Багато геометричні фігури, утворені що перетинаються під прямим кутом прямими. Наприклад, це квадрат, прямокутник, прямокутний трикутник або пряма чотирикутна призма. У цій статті розглянемо питання перпендикулярності двох прямих і умови, які повинні виконуватись, щоб пряма була перпендикулярна площині.

Які рівняння важливо знати?

Умови перпендикулярності двох прямих і прямої і площини не складно отримати, якщо відомі відповідні рівняння для названих геометричних об'єктів. Рівняння будь-прямий як на площині, так і в просторі може бути записано в універсальному векторному вигляді. Для тривимірного випадку воно виглядає наступним чином: (x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) + ?*(a; b; c) Тут змінні x, z і y є координатами в обраній системі, ? - будь-яке дійсне число, а трійка чисел (a; b; c) задають вектор в просторі, який називається направляючим (вздовж нього спрямована пряма, що проходить через точку з координатами (x 0 ; y 0 ; z 0 )). Це рівняння може бути перетворено в загальний вигляд, канонічне та параметричне.


Площина найзручніше представляти у загальному вигляді, що відповідає рівнянню: A*x + B*y + C*z + D = 0 Великі латинські літери являють собою коефіцієнти. Цей вираз також може бути представлено у векторному, параметричному видах і у формі рівняння у відрізках. Зручність наведеної форми запису полягає в тому, що перші три коефіцієнта відповідають координатами вектора, що перпендикулярний цій площині, тобто: n(A; B; C) - напрямний вектор площини

Перпендикулярність двох прямих

Умова перпендикулярності прямих не складно зрозуміти, для цього достатньо встановити, чи є перпендикулярними їх направляючі вектори. Останнє можна з'ясувати, обчисливши скалярний добуток. Припустимо, що v і u - вектора направляючі для двох прямих. Якщо останні є перпендикулярними, тоді:


(v*u) = 0 Це умова перпендикулярності двох прямих є обов'язковим. Тим не менше, воно буде достатнім тільки для випадку двовимірного простору. У тривимірному ж просторі, крім цього виразу, також слід обчислити відстань між прямими. Якщо вище рівність виконується, і вказану відстань дорівнює нулю, тоді прямі будуть перетинатися під кутом 90 o , тобто будуть перпендикулярними. Для розрахунку відстані d між прямими у просторі користуються виразом: d = |[M1M2ВЇ*uВЇ]|/|u| Тут M 1 M 2 - вектор, побудований на двох точках, кожна з яких належить відповідної прямої (M 1 лежить на першій прямій, M 2 - на другий).

Площина та пряма

Умова перпендикулярності для цих об'єктів має наступний вигляд: u = k*n Іншими словами, пряма буде перетинати площину під кутом 90 o тільки тоді, коли її напрямний вектор буде паралельний нормалі до площини. Факт паралельності означає, що вектор прямої u можна отримати, помноживши нормальний до площині вектор n на деяке конкретне число k. Існують також інші способи дізнатися, чи є паралельними вектора u і n. Наприклад, у випадку їх паралельності кут між ними дорівнює нулю, тобто косинус кута, розрахованого через скалярний твір, буде дорівнює 1. У свою чергу векторний добуток паралельних векторів дорівнює нулю. Зауважимо, якщо площина і пряма задані не в загальному і векторному вигляді, відповідно, тоді слід привести їх до цих видів, а потім користуватися наведеними формулами умов перпендикулярності.