Коли в школах вивчають стереометрії, то велика увага в навчальному процесі звертають на вивчення формул та методів розрахунку обсягу фігур у просторі. В даній статті розглянемо що таке призма, і наведемо формули для обчислення об'єму прямої призми.
Призма в стереометрії
Перш ніж розглядати формули визначення об'єму прямої призми, розберемо детальніше про який клас геометричних об'єктів піде мова. Призма - яскравий представник скоєних многогранників, в яких число сторін, вершин і ребер пов'язано рівнянням Ейлера. У стереометрії дають таке просте визначення призмі: це такий багатогранник, в якому дві утворюють його межі є абсолютно однакові і знаходяться в паралельних площинах, а інші грані являють собою або паралелограми, або прямокутники (приватний випадок паралелограма).
На малюнку показана шестикутна призма, в якій всі названі вище елементи виділені. Так, у неї 12 вершин, 18 ребер і 8 сторін або граней. Жовті боку в сукупності утворюють бічну поверхню, а червона грань - це основа фігури. Геометрично будь-яка призма може бути отримана за допомогою такої нескладної методики. Необхідно взяти довільний багатокутник. Єдина умова полягає в тому, що багатокутник повинен бути плоским. Потім, з допомогою певного відрізка, який площини многокутника не належить, перенести всі його вершини нову паралельну площину. В результаті ми отримаємо каркас призми.
Види фігури і пряма призма
У стереометрії виділяють декілька типів класифікацій призм. Фігури цього класу розрізняють за кількістю сторін на підставі, по ввігнутості або випуклості підстави, за типом всіх граней бічній поверхні і по правильній формі підстави. Тут ми не ставимо завдання розглянути всі варіанти класифікації, а зосередимо свою увагу лише на прямих і похилих призмах. Пряма або прямокутна призма - це такий многогранник, у якого всі бокові сторони, є прямокутниками або квадратами. Інше рівноправне з попереднім визначення призми свідчить: якщо всі бічні ребра перпендикулярні підстав, то має місце прямокутна фігура. Обома визначеннями можна користуватися при вирішенні практичних завдань, оскільки вони є достатніми і необхідними. Якщо у прямій призмі підстави являють собою рівнокутні і рівносторонні багатокутники, то про таку фігуру кажуть, що вона правильна. З даних визначень зрозуміло, що будь-яка правильна призма буде прямокутної, але не всяка пряма фігура є правильною.
Формула об'єму прямої призми
У розглянутому вигляді призми довжина будь-якого бічного ребра дорівнює висоті h фігури. В той же час як для прямокутної, так і для похилої призми обсяг визначають за такою формулою:
V = S o x h. Де символом S o позначена площа однієї підстави. Якщо буквою b позначити довжину бічного ребра, тоді це вираз для прямої фігури можна переписати у вигляді: V = S o x b. Як випливає з цих рівностей, все питання визначення величини V полягає в обчисленні площі S o . Природно, що не існує якоїсь певної формули для її визначення, оскільки на підставі може перебувати багатокутник абсолютно довільного типу. Тим не менш, для деяких фігур конкретні формули можна записати. Наприклад, якщо пряма призма є правильною, тоді для S o справедлива формула: S o = n /4 x ctg(pi /n) x a 2 . Де n a - число сторін і довжина однієї сторони, відповідно. Інший приклад, коли можна привести конкретну формулу, це трикутне основу. Якщо відомі довжина сторони a і висота трикутника, опущена на неї, h a , тоді площа S o розраховується так: S o = 1 /2 x a x h a . Звернемо увагу, що при використанні формули для V фігури, слід в неї підставляти площа одного, а не двох підстав.
Приклад розв'язання задачі
Необхідно визначити об'єм прямої призми, основою якої є прямокутний трикутник. Гіпотенуза трикутника дорівнює 12 см, а один з його катетів становить 4 см. Висота об'ємної фігури дорівнює 10 див. З курсу планіметрії кожен школяр знає, що половина твору катетів дають площа відповідного трикутника. Користуючись теоремою Піфагора, отримуємо другий катет: a 2 = ?(c 2 – a 1 2 ) = ?(12 2 – 4 2 ) = 1131 див. Тоді площа S o трикутника складе: S o = 4 x 1131 /2 = 2262 см 2 . Застосовуючи формулу для об'єму, отримуємо: V = 2262 x 10 = 2262 см 3 . Таким чином, об'єм прямої призми дорівнює 2262 см 3 .
