Математичні задачі знаходять своє застосування в багатьох науках. До таких слід віднести не тільки фізику, хімію, техніку і економіку, але також медицину, екологію та інші дисципліни. Одним з важливих понять, яке слід освоїти, щоб знаходити вирішення важливих дилем, є похідна функції. Фізичний зміст її пояснити зовсім не так складно, як може здатися непосвяченому в суть питання. Достатньо лише знайти підходящі приклади тому в реальному житті і звичайних побутових ситуаціях. Насправді будь-який автомобіліст справляється з подібним завданням кожен день, коли дивиться на спідометр, визначаючи швидкість своєї машини в конкретну мить фіксованого часу. Адже саме в цьому параметрі полягає суть фізичного змісту похідної.

Як знайти швидкість

Визначити швидкість руху людини по дорозі, знаючи пройдену відстань і час в дорозі, з легкістю може будь-п'ятикласник. Для цього слід першу з указаних величин розділити на другу. Але не кожен з юних математиків знає про те, що в даний момент знаходить відношення приростів функції і аргументу. Справді, якщо уявити рух у вигляді графіка, відкладаючи по осі ординат шлях, а за абсциссе - час, це буде саме так. Однак швидкість пішохода чи будь-якого іншого об'єкта, яку ми визначаємо на великій ділянці шляху, вважаючи рух рівномірним, цілком може змінюватися. У фізиці відомо безліч форм руху. Воно може відбуватися не тільки з постійним прискоренням, але сповільнюватися і зростати довільним чином. Слід звернути увагу, що в даному випадку лінією, яка описує переміщення, буде вже не пряма. Графічно вона може приймати самі складні конфігурації. Але для будь-якої з точок графіка ми завжди можемо провести дотичну, представлену лінійною функцією.


Для уточнення параметра зміни переміщення в залежності від часу доводиться скорочувати вимірювані відрізки. Коли ж вони стануть нескінченно малими, обчислена швидкість виявиться миттєвою. Даний досвід допомагає нам дати визначення похідної. Фізичний зміст її також логічно випливає з таких міркувань.

З точки зору геометрії

Відомо, що чим більше швидкість тіла, тим крутіше графік залежності переміщення від часу, а отже, і кут нахилу дотичної до графіка в якійсь певній точці. Показником таких змін може стати тангенс кута між віссю абсцис і лінією дотичній. Як раз він визначає значення похідної і обчислюється відношенням довжин противолежащего до прилежащему катету в прямокутному трикутнику, утвореному перпендикуляром, опущеним з деякої точки на вісь абсцис. У цьому полягає геометричний зміст першої похідної. Фізичний розкривається в тому, що величина противолежащего катета в нашому випадку являє собою пройдений шлях, а прилеглого – час. При цьому відношенням їх є швидкість. І знову ми приходимо до висновку, що миттєва швидкість, яка визначається при прагненні обох проміжків до нескінченно малому, і є суттю поняття похідної, вказуючи на її фізичний зміст. Другої похідної в даному прикладі буде прискорення тіла, яке демонструє, в свою чергу, ступінь зміни швидкості.

Приклади знаходження похідної в фізиці

Похідна – це показник швидкості зміни будь-якої функції, навіть коли не йдеться про рух в прямому сенсі слова. Щоб наочно продемонструвати це, наведемо кілька конкретних прикладів. Припустимо, сила струму, залежачи від часу, змінюється згідно наступного закону: I = 04 t 2 . Потрібно знайти значення швидкості, з якою відбувається зміна цього параметра в кінці 8-ї секунди процесу. Зауважимо, що сама шукана величина, як можна судити з рівняння, постійно зростає. Для вирішення потрібно знайти першу похідну, фізичний сенс якої був розглянутий раніше. Тут dI / dt = 08 t . Далі знайдемо її при t =8 , отримаємо, що швидкість, з якою відбувається зміна сили струму, дорівнює 64 A / c . Тут вважається, що сила струму вимірюється в амперах, а час, відповідно, в секундах.

Все мінливе

Видимий навколишній світ, що складається з матерії, постійно зазнає змін, перебуваючи в русі протікають у ньому різноманітних процесів. Для опису їх можна використовувати самі різні параметри. Якщо вони об'єднані залежністю, то математично записуються у вигляді функції, наочно показує їх зміни. А де є рух (в якому б вигляді воно не виражалося), там існує й похідна, фізичний зміст якої ми і розглядаємо зараз. З цього приводу наступний приклад. Припустимо, температура тіла змінюється за законом T =02 t 2 . Слід знайти швидкість його нагрівання в кінці 10-ї секунди. Рішення завдання здійснюється способом, аналогічним описаному в попередньому випадку. Тобто ми знаходимо похідну і підставляємо в неї значення для t = 10 , отримуємо T = 04 t = 4. Значить, остаточною відповіддю вважається 4 градуса за секунду, тобто процес нагрівання та зміна температури, вимірюваної в градусах, відбувається саме з такою швидкістю.

Рішення практичних завдань

Звичайно, в реальному житті все буває набагато складніше, ніж у теоретичних завданнях. На практиці значення величин визначається звичайно в ході експерименту. При цьому використовуються прилади, які видають свідчення при вимірах з певною похибкою. Тому при обчисленнях доводиться мати справу з наближеними значеннями параметрів і вдаватися до округлениям незручних чисел, а також інших спрощень. Прийнявши це до уваги, знову приступимо до завдань на фізичний зміст похідної, враховуючи, що вони є лише якоюсь математичною моделлю відбуваються в природі найскладніших процесів.

Виверження вулкана

Уявімо, що відбувається виверження вулкана. Наскільки він може бути небезпечний? Для з'ясування цього питання необхідно розглянути безліч факторів. Ми постараємося врахувати один з них. З жерла "вогняного чудовиська" викидаються вертикально вгору камені, що мають початкову швидкість з моменту виходу назовні 120 м/с. Необхідно прорахувати, якою вони можуть досягти максимальної висоти. Для знаходження шуканого значення складемо рівняння залежності висоти H, вимірюється в метрах, від інших величин. До таких належать початкова швидкість і час. Значення прискорення вважаємо відомим і приблизно рівним 10 м/с 2 .

Приватна похідна

Тепер розглянемо фізичний зміст похідної функції трохи з іншого боку, адже саме рівняння може містити не одну, а кілька змінних. Наприклад, у попередній задачі залежність висоти підйому каменів, що викидаються з жерла вулкана, визначалася не тільки зміною часових характеристик, але і значенням початкової швидкості. Остання вважалася постійної, фіксованою величиною. Але в інших завданнях з зовсім іншими умовами все могло бути інакше. Якщо величин, від яких залежить складна функція, кілька, розрахунки проводяться згідно з вказаними нижче формулами. Фізичний сенс частою похідної слід визначати, як і в звичайному випадку. Це швидкість зміни функції в деякій певній точці при зростанні параметра змінної. Вона обчислюється таким чином, що всі інші складові приймаються за постійні, лише тільки один розглядається як змінна. Далі все відбувається за звичайними правилами.

Незамінний радник з багатьох питань

Розуміючи фізичний зміст похідної, приклади рішення заплутаних і складних проблем, відповідь у яких дозволяють знайти подібні знання, привести нескладно. Якщо у нас є функція, що описує витрата пального в залежності від швидкості автомобіля, можемо розрахувати, при яких параметрах останньої витрата бензину буде найменшим. У медицині можна передбачити, яким чином буде реагувати людський організм на прописане лікарем ліки. Прийом препарату позначається на самих різних фізіологічних показниках. До них належать зміни артеріального тиску, пульсу, температури тіла та багато іншого. Всі вони залежать від дози прийнятого лікарського засобу. Дані розрахунки допомагають передбачати хід лікування, як у сприятливих проявах, так і в небажаних випадковостях, здатних фатальним чином вплинути на зміни в організмі хворого. Безсумнівно, важливим виявляється розуміння фізичного змісту похідної в технічних питаннях, зокрема в електротехніці, електроніці, конструюванні та будівництві.

Гальмівний шлях

Розглянемо наступну задачу. Рухаючись з постійною швидкістю, автомобіль, наближаючись до мосту, за 10 секунд до в'їзду змушений був загальмувати, так як водій помітив дорожній знак, що забороняє рух зі швидкістю 36 км/год. Не порушив правила шофер, якщо гальмівний шлях його можна описати формулою S = 26t – t 2 ? Обчисливши першу похідну, знайдемо формулу для швидкості, отримаємо v = 28 – 2t. Далі підставимо у вказане вираз значення t=10. Так як ця величина була виражена в секундах, швидкість виявляється рівною 8 м/с, а значить, 288 км/год. Це дає можливість зрозуміти, що водій почав гальмувати вчасно і не порушив правила руху, а значить, і межа зазначеної на знаку швидкості. Подібне доводить важливість фізичного змісту похідної. Приклад рішення даної задачі демонструє широту використання цього поняття в самих різних сферах життя. У тому числі і в побутових ситуаціях.

Похідна в економіці

До XIX століття економісти в основному оперували середніми величинами, будь то продуктивність праці або ціна на продукцію, що випускається. Але з деякого моменту для складання ефективних прогнозів у цій галузі більше стали необхідні граничні величини. До таких можна віднести граничну корисність, дохід або витрати. Розуміння цього дало поштовх до створення абсолютно нового інструменту в економічних дослідженнях, який існує і розвивається, ось вже більше ста років. Для складання подібних розрахунків, де панують такі поняття, як мінімум і максимум, просто необхідне розуміння геометричного та фізичного змісту похідної. Серед творців теоретичної основи зазначених дисциплін можна назвати таких відомих англійських і австрійських економістів, як У. С. Джевонс, К. Менгера та інших. Звичайно, граничні величини в економічних викладеннях не завжди зручно. А, наприклад, квартальні звіти не обов'язково укладаються в існуючу схему, але все ж застосування подібної теорії у багатьох випадках буває корисно і ефективно.