Львів
C
» » Площа поверхні піраміди правильної і похилій

Площа поверхні піраміди правильної і похилій

Одним з многогранників, які вивчають у школах в курсі просторової геометрії, є піраміда. Ця фігура має ряд параметрів і характеристик, для обчислення яких використовують певні математичні формули. Прочитавши статтю, ви дізнаєтеся, як знаходити площу поверхні піраміди.

Що являє собою піраміда? Види фігури

Мова йде про фігуру в тривимірному просторі, яка являє собою многогранник, який складається з трикутників і багатокутника. Якщо взяти довільний багатокутник на площині і з'єднати всі його вершини прямими відрізками з якою-небудь точкою, яка не належить площині цього багатокутника, то ми отримаємо піраміду довільного типу. Піраміда складається з граней, вершин і ребер. Межі являють собою площині, що обмежують обсяг фігури. Межі розділені один від одного ребрами. Якщо три грані перетинаються в одній точці, то остання є вершиною. Будь-яка така фігура має кілька вершин, наприклад, у трикутної фігури їх чотири, а в чотирикутної - п'ять. У кожної піраміди є тільки одна вершина, яка не належить основи. Вона називається головною чи основною.


Клас пірамід включає декілька типів фігур. Піраміда буде прямою, якщо її бічні трикутники є равнобедренными. Якщо ці трикутники ще й дорівнюють один одному, тоді фігура буде правильною. У будь прямий і правильної піраміди висота (відстань від головної вершини до підстави) перетинає основу в його геометричному центрі. Крім того, правильна фігура володіє рівностороннім (рівнокутним) підставою.
Площа поверхні піраміди правильної і похилій

Площа поверхні піраміди

Під площею будь-подібної фігури розуміють суму площ всіх її сторін. Оскільки піраміди мають різний тип, то для розрахунку їх площ не існує універсальної формули. Однак існують вирази, які можуть бути використані в кожному конкретному випадку.


Якою б не була піраміда, вона завжди складається з n-вугільної межі і n трикутників. Площа трикутників обчислити нескладно, якщо відомі їх висоти та сторони основи. Що стосується n-кутника, то для визначення його площі слід провести аналіз, що це за n-кутник, чи є він правильним, які його кути відомі. Універсальним методом визначення його площі є розбиття на більш прості фігури, наприклад, трикутники або паралелограми.
Площа поверхні піраміди правильної і похилій

Правильна фігура

Для правильної піраміди формула площі поверхні давно вже визначена. Перш ніж її записувати, зазначимо, що площа правильного підстави фігури може бути обчислена так: S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n). У формулою: a - сторона багатокутника, n - число сторін у ньому. Наприклад, для трикутника формула виглядає наступним чином: S 3 = ?3/4*a 2 . Для квадрата отримуємо типове рівність: S 4 = a 2 Для правильної піраміди площа поверхні бічної S b може бути визначена за такою формулою: S b = n/2*h b *a. Де h b - апофема піраміди (висота бічного трикутника). Складаючи вирази для S n і S b одержуємо формулу площі повної поверхні піраміди: S = S n + S b = n/4*a 2 *ctg(pi/n) + n/2*h b *a. Зазначимо, що для однозначного визначення S будь піраміди правильної необхідно знати дві її лінійних параметра.
Площа поверхні піраміди правильної і похилій

Похила фігура

Площа поверхні піраміди похилій розрахувати значно складніше, ніж правильною. Тим не менше, знаючи її розгортку, завжди можна вирішити поставлену задачу. Бічна поверхня похилій фігури розраховується так: S b = 1/2*? i=1 n (a i *h bi ). Тут a i - довжина i-ї сторони підстави, h bi - довжина i-ї апофемы. Апофемы для похилої піраміди загального типу розрізняються. Площа основи S o обчислюється, виходячи з його типу, наприклад, якщо це паралелограм зі сторонами a 1 і a 2 і кутом між ними ?, тоді можна записати: S o = a 1 *a 2 *sin(?). Як для похилої, так і для прямої піраміди апофемы пов'язані з довжинами бічних ребер і ребер підстави. Цей зв'язок часто використовують при рішенні задач.