Пряма є основним геометричним об'єктом на площині та у тривимірному просторі. Саме з прямих будуються численні фігури, наприклад: паралелограм, трикутник, призма, піраміда і так далі. Розглянемо у статті різні способи постановки рівнянь прямих.
Визначення прямої та види рівнянь для її опису
Кожен школяр добре собі уявляє, про якому геометричному об'єкті йде мова. Пряму можна представити як сукупність точок, причому якщо з'єднати кожну з них по черзі з усіма іншими, то ми отримаємо набір паралельних векторів. Іншими словами, потрапити в кожну точку прямої можна з однією фіксованою її точки, переносячи її на певний одиничний вектор, помножений на дійсне число. Це визначення прямої використовується для задавання векторного рівності для її математичного опису як на площині, так і в тривимірному просторі.
Пряма може бути математично представлена наступними видами рівнянь:
загальне; векторне; параметричне; у відрізках; симетричне (канонічне). Далі розглянемо всі названі види і покажемо на прикладах розв'язання задач, як з ними працювати.
Векторне і параметричний опис прямий
Почнемо з постановки прямій через відомий вектор. Припустимо, що в просторі є фіксована точка M(x 0 ; y 0 ; z 0 ). Відомо, що пряма проходить через неї і спрямована уздовж векторного відрізка v(a; b; c). За цими даними знайти довільну точку прямої? Відповідь на це питання дасть наступне рівність: (x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) + ? * (a; b; c) Де ? - довільне число. Аналогічне вираз можна записати для двовимірного випадку, де координати векторів та точок представлені набором з двох чисел: (x; y) = (x 0 ; y 0 ) + ? * (a; b) Записані рівняння називаються векторними, а сам спрямований відрізок v - це направляючий вектор для прямої. Із записаних виразів відповідні параметричні рівняння виходять просто, достатньо лише переписати їх у явному вигляді. Наприклад, для випадку в просторі отримуємо наступне рівняння: x = x 0 + ? * a; y = y 0 + ? * b; z = z 0 + ? * c З параметричними рівняннями зручно працювати, якщо необхідно проаналізувати поведінку кожної координати. Зауважимо, що хоча параметр ? може приймати довільні значення, але у всіх трьох рівностях він повинен бути однаковим.
Загальне рівняння
Іншим способом задавання прямий, який часто використовують для роботи з даним геометричним об'єктом, є застосування рівняння загального виду. Для двовимірного випадку воно має вигляд: A * x + B * y + C = 0 Тут великі латинські літери представляють конкретні числові значення. Зручність даного рівності при вирішенні завдань полягає в тому, що воно в явному вигляді містить вектор, який перпендикулярний прямій. Якщо позначити його n, тоді можна записати: n =[A; B] Крім того, вираз зручно застосовувати для визначення відстані від прямої до деякої точки P(x 1 ; y 1 ). Формула для відстані d має вигляд: d = |A * x 1 + B * y 1 + C| /?(A 2 + B 2 ) Нескладно показати, що якщо із загального рівняння виразити явно змінну y, то вийде наступна відома форма запису прямої: y = k * x + b Де k і b однозначно визначаються числами A, B, C.
Рівняння у відрізках і канонічне
Рівняння у відрізках простіше всього отримати з загального вигляду. Покажемо, як це можна зробити. Припустимо, що є наступна пряма: A * x + B * y + C = 0 Перенесемо вільний член в праву частину рівності, потім поділимо на нього всі рівняння, отримуємо: A * x + B * y = -C; x /(-C /A) + y /(C /B) = 1; x /q + y /p = 1 де q = -C /A, p = -C /B Ми отримали так зване рівняння у відрізках. Свою назву воно отримало через те, що знаменник, на який ділиться кожна змінна, що показує значення координати перетину прямої з відповідною віссю. Цей факт зручно використовувати для зображення прямої в координатній системі, а також для аналізу її взаємного розташування по відношенню до інших геометричних об'єктів (прямих, точок).
Тепер перейдемо до отримання канонічного рівняння. Це простіше зробити, якщо розглянути параметричний варіант. Для випадку площині маємо: x = x 0 + ? * a; y = y 0 + ? * b Виразимо параметр ? в кожному рівність, потім приравняем їх, отримуємо: ? = (x - x 0 ) /a; ? = (y - y 0 ) /b; (x - x 0 ) /a = (y - y 0 ) /b Це і є шукане рівняння, записане в симетричній формі. Так само, як і векторне вираз, воно в явній формі містить координати направляючого вектора і координати однієї з точок, яка належить прямій. Можна помітити, що в даному пункті ми привели рівняння для двовимірного випадку. Аналогічним чином можна скласти рівняння прямої в просторі. Тут потрібно зауважити, що якщо канонічна форма запису і вираз у відрізках будуть мати такий же вигляд, то загальне рівняння в просторі прямої представляється системою двох рівнянь для пересічних площин.
Завдання на побудова рівняння прямої
З геометрії кожен школяр знає, що через дві точки можна накреслити єдину лінію. Припустимо, що в координатній площині задано наступні точки: M 1 (1; 2); M 2 (-1; 3) Слід знайти рівняння прямої, якій належать обидві точки, відрізка, у векторному, канонічний і в загальному вигляді. Отримаємо спочатку векторне рівняння. Для цього слід визначити для направляючий вектор прямої M 1 M 2 : M 1 M 2 = (-1; 3) - (1; 2) = (-2; 1) Тепер можна скласти векторне рівняння, взявши одну з двох заданих в умові задачі точок, наприклад, M 2 : (x; y) = (-1; 3) + ? * (-2; 1) Щоб отримати канонічне рівняння, достатньо перетворити знайдене рівність у параметричний вид і виключити параметр ?. Маємо: x = -1 - 2 * ?, отже, ? = x + 1 /(-2); y = 3 + ?, далі отримуємо ? = y - 3; x + 1 /(-2) = (y - 3) /1 Два рівняння (загальна і у відрізках) можна знайти з канонічного, перетворюючи його таким чином: x + 1 = -2 * y + 6; загальне рівняння: x + 2 * y - 5 = 0; у відрізках рівняння: x /5 + y /25 = 1 Отримані рівняння показують, що вектор (1; 2) повинен бути перпендикулярний прямій. Дійсно, якщо знайти його скалярний твір з напрямним вектором, то воно буде дорівнює нулю. Рівняння у відрізках каже, що пряма перетинає вісь x у точці (5; 0), а вісь y - в точці (25; 0).
Завдання на визначення точки перетину прямих
На площині задано дві прямі наступними рівняннями: 2 * x + y -1 = 0; (x; y) = (0; -1) + ? * (-1; 3) Необхідно визначити координати точки, в якій ці прямі перетинаються. Вирішити завдання можна двома способами:
Перетворити векторне рівняння загальний вигляд, а потім вирішити систему двох лінійних рівнянь. Не виконувати жодних перетворень, а просто підставити координату точки перетину, виражену через параметр ?, в перше рівняння. Потім знайти значення параметра. Зробимо другим способом. Маємо: x = -?; y = -1 + 3 * ?; 2 * (-?) + (-1) + 3 * ? - 1 = 0; ? = 2 Підставляємо отримане число у векторне рівняння: (x; y) = (0; -1) + 2 * (-1; 3) = (-2; 5) Таким чином, єдиною точкою, яка належить обом прямим, є точка з координатами (-2; 5). У ній прямі перетинаються.
