Для багатьох людей математичний аналіз являє собою лише набір незрозумілих цифр, значків та визначень, далеких від реального життя. Однак, світ, у якому ми існуємо, побудований на числових закономірності, виявлення яких допомагає пізнавати навколишній світ і вирішувати його складні проблеми, але й спрощувати побутові практичні завдання. Що має на увазі математик, коли говорить, що числова послідовність сходиться? Про це слід поговорити детальніше.

Що таке нескінченно мале?

Уявімо собі матрьошок, які містяться одна в іншій. Розміри їх, записані у вигляді цифр, починаючи з більшою і кінчаючи меншій з них, формують послідовність. Якщо уявити нескінченну кількість подібних яскравих фігурок, то отриманий ряд виявиться фантастично довгим. Це сходиться числова послідовність. І вона прагне до нуля, так як розміри кожної наступної матрьошки, катастрофічно зменшуючись, поступово перетворюються в ніщо. Таким чином, легко можна пояснити: що таке нескінченно мала.


Схожим прикладом може стати дорога, що йде вдалину. А візуальні розміри автомобіля, виїжджає за нею від спостерігача, поступово скорочуючись, перетворюються в безформне плямочка, що нагадує точку. Таким чином, машина, як якийсь об'єкт, віддаляючись у невідомому напрямку, стає нескінченно малою. Параметри зазначеного тіла ніколи не будуть нульовими в прямому сенсі цього слова, але незмінно прагнуть до цієї величини у кінцевій межі. Тому дана послідовність сходиться знову до нуля.

Розрахуємо всі по краплях

Уявімо тепер життєву ситуацію. Хворому лікар прописав приймати мікстуру, починаючи з десяти крапель в день і додаючи по два на кожні наступні добу. І так доктор запропонував продовжувати до тих пір, поки не скінчиться вміст ампули з ліками, обсяг якого становить 190 крапель. З викладеного випливає, що кількість таких, розписаний по днях складе наступний числовий ряд: 101214 і так далі. Як з'ясувати час проходження всього курсу і кількість членів послідовності? Тут, звичайно, можна підраховувати краплі примітивним чином. Але набагато легше, враховуючи закономірність, скористатися формулою суми арифметичної прогресії з кроком d = 2. І з застосуванням такого методу з'ясувати, що кількість членів числового ряду дорівнює 10. При цьому а 10 = 28. Номер члена вказує на кількість днів прийому ліки, а 28 відповідає числу крапель, які хворий повинен вжити в останній день. Дана послідовність сходиться? Ні, тому що, незважаючи на те, що вона обмежена знизу числом 10 а зверху – 28 такий числовий ряд не має меж, на відміну від попередніх прикладів.

В чому різниця?

Тепер спробуємо уточнити: коли числовий ряд виявляється збіжної послідовності. Визначення такого роду, як можна укласти з вищеописаного, безпосередньо пов'язане з поняттям кінцевого межі, наявність якого і виявляє суть питання. Так у чому принципова відмінність раніше наведених прикладів? І чому в останньому з них число 28 не може вважатися межею числового ряду X n = 10 + 2(n-1)?
Для з'ясування цього питання розглянемо іншу послідовність, задану нижченаведеною формулою, де n належить множині натуральних чисел. Дане співтовариство членів являє собою набір звичайних дробів, чисельник яких 1 а знаменник постійно збільшується: 1 1/2 Причому кожен наступний представник цього ряду по розташуванню на числової прямий все більше наближається до 0. А це означає, що з'являється така околиця, де точки скупчуються навколо нуля, який і є межею. І чим ближче вони до нього, тим щільніше стає їх концентрація на числовій прямій. А відстань між ними катастрофічно скорочується, перетворюючись в нескінченно мале. Це ознака того, що послідовність сходиться. Подібним же чином різнокольорові прямокутники, зображені на малюнку, при видаленні в просторі візуально розташовані густіше, в гіпотетичному межі перетворюючись в мізерно малі.

Нескінченно великі послідовності

Розібравши визначення збіжної послідовності, перейдемо тепер до протилежних прикладів. Багато з них були відомі людині з найдавніших часів. Найпростішими варіантами розбіжних послідовностей є ряди натуральних і парних чисел. Вони по-іншому називаються нескінченно великими, так як члени їх, постійно збільшуючись, все більше наближаються до позитивної нескінченності. Прикладами таких також можуть служити будь арифметичних і геометричних прогресій з кроком і знаменником відповідно більше нуля. Розбіжними послідовностями вважаються, до того ж, числові ряди, які зовсім не мають меж. Наприклад, X n = (-2) n -1 .

Послідовність Фібоначчі

Практична користь зазначених раніше числових рядів для людства безсумнівна. Але існує величезна безліч інших чудових прикладів. Одним з них є послідовність Фібоначчі. Кожен з її членів, які починаються з одиниці, являє собою суму попередніх. Першими двома її представниками є 1 і 1. Третій 1+1=2 четвертий 1+2=3 п'ятий 2+3=5. Далі, згідно з цією ж логікою, слідують числа 81321 і так далі.
Цей ряд чисел необмежено зростає і не має кінцевого межі. Зате він володіє ще однією чудовою властивістю. Ставлення кожного попереднього числа до подальшого все більш наближається по своєму значенням до 0618. Тут можна усвідомити різницю між збіжної та расходящейся послідовністю, адже якщо скласти ряд з отриманих приватних від поділок, зазначений числовий лад буде мати кінцевий межа дорівнює 0618.

Послідовність коефіцієнтів Фібоначчі

Зазначений вище числовий ряд широко використовується в практичних цілях для технічного аналізу ринків. Але цим не обмежуються його можливості, які знали і вміли застосовувати на практиці ще в давнину єгиптяни і греки. Це доводять побудовані ними піраміди і Парфенон. Адже число 0618 є постійним коефіцієнтом добре відомого в старовину золотого перерізу. Згідно з цим правилом, будь-довільний відрізок можливо поділити так, що відношення між його частинами буде збігатися з відношенням між великим відрізків і загальною довжиною. Побудуємо ряд із зазначених відносин і спробуємо проаналізувати цю послідовність. Числовий ряд вийде наступним: 1; 05; 067; 06; 0625; 0615; 0619 і так далі. Продовжуючи, таким чином можна переконатися, що межа збіжної послідовності дійсно буде 0618. Однак, необхідно відмітити і інші властивості цієї закономірності. Тут цифри йдуть врізнобій, а зовсім не в порядку зростання або спадання. Це означає, що дана сходиться послідовність не є монотонною. Про те, чому це так і піде розмова далі.

Монотонність і обмеженість

Члени числового ряду з збільшенням номера можуть чітко убувати (якщо x 1 >x 2 >x 3 >>x n >) або зростати (якщо x 1 2 3 =x 3 >=>=x n >= або x 1 <=x 2 <=x 3 <=<=x n <=), тоді сходиться послідовно монотонна теж, тільки вже не в строгому сенсі. Хорошим прикладом першого з указаних варіантів може служити числовий ряд, що задається наступною формулою. Розписавши числа даного ряду можна помітити, що кожен з його членів, необмежено наближається до 1 ніколи не перевищить цього значення. У цьому випадку говорять про обмеженість збіжної послідовності. Подібне буває всякий раз, коли таке позитивне число М, яке виявляється завжди більше будь-якого із членів ряду по модулю. Якщо числовий ряд володіє ознаками монотонності і має межу, а отже – сходиться, то він обов'язково наділений такою властивістю. Причому зворотне не обов'язково повинно бути вірним. Про це говорить теорема про обмеженість збіжної послідовності. Застосування подібних спостережень на практиці виявляється дуже корисним. Наведемо конкретний приклад, дослідивши властивості послідовності X n = n/n+1 і доведемо її збіжність. Те, що вона монотонна легко показати, так як (x n +1 – x n ) є число додатне при будь-яких значеннях n. Межа послідовності дорівнює числу 1 а значить, дотримуються всі умови вищевказаної теореми, званої також теорема Вейєрштрасса. Теорема про обмеженість збіжної послідовності стверджує, що якщо вона має межу, то в будь-якому випадку виявляється обмеженою. Однак, наведемо наступний приклад. Числовий ряд X n = (-1) n є обмеженим знизу числом -1 і зверху 1. Але ця послідовність не є монотонною, не має межі і тому не сходиться. Тобто з обмеженості не завжди слід наявність межі і збіжності. Щоб це виконувалося необхідно збіг нижнього і верхнього меж, як у випадку коефіцієнтів Фібоначчі.

Числа і закони Всесвіту

Найпростішими варіантами збіжної та расходящейся послідовності є, мабуть, числові ряди X n = n і X n = 1/n. Перша з них являє собою натуральний ряд чисел. Вона ж є, як вже говорилося, нескінченно великою. Друга сходиться послідовність обмежена, а члени її за розміром наближаються до нескінченно малому. Кожна з цих формул втілює одну зі сторін багатогранної Всесвіту, допомагаючи людині мовою цифр і знаків уявити собі і прорахувати щось неосяжне, недоступне для обмеженого сприйняття. Закони світобудови, починаючи від мізерно малого і кінчаючи неймовірно великим, висловлює також золотий коефіцієнт 0618. Вчені вважають, що він закладений в основу суті речей і використовується для природою формування її частин. Згадані вже нами раніше відносини між наступним і попереднім членами ряду Фібоначчі, не завершують на цьому демонстрацію дивовижних властивостей цього унікального ряду. Якщо розглянути приватне від ділення попереднього члена на наступній через один, то одержимо ряд 05; 033; 04; 0375; 0384; 0380; 0382 і так далі. Цікаво те, що ця обмежена послідовність сходиться, монотонної вона не є, але ставлення крайніх від певного члена сусідніх чисел завжди виявляється приблизно рівним 0382 що теж може бути використане в архітектурі, технічному аналізі та інших галузях. Існують і інші цікаві коефіцієнта ряду Фібоначчі, всі вони відіграють у природі особливу роль, а також застосовуються людиною в практичних цілях. Математики впевнені, що Всесвіт розвивається за якоюсь «золотий спіралі», який формується із зазначених коефіцієнтів. З їх допомогою можливо розрахувати багато явища, що відбуваються на Землі і в космосі, починаючи від зростання чисельності певних бактерій і закінчуючи рухом далеких комет. Подібним же законам підкоряється, як з'ясовується, код ДНК.

Спадна геометрична прогресія

Існує теорема, яка стверджує єдиність межі збіжної послідовності. Це означає, що двох і більше меж у неї існувати не може, що, безсумнівно, важливо для знаходження її математичних характеристик. Розглянемо деякі випадки. Будь-який числовий ряд, складений з членів арифметичної прогресії, є розбіжним, за винятком випадку з нульовим кроком. Це ж стосується геометричної прогресії, знаменник якої більше 1. Межами таких числових рядів є «плюс» або «мінус нескінченності. Якщо ж знаменник менше -1 то ніякого межі взагалі не існує. Можливі й інші варіанти. Розглянемо числовий ряд, що задається формулою X n = (1/4) n -1 . З першого погляду легко зрозуміти, що ця сходиться послідовність обмежена, тому що є строго спадною і ніяким чином не здатна приймати від'ємні значення. Розпишемо деяке число її членів в ряд. Вийде: 1; 025; 00625; 0015625; 000390625 і так далі. Досить зовсім нескладних розрахунків, щоб зрозуміти, як швидко дана геометрична прогресія зі знаменників 0

Фундаментальні послідовності

Огюстен Луї Коші, французький вчений, явив світові багато робіт пов'язаних з математичним аналізом. Він дав визначення його таким поняттям, як диференціал, інтеграл, межа і безперервність. Досліджував він також основні властивості збіжних послідовностей. Для того, щоб зрозуміти суть його ідей, необхідно узагальнити деякі важливі деталі. На самому початку статті було показано, що є такі послідовності, для яких існує околиця, де точки, що зображують члени певного ряду на числової прямий, починають скучиваться, шикуючись все щільніше. При цьому відстань між ними при збільшенні номера чергового представника все зменшується, перетворюючись в нескінченно мале. Таким чином, виявляється, що в даній околиці групується нескінченне число представників цього ряду, у той час, як за її межами їх налічується кінцеве кількість. Такі послідовності називаються фундаментальними. Знаменитий критерій Коші, створений французьким математиком, однозначно вказує, що наявність подібного властивості досить, щоб довести, що послідовність сходиться. Вірно також зворотне. Слід зауважити, що даний висновок французького математика представляє здебільшого чисто теоретичний інтерес. Його застосування на практиці вважається достатньо складним справою, тому для з'ясування збіжності рядів набагато важливіше довести існування у послідовності кінцевого межі. В іншому випадку вона вважається расходящейся. При вирішенні завдань слід також враховувати основні властивості збіжних послідовностей. Вони представлені нижче.

Нескінченні суми

Такі знамениті вчені давнини, як Архімед, Евкліда, Евдокс використовували суми нескінченних числових рядів для обчислення довжин кривих, об'ємів тіл і площ фігур. Зокрема, саме таким чином вдалося дізнатися площа параболічного сегмента. Для цього була використана сума числового ряду геометричної прогресії з q=1/4. Подібним способом перебували об'єми і площі інших довільних фігур. Цей варіант називався методом «вичерпання». Ідея полягала в тому, що досліджуване складне за формами тіло розбивалось на частини, які представляли собою фігури з легко вимірюваними параметрами. З цієї причини неважко було вирахувати їх площі і об'єми, потім же вони складалися. До речі, схожі завдання дуже знайомі сучасним школярам і зустрічаються у завданнях ЄДІ. Унікальний спосіб, знайдений ще далекими предками, є і на сьогоднішній день найпростішим варіантом рішення. Навіть якщо частин, на які розбивається числова фігура, всього дві або три, додавання їх площ все одно являє собою суму числового ряду. Набагато пізніше давньогрецьких вчених Лейбніц і Ньютон, грунтуючись на досвіді мудрих попередників, пізнавали закономірності інтегрального обчислення. Знання властивостей послідовностей допомагали їм вирішувати диференціальні та алгебраїчні рівняння. В даний час створена зусиллями багатьох поколінь талановитих вчених теорія рядів дає шанс вирішити величезну кількість математичних і практичних проблем. А вивчення числових послідовностей становить основну задачу, розв'язувану математичним аналізом з моменту його створення.