Розглянемо деякий ряд. 728112 4481792 Абсолютно ясно видно, що значення будь-якого його елемента більше попереднього рівно в чотири рази. Отже, даний ряд є прогресією. Геометричною прогресією іменується нескінченна послідовність чисел, головною особливістю якої є те, що наступне число виходить з попереднього допомогою множення на якесь певне число. Це виражається наступною формулою. a z +1 =a z ·q, де z – номер обраного елемента. Відповідно, z ? N. Період, коли в школі вивчається геометрична прогресія - 9 клас. Приклади допоможуть розібратися в понятті: 0250.12500625 1862 Виходячи з цієї формули, знаменник прогресії можливо знайти наступним чином: Ні q, ні b z не можуть дорівнювати нулю. Так само кожен з елементів числового ряду прогресії не повинен дорівнювати нулю. Відповідно, щоб дізнатися наступне число ряду, потрібно помножити останнім на q. Щоб поставити цю прогресію, необхідно вказати перший її елемент і знаменник. Після цього можливе знаходження будь-якого з наступних членів та їх суми.

Різновиди

В залежності від q і a 1 дана прогресія поділяється на декілька видів:

Якщо і a 1 і q більше одиниці, то така послідовність - зростаюча з кожним наступним елементом геометрична прогресія. Приклад такої представлений далі.

Приклад: a 1 =3 q=2 - обидва параметра більше одиниці.


Тоді числова послідовність може бути записана так: 3612 2448

Якщо |q| менше одиниці, тобто, множення на нього еквівалентно поділу, то прогресія з подібними умовами - спадна геометрична прогресія. Приклад такої представлений далі.

Приклад: a 1 =6 q=1/3 - a 1 більше одиниці, q - менше. Тоді числову послідовність можна записати таким чином: 622/3 - будь-який елемент більше елемента, наступного за ним, у 3 рази.

Знакопеременная. Якщо q <0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а елементи не зростають, ні убувають.

Приклад: a 1 = -3 , q = -2 - обидва параметра менше нуля.


Тоді числову послідовність можна записати так: -3 6 -1224

Формули

Для зручного використання геометричних прогресій існує безліч формул:

Формула z-го члена. Дозволяє розрахувати елемент, що стоїть під конкретним номером без розрахунку попередніх чисел.

Приклад: q = 3 a 1 = 4. Потрібно порахувати четвертий елемент прогресії. Рішення: a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

Сума перших елементів, чия кількість одно z . Дозволяє розрахувати суму всіх елементів послідовності до a z включно.

Так як (1 - q ) стоїть у знаменнику, то (1 - q) ? 0 отже, q не дорівнює 1. Зауваження: якщо q=1 то прогресія представляла б собою ряд нескінченно повторюваний числа. Сума геометричної прогресії, приклади: a 1 = 2 q = -2. Порахувати S 5 . Рішення: S 5 = 22 - розрахунок за формулою.

Сума, якщо | q | < 1 и если z стремится к бесконечности.

Приклад: a 1 = 2 , q = 0.5. Знайти суму. Рішення: S z = 2 · = 4 Якщо порахувати суму кількох членів вручну, то видно, що вона дійсно прагне до чотирьом. S z = 2 + 1 + 0.5 + 025 + 0125 + 00625 = 39375 4

Деякі властивості:

Характеристичне властивість. Якщо така умова виконується для будь-якого z , то заданий числовий ряд – геометрична прогресія:

a z 2 = a z -1 · a z+1

Так само квадрат будь-якого числа геометричній прогресії знаходиться за допомогою додавання квадратів двох інших будь-яких чисел в заданому рядку, якщо вони рівновіддалені від цього елемента.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , де t - відстань між цими числами.

Елементи розрізняються q раз.

Логарифмів елементів прогресії так само утворюють прогресію, але вже арифметичну, тобто кожен з них більше попереднього на певне число.

Приклади деяких класичних задач

Щоб краще зрозуміти, що таке геометрична прогресія, приклади з рішенням для 9 класу можуть допомогти.

Умови: a 1 = 3 a 3 = 48. Знайти q .

Рішення: кожен наступний елемент більше попереднього на q раз. Необхідно виявити одні елементи через інші за допомогою знаменника. Отже, a 3 = q 2 · a 1 При підстановці q = 4

Умови: a 2 = 6 a 3 = 12. Розрахувати S 6 .

Рішення: Для цього достатньо знайти q, перший елемент і підставити в формулу. a 3 = q · a 2 отже, q = 2 a 2 = q · a 1 , тому a 1 = 3 S 6 = 189

· a 1 = 10 q = -2. Знайти четвертий елемент прогресії.

Рішення: для цього достатньо висловити четвертий елемент через перший і через знаменник. a 4 = q 3 · a 1 = -80

Приклад застосування:

Клієнт банку здійснив внесок на суму 10000 рублів, за умовами якого кожен рік клієнта до основної суми будуть додаватись 6% від неї. Скільки коштів буде на рахунку через 4 роки?

Рішення: Початкова сума дорівнює 10 тисячам рублів. Отже, через рік після вкладення на рахунку буде сума, рівна 10000 + 10000 · 006 = 10000 · 106 Відповідно, сума на рахунку ще через один рік буде виражатися наступним чином: (10000 · 106) · 006 + 10000 · 106 = 106 · 106 · 10000 Тобто з кожним роком сума збільшується 106 раз. Значить, щоб знайти кількість коштів на рахунку через 4 роки, досить знайти четвертий елемент прогресії, яка задана першим елементом, що дорівнює 10 тисячам, і знаменником, що дорівнює 106.
S = 106·106·106·106·10000 = 12625

Приклади задач на обчислення суми:

У різних завданнях використовується геометрична прогресія. Приклад на обчислення суми може бути задано наступним чином: a 1 = 4 q = 2 розрахувати S 5 . Рішення: всі необхідні для розрахунку дані відомі, потрібно просто підставити їх у формулу. S 5 = 124

a 2 = 6 a 3 = 18. Розрахувати суму перших шести елементів.

Рішення: У геом. прогресії кожен наступний елемент більше попереднього в q разів, тобто для обчислення суми необхідно знати елемент a 1 і знаменник q . a 2 · q = a 3 q = 3 Аналогічним чином потрібно знайти a 1 знаючи a 2 і q . a 1 · q = a 2 a 1 = 2 І далі досить підставити відомі дані у формулу суми. S 6 = 728.