Важливим розділом геометрії, який вивчають у старших класах шкіл, є стереометрія. Об'єкти її дослідження - це характеристики і властивості фігур у тривимірному просторі. Дана стаття присвячена питанню площі повної поверхні призми.

Про якому геометричному об'єкті піде мова?

Перш ніж розглядати у призми площа поверхні повною, необхідно пояснити, що вона собою являє. Під нею в стереометрії розуміють об'ємне тіло, яке обмежене кількома гранями. Дві з них лежать у паралельних площинах і є абсолютно однаковими, вони називаються підставами фігури. Інші грані пов'язують відповідні сторони підстав між собою і називаються бічними. Щоб зрозуміти, яка фігура описана вище, наведемо приклад першого періоду призми. Так вона називається через числа кутів в підставі. З малюнка видно, якщо 10 - це число кутів багатокутного підстави, то кількість сторін фігури дорівнює 10+2 = 12 число її вершин становить 2*10 = 20 а кількість ребер дорівнює 3*10 = 30. На малюнку бічні грані являють собою квадрати. В загальному випадку ці межі є параллелограммами. Всі представники класу призм класифікуються за кількома ознаками. Головним чином, ці ознаки визначаються типом багатокутного підстави. Так, воно може бути увігнутих і опуклих, правильним і довільної форми. Якщо всі сторони бічні є прямокутниками або квадратами, то говорять про прямі фігурах. Якщо ж деякі з цих сторін будуть параллелограммами довільного типу, то призма називається похилою. Особливий клас - це правильні геометричні об'єкти. Крім того, що вони є прямими, їх підстави являють собою рівносторонні і рівнокутні плоскі многокутники. На малюнку нижче наведений широкий набір правильних призм.

Поверхня фігури

Під поверхнею будь призми розуміють сукупність всіх точок, які лежать на гранях і утворюють їх. Оскільки досліджуваний багатогранник складається з двох типів сторін, то виділяють площа поверхні бічної S b і площа підстав 2*S o , де символ S o позначає одне многоугольное основу. Найзручніше поверхню вивчати на прикладі плоскої розгортки, яка виходить, якщо відрізати дві підстави від фігури, а бічну поверхню розрізати уздовж будь-якого бічного ребра і розгорнути. Наприклад, розгортка шестикутної призми показано нижче на малюнку. Оскільки шестикутники є правильними, і всі бічні сторони дорівнюють один одному і являють собою прямокутники, то перед нами розгортка правильної фігури.

Формули повної площі

Вище ми з'ясували, що знайти площу повної поверхні призми можна за наступною формулою: S = S b + 2*S o . Для площі підстави однозначної формули не існує, оскільки воно може приймати абсолютно довільну геометричну форму. Однак, якщо підстава є правильним, і його сторона дорівнює a, тоді для обчислення S o можна скористатися наступним виразом: S o = n/4*ctg(pi/n)*a 2 . Де латинською буквою n позначено кількість сторін підстави. Для визначення величини S b можна застосувати наступні вирази: S b = ? i=1 n (a i *h bi ); S b = h*? i=1 n (a i ); S b = n*a*h. Перший вираз тут використовується тоді, коли всі сторони бічні являють собою паралелограми (h bi - висота i-го паралелограма), друга формула застосовується для прямої призми, а третя формула - для правильної.

Приклад завдання

Необхідно обчислити площу повної поверхні правильної трикутної призми. Сторона її підстави дорівнює 10 см, а бічна сторона складає 7 див. Ця призма складається з 5 граней: 3 однакових прямокутника і 2 рівностороннього трикутника. Спочатку запишемо формулу для повної площі S, маємо: S o = 3/4*ctg(pi/3)*a 2 = ?3/4*a 2 ; S b = 3*a*h. S = 2*S o + S b = ?3/2*a 2 + 3*a*h. Тепер залишилося підставити числа з умови задачі і отримати відповідь: S = 2966 см 2 .