При слові "нескінченність" у кожної людини виникають свої асоціації. Багато малюють у своїй уяві море, що йде за горизонт, а в інших перед очима з'являється картина безмежного зоряного неба. Зовсім по-іншому уявляють собі нескінченність математики, звикли оперувати числами. Вони вже багато століть намагаються знайти найбільше, потрібних для вимірювання фізичних величин. Одним з них є число Грема. Скільки нулів в ньому і для чого воно використовується, розповість ця стаття.

Нескінченно велике число

В математиці так називають таку змінну величину x n , якщо будь-якого наперед заданого додатного числа M можна вказати натуральне N таке, що для всіх номерів n, великих N, вірно нерівність |x n | > M. Проте ні одне, наприклад, ціле число Z не можна вважати нескінченно великим, так як воно завжди буде менше величини (Z + 1).

Кілька слів про "гігантах"

Самими великими числами, що мають фізичний зміст, прийнято вважати:

10 80 . Це число, яке прийнято називати квинквавигинтиллионом, прийнято для позначення приблизної кількості кварків і лептонів (найдрібніших частинок) Всесвіту.

1 Гугол. Таке число у десятковій системі числення записується як одиницю з 100 нулями. Згідно деяким математичним моделям, з часу великого вибуху, до вибуху массивнейшей чорної діри має пройти від 1 до 15 гугола років, після чого наш всесвіт перейде в останню стадію свого існування, тобто можна вважати, що це число має певний фізичний зміст.

85 х 10 185 . Постійна Планка дорівнює 1616199 x 10 -35 м, тобто в десятковому запису виглядає як 000000000000000000000000000000616199 м. В 1 куб. дюймі налічується близько 1 гугола планківських довжин. Підраховано, що у всій нашій Всесвіту може поміститися близько 85 х 10 185 планківських довжин.

2 77232917 – 1. Це найбільше з відомих простих чисел. Якщо його двійковий запис має досить компактний вигляд, то для того, щоб зобразити його в десятковій формі потрібно ні багато ні мало - 13 мільйонів знаків. Воно було знайдено в 2017-му році в рамках проекту з пошуку чисел Мерсенна. Якщо ентузіасти будуть продовжувати працювати в цьому напрямку, то при нинішньому рівні розвитку обчислювальної техніки, найближчим часом вони навряд чи зможуть знайти число Мерсенна на порядок більше, ніж 2 77232917 – 1 хоча такий щасливчик отримає 150000 $ США.

Гугоплекс. Тут все просто беремо 1 і дописуємо після неї нулі в кількості 1 гугола. Записати це число можна, як 10^10^100. У десятковій формі його неможливо зобразити, так як, якщо весь простір Всесвіту заповнити листками паперу, на кожному з яких були б написані 0 з розміром «вордівского» шрифту 10 то і в цьому випадку б вийшла лише половина всіх 0 після 1 числа гуголплекс.

10^10^10^10^10^1.1. Це число, що показує кількість років, через які згідно теорема Пуанкаре наша Всесвіт в результаті випадкових квантових коливань повернеться в стан близький до сьогоднішнього дня.

Як з'явилися числа Грема

У 1977 році відомий популяризатор науки Мартін Гарднер в журналі Scientific American опублікував замітку, що стосується докази Грема однією з проблем теорії Рамсе. У ній він назвав межу, встановлену вченим, найбільшим числом, коли-небудь використовувалися в серйозному математичному міркуванні.

Хто такий Рональд Льюїс Грем

Вчений, якому сьогодні вже за 80 народився в Каліфорнії. У 1962 році він отримав ступінь Ph.D в області математики в університеті Берклі. Протягом 37 років він працював в лабораторії Белла, а пізніше перейшов в АТ&Т Labs. Вчений активно співпрацював з одним з найвидатніших математиків 20-го століття Палом Эрдешем і є лауреатом багатьох престижних премій. У науковій бібліографії Грема більше 320 наукових праць. В середині 70-х років науковця зацікавила проблема, пов'язана з теорією Рамсея. При її доведенні була визначена верхня межа рішення, що є дуже великим числом, згодом названим на честь Рональда Грема.

Проблема гіперкуба

Щоб зрозуміти суть числа Грема, потрібно спочатку розібратися з тим, як воно було отримано. Вчений і його колега Брюс Ротшильд займалися рішенням наступної задачі:

Є n-мірний гіперкуб. Всі пари з'єднують його вершини так, щоб вийшов повний граф з 2 n вершинами. Кожне його ребро розфарбовують або в синій або червоний колір. Потрібно було знайти, яке найменше число вершин має бути у гіперкуба, щоб кожна така розфарбування містила повний одноколірний підграф з 4 вершинами, що лежать в одній площині.

Рішення

Грем і Ротшильд довели, що задача має рішення N', що задовольняє умові 6 ? N' ?N де N — це точно визначений, дуже велике число. Нижня межа для N згодом була уточнена іншими вченими, довели, що N повинно бути більше або дорівнює 13. Таким чином, вираз для найменшого числа вершин гіперкуба, що задовольняє умовам, представлених вище, отримало вигляд 13 ? N'? N.

Стрілкова нотація Батога

Перед тим як дати визначення числа Грема, слід ознайомитися зі способом його символьного представлення, так як ні значення, ні двійковий запис для цього абсолютно не придатні.
На даний момент для подання цієї величини прийнято використовувати стрелочную позначення Батога. Згідно їй: a b =a "стрілка вгору" b. Для операції багаторазового зведення в ступінь була введена запис: a "стрілка вгору" "стрілка вгору" b= а b ="вежа, що складається з а в кількості b шт." А для пентации, тобто символьного позначення повторного зведення в ступінь попереднього оператора, Батіг використовував вже 3 стрілки. Використовуючи такий варіант запису числа Грема, маємо "стрілочні" послідовності, вкладывающиеся один в одного, в кількості 64 шт.

Масштаб

Своє відоме число, яке хвилює уяву і розширює межі людської свідомості, виводячи його за межі Всесвіту, Грем і його колеги отримали його в якості верхньої межі для числа N при доказі проблеми гіперкуба, представленої вище. Уявити наскільки великий його масштаб звичайній людині вкрай складно. Питання про кількість знаків, або як іноді помилково говорять, нулів у числі Грема, цікавить практично всіх, хто вперше чує про цю величиною. Досить сказати, що маємо справу зі стрімко зростаючою послідовністю, яка складається з 64 членів. Навіть її перший член — неможливо уявити, так як він складається з n "веж", що складаються з 3-к. Вже її "нижній поверх" з 3 трійок дорівнює 7625597 484987 тобто перевершує 7 мільярдів, що і говорити про 64-му поверсі (не члені!). Таким чином, точно сказати, чому одно число Грема, на даний момент неможливо, так як для його обчислення не вистачить потужностей об'єднаних всіх комп'ютерів, існуючих на Землі на сьогоднішній день.

Рекорд побитий?

В процесі доведення теореми Краскала, число Грема було скинуто з п'єдесталу". Вчений запропонував наступну задачу:

Є нескінченна послідовність кінцевих дерев. Краскал довів завжди існує ділянка якогось графа, який є одночасно і частиною більшого графа і його точною копією. Це твердження не викликає жодних сумнівів, так як очевидно, що в нескінченності завжди знайдеться точно повторюється комбінація.

Пізніше Харві Фрідман дещо звузив цю задачу, розглянувши лише такі ациклічні графи (дерева), що для конкретного з них з коефіцієнтом i є не більше ніж (i + k) вершин. Він вирішив з'ясувати, яким має бути число ациклічних графів, щоб при цьому способі їх завдання завжди можна було знайти таке дерево, яке вкладалося б у інше дерево. В результаті досліджень цього питання було з'ясовано, що N в залежності від k росте з величезною швидкістю. Зокрема, якщо k = 1 то N = 3. Однак при k = 2 N вже досягає 11. Найцікавіше починається, коли k = 3. В такому випадку N стрімко "злітає" і досягає величини, яка багаторазово перевершує число Грема. Щоб уявити наскільки вона велика, достатньо записати число, розраховане Рональдом Гремом у вигляді G64(3). Тоді величина Фрідмана-Краскала (про. FinKraskal(3)), буде мати порядок G(G(187196)). Іншими словами виходить мегавеличина, яка нескінченно більше неймовірно великого числа Грема. У той же час навіть воно в гігантське число раз буде менше нескінченності. Про це поняття має сенс поговорити детальніше.

Нескінченність

Тепер, коли ми пояснили, що таке число Грема на пальцях, слід розібратися зі змістом, який вкладався і вкладається в це філософське поняття. Адже "нескінченність" і "нескінченно велике число" у певному контексті можна вважати тотожними. Найбільший внесок у вивчення цього питання зробив Аристотель. Великий мислитель стародавності розділив нескінченність на потенційну та актуальну. Під останньою він розумів реальність існування нескінченних речей. На думку Аристотеля, джерелами уявлень про цьому фундаментальному понятті є:

час;

розподіл величин;

поняття границі та існування чого-то за її межами;

невичерпність творить природи;

мислення, яке не має меж.

У сучасному трактуванні для безкінечності не можна вказати кількісну міру, так що пошуки найбільшого числа можна продовжувати вічно.

Висновок

Можна вважати метафору "Погляд у безмежність" і число Грема в деякому сенсі синонімами? Скоріше, і так, і ні. І те й інше неможливо уявити, навіть маючи сильне уяву. Однак, як вже було сказано, воно не може вважатися "самим-самим". Інша справа, що на даний момент величини більше числа Грема не мають встановленого фізичного сенсу. Крім того, воно не володіє такими властивостями нескінченного числа ?, як:

? + 1 = ?;

існує нескінченне число як парних, так і непарних чисел;

? - 1 = ?;

кількість непарних чисел становить рівно половину від усіх чисел;

? + ? = ?;

?/2 = ?.

Підсумуємо: число Грема саме велике число у практиці математичного докази, за версією Книги рекордів Гіннеса. Однак існують числа, які в рази більше цієї величини. Швидше за все, в майбутньому з'явиться потреба в ще більших «гігантах», особливо якщо людина вийде за межі нашої Сонячної системи або винайде щось неймовірне на нинішньому рівні нашої свідомості.