Прямокутна призма. Формули довжин діагоналей, площі поверхні та об'єму

Стереометрія-це розділ геометрії, який вивчає різні властивості фігур у просторі тривимірної системи координат. Однією з таких постатей є прямокутна призма. Що вона собою являє, і які властивості для неї характерні, розглянемо в цій статті.

Прямокутна Призма в стереометрії

Кожна людина знайомий з цієї досконалої геометричною фігурою. Під нею розуміють об'ємний об'єкт, який складається з шести прямокутників у загальному випадку, причому всі вони попарно рівні. Отримати в просторі цю призму нескладно. Необхідно взяти довільний прямокутник і перенести його паралельно самій собі вздовж відрізка, перпендикулярного вихідного прямокутника. В результаті вийде фігура, зображена нижче на малюнку.


Прямокутна призма називається параллелепипедом. Якщо її основу буде квадратом, то вона стане правильною призмою, у якої бічні прямокутники будуть рівні між собою. Якщо у правильної призми сторона підстави співпаде з висотою (довжиною бічного ребра), тоді ми отримаємо фігуру куб.

Елементи фігури

Мова йде про геометричні елементи, з яких складається розглянута призма. Перше, що кидається в очі при першому погляді на фігуру - це її межі. Як було зазначено, у неї їх шість. Дві однакові грані утворюють підстави прямокутної призми, чотири, що залишилися, складають її бічну поверхню. Усі грані є або прямими, або квадратами. Наступний важливий елемент фігури - це ребра. Призма має 12 ребер, причому 8 з них належать підстав. Решта чотири ребра є боковими. Їх довжина дорівнює висоті фігури. Нарешті, третім важливим елементом досліджуваної призми є її вершини. На відміну від піраміди або конуса, призма не має виділеної вершини. Всі вони у неї є рівноправними. Їх кількість дорівнює восьми.


Як видно з представленої кількісної характеристики елементів прямої прямокутної призми, для їх чисел справедлива теорема Ейлера: число ребер = число сторін + число вершин - 2 => 12 = 6 + 8 - 2.

Діагоналі фігури

Діагоналі прямокутної призми бувають двох видів:

ті, які розташовані в площині граней фігури;

ті, що знаходяться в об'ємі.

Якщо позначити літерами a, b і h довжини сторін основи і довжину бічного ребра, відповідно, тоді для довжини діагоналей першого типу можна записати такі рівності: d 1 = ?(a 2 + b 2 ); d 2 = ?(a 2 + h 2 ); d 3 = ?(h 2 + b 2 ). Діагональ d 1 належить підстав, а діагоналі d 2 і d 3 лежать у площинах бокових прямокутників. Очевидно, що записані формули випливають з теореми Піфагора. Що стосується діагоналей другого типу (об'ємних), то будь-яка прямокутна призма має чотири таких діагоналі. Тим не менше їх довжини рівні між собою. Формула для визначення довжини об'ємної діагоналі записується в наступному вигляді: d 4 = ?(a 2 + b 2 + h 2 ). Якщо обчислювати діагональ d 4 для куба, то можна записати наступний вираз, який виходить з попереднього: d 4 = a*?3. При цьому, всі діагоналі граней куба будуть дорівнюють один одному, і їх довжини обчислюються так: d 1 = d 2 = d 3 = a*?2. Довжина об'ємної діагоналі завжди більше довжин діагоналей сторін.

Визначення площі поверхні

Кожен школяр знає, що для зручного визначення площі поверхні, якою володіє будь-яка об'ємна фігура, слід зробити її розгорнення на площині. Прямокутна призма не є винятком. Її розгортку зробити просто, для цього слід відрізати дві підстави від фігури, а потім, розрізати її вздовж одного з бічних ребер. Розгорнувши межі бічної поверхні, ми отримаємо наступну картину.
Розгортка являє собою шість прямокутників трьох видів. Позначимо сторони підстави літерами a і b. Висоту фігури позначимо h. Тоді площа однієї підстави буде дорівнює: S o = a*b Площі двох різних бічних граней дорівнюють: S 1 = a*h; S 2 = b*h. Оскільки паралелепіпед має по парі однакових граней, формули площ для яких записані, то площа повної поверхні фігури S буде дорівнювати: S = 2*(S o + S 1 + S 2 ) = 2*(a*b + a*h + b*h). Формула для S може бути спрощена, якщо прямокутна призма володіє додатковою симетрією. Наприклад, якщо сторони її основи дорівнюють (a = b), тоді для S можна записати такий вираз: S = 2*a*(a + 2*h). Це вираз випливає з попередньої формули. Відповідно, якщо висота і довжина основи дорівнюють (h=a), то ми отримуємо куб, площа поверхні якого складе: S = 6*a 2 . Зауважимо чим вище симетрія паралелепіпеда, тим менше число лінійних параметрів необхідно знати, щоб обчислити величину S.

Обсяг призми прямокутної

Вивчається фігура складається з шести граней, які обмежують просторовий об'єм. Він є обсягом самої фігури. Щоб його розрахувати, можна застосувати універсальну формулу для всіх призм і циліндрів. Вона має наступний вигляд: V = S o *h Оскільки основу досліджуваної фігури є прямокутником, а її висота дорівнює довжині ребра бічного, то обсяг прямокутної призми дорівнює: V = a*b*h Корисно також привести формули для правильної призми з квадратною основою і для куба, їх обсяги розраховуються наступним чином: для правильної призми: V = a 2 *h; для куба: V = a 3 . Як і для площі, для визначення обсягу необхідно знати від 1 до 3 лінійних параметрів залежно від симетрії паралелепіпеда.