необхідною умовою для максимуму функції є нульове значення її похідної. В економіці нерідко зустрічаються задачі на знаходження екстремуму функції з декількома змінними, тому що економічні показники складаються з багатьох факторів. Подібні питання добре вивчені в теорії функцій багатьох змінних, що застосовує методи диференціального обчислення. Подібні завдання включають в себе не тільки максимизируемие і минимизируемие функції, але й обмеження. Подібні питання відносяться до математичного програмування, і вирішуються вони з допомогою спеціально розроблених методів, також спираються на цей розділ науки. Серед методів диференціального числення, які використовуються в економіці, важливим розділом є граничний аналіз. В економічній сфері цей термін означає сукупність прийомів дослідження змінюваних показників і результатів при зміні обсягів створення, споживання, ґрунтуючись на аналізі їх граничних показників. Граничним показником вважається похідна або приватні похідні при декількох змінних. Диференціальне числення кількох змінних - важлива тема галузі математичного аналізу. Для докладного вивчення можна використовувати різні навчальні посібники для вищих навчальних закладів. Одне з найбільш відомих створив Фіхтенгольц - "Курс диференціального і інтегрального обчислення". Як видно з назви, для рішення диференціальних рівнянь чимале значення мають навички в роботі з інтегралами. Коли має місце диференціальне числення функції однієї змінної, рішення стає простіше. Хоча, треба зауважити, воно підкоряється тим же основним правилам. Щоб на практиці дослідити функцію диференціальним численням, досить слідувати вже наявного алгоритму, який дається в старших класах школи, і лише трохи ускладнюється при введенні нових змінних.